Το κίνητρο για τη μελέτη του λειτουργίες μεταξύ σετ προέρχεται από την ευκολία που προσφέρουν για την επίλυση καθημερινών αριθμητικών προβλημάτων. Θα χρησιμοποιήσουμε μερικά γραφικά εργαλεία, όπως το διάγραμμα του βενν-Euler, για τον καθορισμό των κύριων λειτουργιών μεταξύ δύο ή περισσότερων σκηνικά, δηλαδή: ένωση συνόλων, διασταύρωση συνόλων, διαφορά συνόλων και συμπληρωματικό σύνολο.
ένωση σετ
Η ένωση μεταξύ δύο ή περισσότερων συνόλων θα είναι ένα νέο σύνολο αποτελούμενο από στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα εν λόγω σύνολα. Επισήμως, το σύνολο ένωσης δίνεται από:
Αφήστε τα Α και Β να είναι δύο σύνολα, η ένωση μεταξύ τους σχηματίζεται από στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α ή το σύνολο Β.
Με άλλα λόγια, απλά μπείτε στα στοιχεία του Α με εκείνα του Β.
Παράδειγμα:
α) Εξετάστε τα σύνολα A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} και B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
β) A = {x | x είναι ένας φυσικός ζυγός αριθμός} και B {y | y είναι ένας φυσικός περίεργος αριθμός}
Η ένωση όλων των φυσικών evens και όλων των φυσικών αποδόσεων οδηγεί σε ολόκληρο το σύνολο των φυσικών αριθμών, οπότε πρέπει:
Διατομή σετ
Η διασταύρωση μεταξύ δύο ή περισσότερων σετ θα είναι επίσης ένα νέο σετ που σχηματίζεται από στοιχεία που ανήκουν, ταυτόχρονα, σε όλα τα εμπλεκόμενα σύνολα. Επισήμως έχουμε:
Αφήστε τα Α και Β να είναι δύο σύνολα, η διασταύρωση μεταξύ τους σχηματίζεται από στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α και το σύνολο Β. Επομένως, πρέπει να λάβουμε υπόψη μόνο τα στοιχεία που βρίσκονται και στα δύο σύνολα.
Παράδειγμα
α) Εξετάστε τα σύνολα A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} και C = {0, –1, –2, –3 }
A ∩ B = {2, 4, 6}
A ∩ C = {}
Β ∩ Γ = {0}
Το σετ που δεν έχει στοιχεία καλείται άδειο σετ και μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο τρόπους.
Διαβάστε επίσης: Ορισμός ορισμού
διαφορά συνόλων
Η διαφορά μεταξύ δύο συνόλων, Α και Β, δίνεται από τα στοιχεία που ανήκουν στα Α και όχι ανήκουν στον Β.
Στο διάγραμμα Venn-Euler, η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β είναι:
Παράδειγμα
Εξετάστε τα σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} και C = {}. Ας προσδιορίσουμε τις ακόλουθες διαφορές.
Α - Β = {5}
A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Γ - Α = {}
Σημειώστε ότι, στο σύνολο A - B, αρχικά παίρνουμε το σύνολο A και "βγάζουμε" τα στοιχεία από το σύνολο B. Στο σύνολο A - C, παίρνουμε το A και "βγάζουμε" το κενό, δηλαδή, δεν υπάρχουν στοιχεία. Τέλος, στο C - A, παίρνουμε το κενό σετ και «βγάζουμε» τα στοιχεία από το Α, τα οποία, με τη σειρά τους, δεν ήταν πια εκεί.
Διαβάστε επίσης: Σημαντικές σημειώσεις για τα σύνολα
Συμπληρωματικά σύνολα
Εξετάστε τα σύνολα Α και Β, όπου το σύνολο Α περιέχεται στο σύνολο Β, δηλαδή, κάθε στοιχείο του Α είναι επίσης ένα στοιχείο του Β. Η διαφορά μεταξύ των συνόλων, B - A, ονομάζεται συμπλήρωμα του Α σε σχέση με το B. Με άλλα λόγια, το συμπληρωματικό σχηματίζεται από κάθε στοιχείο που δεν ανήκει στο σύνολο Α σε σχέση με το σύνολο Β, στο οποίο περιέχεται.
Παράδειγμα
Εξετάστε τα σύνολα A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} και B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Το συμπλήρωμα του Α σε σχέση με το Β είναι:
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Εξετάστε τα σύνολα A = {a, b, c, d, e, f} και B = {d, e, f, g, h, i}. Προσδιορίστε (A - B) U (B - A).
Λύση
Αρχικά θα καθορίσουμε τα σύνολα A - B και B - A και μετά θα εκτελέσουμε την ένωση μεταξύ τους.
A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}
A - B = {a, b, c}
B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, i}
Επομένως, το (A - B) U (B - A) είναι:
{a, b, c} U {g, h, i}
{a, b, c, g, h, i}
Ερώτηση 2 - (Vunesp) Ας υποθέσουμε ότι A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} και A - B = {a, b, c}, τότε:
α) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
γ) Β = {}
δ) B = {d, e}
ε) B = {a, b, c, d, e}
Λύση
Εναλλακτική β.
Τακτοποιώντας τα στοιχεία στο διάγραμμα Venn-Euler, σύμφωνα με τη δήλωση, έχουμε:
Επομένως, το σύνολο B = {d, e, f, g, h}.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm