Σύστημα εξισώσεων: τρόπος υπολογισμού, μέθοδοι, ασκήσεις - σχολείο της Βραζιλίας

Θεωρούμε ένα σύστημα εξισώσεων όταν πρόκειται να λύσουμε προβλήματα που περιλαμβάνουν αριθμητικές ποσότητες και, γενικά, καταφεύγουμε στη χρήση του εξισώσεις να εκπροσωπήσει τέτοιες καταστάσεις. Στα περισσότερα πραγματικά προβλήματα, πρέπει να εξετάσουμε περισσότερα από ένα εξίσωση ταυτόχρονα, πράγμα που εξαρτάται από το σχεδιασμό των συστημάτων.

Προβλήματα όπως η διαμόρφωση κυκλοφορίας μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας γραμμικά συστήματα. πρέπει να κατανοήσουμε τα στοιχεία ενός γραμμικού συστήματος, ποιες μεθόδους να χρησιμοποιήσουμε και πώς να το προσδιορίσουμε λύση.

Τα συστήματα εξισώσεων είναι αυτά που λειτουργούν με περισσότερες από μία αριθμητικές ποσότητες.

Εξισώσεις

Η μελέτη μας θα αφορά συστήματα γραμμικών εξισώσεων, οπότε ας καταλάβουμε πρώτα τι είναι γραμμική εξίσωση.

Μια εξίσωση θα ονομάζεται γραμμική όταν μπορεί να γραφτεί με αυτόν τον τρόπο:

ο₁ ·Χ₁ + το₂ ·Χ₂ + το₃ ·Χ₃ +... + προς_όχι ·Χ_όχι = κ

Στην οποία (το_1, ο_2, ο_3,..., ο_όχι) είναι οι συντελεστές της εξίσωσης, (x_1, Χ_2, Χ_3,..., Χ_όχι) είναι οι ανώνυμη περιήγηση και πρέπει να είναι γραμμικό και το k είναι το όροςανεξάρτητος.

• Παραδείγματα

• -2x + 1 = -8 ® Γραμμική εξίσωση με μία άγνωστη
• 5p + 2r = 5 ® Γραμμική εξίσωση με δύο άγνωστα
• 9x - y - z = 0 ® Γραμμική εξίσωση με τρία άγνωστα
• 8αβ + c - d = -9 ® Μη γραμμική εξίσωση

Μάθετε περισσότερα: Διαφορές μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης

Πώς να υπολογίσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Η λύση ενός γραμμικού συστήματος είναι κάθε διατεταγμένη και ορισμένη ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις του συστήματος ταυτόχρονα.. Ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου λύσεων είναι πάντα ίσος με τον αριθμό των άγνωστων στο σύστημα.

• Παράδειγμα

Εξετάστε το σύστημα:

Το ζεύγος που έχει παραγγελθεί (6; -2) ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις, έτσι είναι η λύση του συστήματος. Το σετ που σχηματίζεται από τις λύσεις του συστήματος ονομάζεται σύνολο λύσεων. Από το παραπάνω παράδειγμα, έχουμε:

S = {(6; -2)}

Ο τρόπος γραφής με τιράντες και παρενθέσεις υποδηλώνει ένα σύνολο λύσεων (πάντα ανάμεσα σε τιράντες) που σχηματίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος (πάντα μεταξύ παρενθέσεων).

Παρατήρηση: Εάν δύο ή περισσότερα συστήματα έχουν το ίδια λύσηονομάζονται αυτά τα συστήματα ισοδύναμα συστήματα.

Μέθοδος αντικατάστασης

Η μέθοδος αντικατάστασης βασίζεται στα ακόλουθα τρία βήματα. Για αυτό, σκεφτείτε το σύστημα

• Βήμα 1

Το πρώτο βήμα είναι να επιλέξτε μία από τις εξισώσεις (το πιο εύκολο) και απομονώστε ένα από τα άγνωστα (το πιο εύκολο). Ετσι,

x - 2y = -7

x = -7 + 2y

• Βήμα 2

Στο δεύτερο βήμα, ακριβώς αντικαταστήστε, στην μη επιλεγμένη εξίσωση, το άγνωστο απομονωμένη στο πρώτο βήμα. Σύντομα,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = - 5

-21 + 6y + 2y = -5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

• Βήμα 3

Το τρίτο βήμα, αποτελείται από αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε στο δεύτερο βήμα σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις. Ετσι,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2 (2)

x = -7 +4

x = -3

Επομένως, η λύση του συστήματος είναι S {(-3, 2)}.

μέθοδος προσθήκης

Για να εκτελέσουμε τη μέθοδο προσθήκης, πρέπει να θυμόμαστε ότι το συντελεστές ενός από τα άγνωστα πρέπει να είναι αντίθετοι, δηλαδή, με ίσους αριθμούς με αντίθετα σημάδια. Ας εξετάσουμε το ίδιο σύστημα μεθόδου υποκατάστασης.

Δείτε ότι οι άγνωστοι συντελεστές γ πληροίτε τις προϋποθέσεις μας, οπότε αρκεί να προσθέσετε καθεμία από τις στήλες του συστήματος, λαμβάνοντας την εξίσωση:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

Και αντικαθιστώντας την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις που έχουμε:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Επομένως, η λύση του συστήματος είναι S {(-3, 2)}

Διαβάστε επίσης: Επίλυση προβλημάτων από συστήματα εξισώσεων

Ταξινόμηση γραμμικών συστημάτων

Μπορούμε να ταξινομήσουμε ένα γραμμικό σύστημα με τον αριθμό των λύσεων. Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να ταξινομηθεί σε δυνατή και αποφασισμένη, δυνατό καιακαθόριστος και αδύνατο.

→ Το σύστημα είναι δυνατό και προσδιορισμένο (SPD): μοναδική λύση

→ Πιθανό και απροσδιόριστο σύστημα (SPI): περισσότερες από μία λύσεις

→ Αδύνατο σύστημα: καμία λύση

Δείτε το σχήμα:

Η άσκηση λύθηκε

Ερώτηση 1 - (Vunesp) Ένα μηχανικό μολύβι, τρία σημειωματάρια και ένα στυλό κοστίζουν 33 reais μαζί. Δύο μηχανικά μολύβια, επτά σημειωματάρια και δύο στυλό κοστίζουν 76 reais μαζί. Το κόστος ενός μηχανικού μολυβιού, ενός φορητού υπολογιστή και ενός στυλό, μαζί, σε reais είναι:

α) 11

β) 12

γ) 13

δ) 17

ε) 38

Λύση

Ας αντιστοιχίσουμε το άγνωστο Χ στην τιμή κάθε μηχανικού μολυβιού, γ στην τιμή κάθε φορητού υπολογιστή και ζ στην τιμή κάθε στυλό. Από τη δήλωση, πρέπει:

Πολλαπλασιάζοντας την κορυφαία εξίσωση με -2 πρέπει:

Προσθέτοντας όρο στον όρο, θα πρέπει:

y = 10

Αντικατάσταση της τιμής του γ βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση, θα πρέπει:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z = 33

x + z = 3

Επομένως, η τιμή ενός μολυβιού, ενός σημειωματάριου και ενός στυλό είναι:

x + y + z = 13 reais.

Εναλλακτική Γ

από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm