Polynomial Factoring: Τύποι, παραδείγματα και ασκήσεις

Το Factoring είναι μια διαδικασία που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και συνίσταται στην αναπαράσταση ενός αριθμού ή μιας έκφρασης ως προϊόν παραγόντων.

Γράφοντας ένα πολυώνυμο όπως ο πολλαπλασιασμός άλλων πολυωνύμων, μπορούμε συχνά να απλοποιήσουμε την έκφραση.

Δείτε τους τύπους πολυωνυμικής παραγοντοποίησης παρακάτω:

Κοινός παράγοντας αποδεικτικών στοιχείων

Χρησιμοποιούμε αυτόν τον τύπο παραγοντοποίησης όταν υπάρχει ένας παράγοντας που επαναλαμβάνεται σε όλους τους όρους του πολυωνύμου.

Αυτός ο παράγοντας, ο οποίος μπορεί να περιέχει αριθμούς και γράμματα, θα τοποθετηθεί μπροστά από τις παρενθέσεις.

Μέσα στις παρενθέσεις θα είναι το αποτέλεσμα του διαχωρισμού κάθε όρου του πολυωνύμου με τον κοινό παράγοντα.

Στην πράξη, ας κάνουμε τα ακόλουθα βήματα:

1º) Προσδιορίστε εάν υπάρχει ένας αριθμός που διαιρεί όλους τους συντελεστές του πολυωνύμου και τα γράμματα που επαναλαμβάνονται με όλους τους όρους.
2º) Βάλτε τους κοινούς παράγοντες (αριθμός και γράμματα) μπροστά από τις παρενθέσεις (ενδεικτικά).


3ο) Τοποθετήστε μέσα σε παρένθεση το αποτέλεσμα της διαίρεσης κάθε παράγοντα του πολυωνύμου με τον παράγοντα που αποδεικνύεται. Στην περίπτωση των γραμμάτων, χρησιμοποιούμε τον κανόνα κατανομής αρμοδιοτήτων της ίδιας βάσης.

Παραδείγματα

α) Ποια είναι η παραγοντική μορφή του πολυωνύμου 12x + 6y - 9z;

Πρώτον, αναγνωρίζουμε ότι ο αριθμός 3 διαιρεί όλους τους συντελεστές και ότι δεν υπάρχει γράμμα που να επαναλαμβάνεται.

Βάζουμε τον αριθμό 3 μπροστά στις παρενθέσεις, χωρίζουμε όλους τους όρους με τρεις και το αποτέλεσμα θα βάλουμε μέσα στις παρενθέσεις:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

β) Παράγοντας 2α2β + 3α3γ - α4.

Επειδή δεν υπάρχει αριθμός που χωρίζει τα 2, 3 και 1 ταυτόχρονα, δεν θα βάλουμε κανένα αριθμό μπροστά στις παρενθέσεις.

Το γράμμα ο επαναλαμβάνεται με όλους τους όρους. Ο κοινός παράγοντας θα είναι το ο2, που είναι ο μικρότερος εκθέτης του ο στην έκφραση.

Διαιρούμε κάθε όρο του πολυωνύμου με ο2:

2ος2 β: το2 = 2ος2 - 2 b = 2β

3ος3γ: το2 = 3ος3 - 2 c = 3ακ

ο4: ένα2 = το2

Βάζουμε το ο2 μπροστά από παρενθέσεις και τα αποτελέσματα των διαιρέσεων εντός παρενθέσεων:

2ος2β + 3α3γ - α4 = το2 (2b + 3ac - α2)

ομαδοποίηση

Στο πολυώνυμο που δεν υπάρχει ένας παράγοντας που επαναλαμβάνεται σε όλους τους όρους, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραγοντοποίηση ομαδοποιώντας.

Για αυτό, πρέπει να προσδιορίσουμε όρους που μπορούν να ομαδοποιηθούν από κοινούς παράγοντες.

Σε αυτόν τον τύπο παραγοντοποίησης, αποδεικνύουμε τους κοινούς παράγοντες των ομάδων.

Παράδειγμα

Συντελεστής του πολυωνύμου mx + 3nx + my + 3ny

Οι οροι μχ και 3nx έχει ως κοινό παράγοντα το Χ. ήδη οι όροι μου και 3ny έχουν ως κοινό παράγοντα το ε.

Αποδεικτικά στοιχεία αυτών των παραγόντων:

x (m + 3n) + y (m + 3n)

Σημειώστε ότι (m + 3n) επαναλαμβάνεται επίσης και με τους δύο όρους.

Βάζοντας ξανά σε αποδεικτικά στοιχεία, βρίσκουμε το παραγοντικό σχήμα του πολυωνύμου:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Τέλειο τετράγωνο τετράγωνο

Τα Trinomials είναι πολυώνυμα με 3 όρους.

Τα τέλεια τετράγωνα trinomials α2 + 2αμπ + β2 και το2 - 2ab + b2 αποτέλεσμα από το αξιοσημείωτο προϊόν του τύπου (a + b)2 και (α - β)2.

Έτσι, η παραγοντοποίηση του τέλειου τετραγωνικού τριανομικού θα είναι:

ο2 + 2αμπ + β2 = (α + β)2 (τετράγωνο του αθροίσματος των δύο όρων)

ο2 - 2ab + b2 = (α - β)2 (τετράγωνο της διαφοράς δύο όρων)

Για να μάθουμε αν ένα trinomial είναι πραγματικά ένα τέλειο τετράγωνο, κάνουμε τα εξής:

1º) Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα των όρων που εμφανίζονται τετράγωνες.
2) Πολλαπλασιάστε τις τιμές που βρέθηκαν με το 2.
3ο) Συγκρίνετε την τιμή που βρέθηκε με τον όρο που δεν έχει τετράγωνα. Εάν είναι ίσοι, είναι ένα τέλειο τετράγωνο.

Παραδείγματα

α) Συντελεστής του πολυωνύμου x2 + 6x + 9

Πρώτον, πρέπει να ελέγξουμε εάν το πολυώνυμο είναι ένα τέλειο τετράγωνο.

√x2 = x και √9 = 3

Πολλαπλασιάζοντας με 2, βρίσκουμε: 2. 3. x = 6χ

Δεδομένου ότι η τιμή που βρέθηκε είναι ίση με τον όρο που δεν είναι τετράγωνο, το πολυώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο.

Έτσι, η παραγοντοποίηση θα είναι:

Χ2 + 6x + 9 = (x + 3)2

β) Παράγοντας το πολυώνυμο x2 - 8xy + 9y2

Δοκιμή αν είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial:

√x2 = x και √9y2 = 3ε

Κάνοντας τον πολλαπλασιασμό: 2. Χ. 3y = 6xy

Η τιμή που βρέθηκε δεν ταιριάζει με τον όρο του πολυωνύμου (8xy ≠ 6xy).

Δεδομένου ότι δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο παραγοντοποίησης.

Διαφορά δύο τετραγώνων

Για να συντελεστούν πολυώνυμα τύπου α2 - Β2 χρησιμοποιούμε το αξιοσημείωτο προϊόν του αθροίσματος και της διαφοράς.

Έτσι, η παραγοντοποίηση πολυωνύμων αυτού του τύπου θα είναι:

ο2 - Β2 = (a + b). (α - β)

Για να υπολογίσουμε, πρέπει να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα των δύο όρων.

Στη συνέχεια, γράψτε το προϊόν του αθροίσματος των τιμών που βρέθηκαν και τη διαφορά μεταξύ αυτών των τιμών.

Παράδειγμα

Συντελεστής του 9x διωνύμου2 - 25.

Αρχικά, βρείτε την τετραγωνική ρίζα των όρων:

√9x2 = 3x και √25 = 5

Γράψτε αυτές τις τιμές ως προϊόν του αθροίσματος και της διαφοράς:

2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)

τέλειος κύβος

τα πολυώνυμα α3 + 3ος2b + 3ab2 + β3 και το3 - 3ος2b + 3ab2 - Β3 αποτέλεσμα από το αξιοσημείωτο προϊόν του τύπου (a + b)3 ή (α - β)3.

Έτσι, το παραγοντικό σχήμα του τέλειου κύβου είναι:

ο3 + 3ος2b + 3ab2 + β3 = (α + β)3

ο3 - 3ος2b + 3ab2 - Β3 = (α - β)3

Για να αποκλείσουμε τέτοια πολυώνυμα, πρέπει να υπολογίσουμε την κυβική ρίζα των όρων στον κύβο.

Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να επιβεβαιωθεί ότι το πολυώνυμο είναι ένας τέλειος κύβος.

Εάν ναι, κάνουμε κύβο το άθροισμα ή την αφαίρεση των τιμών των κυβικών ριζών που βρέθηκαν.

Παραδείγματα

α) Συντελεστής του πολυωνύμου x3 + 6χ2 + 12x + 8

Αρχικά, ας υπολογίσουμε την κυβική ρίζα των όρων με κύβους:

3√ x3 = x και 3√ 8 = 2

Στη συνέχεια, επιβεβαιώστε εάν είναι ένας τέλειος κύβος:

3. Χ2. 2 = 6χ2

3. Χ. 22 = 12χ

Δεδομένου ότι οι όροι που βρέθηκαν είναι οι ίδιοι με τους όρους στο πολυώνυμο, τότε είναι ένας τέλειος κύβος.

Έτσι, η παραγοντοποίηση θα είναι:

Χ3 + 6χ2 + 12x + 8 = (x + 2)3

β) Παράγοντας το πολυώνυμο a3 - 9η2 + 27η - 27η

Αρχικά ας υπολογίσουμε την κυβική ρίζα των όρων με κύβους

3προς την3 = α και 3√ - 27 = - 3

Στη συνέχεια, επιβεβαιώστε εάν είναι ένας τέλειος κύβος:

3. ο2. (-3) = - 9η2

3. Ο. (- 3)2 = 27η

Δεδομένου ότι οι όροι που βρέθηκαν είναι οι ίδιοι με τους όρους στο πολυώνυμο, τότε είναι ένας τέλειος κύβος.

Έτσι, η παραγοντοποίηση θα είναι:

ο3 - 9η2 + 27α - 27 = (α - 3)3

Διαβάστε επίσης:

  • Ενίσχυση
  • Πολυώνυμα
  • Πολυωνυμική λειτουργία
  • πρώτοι αριθμοί

Λύσεις ασκήσεις

Παράγοντες τα ακόλουθα πολυώνυμα:

α) 33x + 22y - 55z
β) 6nx - 6ny
γ) 4x - 8c + mx - 2mc
δ) 49 - το2
ε) 9ος2 + 12η + 4

α) 11. (3x + 2y - 5z)
β) 6n. (x - ε)
c) (x - 2γ). (4 + μ)
δ) (7 + α). (7 - α)
ε) (3ο + 2)2

Δείτε επίσης:

  • Αλγεβρικές εκφράσεις
  • Ασκήσεις σε αλγεβρικές εκφράσεις
  • Αξιοσημείωτα προϊόντα
  • Αξιοσημείωτα προϊόντα - Ασκήσεις
Υπολογισμός του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας γραμμής

Υπολογισμός του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας γραμμής

Γνωρίζουμε ότι η τιμή της κλίσης μιας ευθείας γραμμής είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της. ...

read more
Διαδικασία για την επίλυση γραμμικού συστήματος m x n

Διαδικασία για την επίλυση γραμμικού συστήματος m x n

Είναι δυνατό να επιλυθεί ένα σύστημα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer, αλλά αυτός ο κανόνας ...

read more
Υπολογισμός τρέχουσας αξίας

Υπολογισμός τρέχουσας αξίας

Κάθε χρηματοδοτούμενη αγορά καταβάλλεται σε δόσεις, στις οποίες ο τόκος συμπεριλαμβάνεται σύμφωνα...

read more
instagram viewer