Εκθετική συνάρτηση: τύποι, γράφημα, ασκήσεις

Ο εκθετικη συναρτηση συμβαίνει όταν, στο νόμο σχηματισμού της, η μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη, με τομέα και αντίθετο τομέα στο πραγματικοί αριθμοί. Ο τομέας της εκθετικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί και ο τομέας μετρητών είναι οι μη μηδενικοί θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ο νόμος για την εκπαίδευση μπορεί να περιγραφεί από f (x) =ο^Χ, σε τι ο είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός εκτός από το 1.

Ο γραφικός μιας εκθετικής συνάρτησης θα είναι πάντα στο πρώτο και το δεύτερο τεταρτημόριο του καρτεσιανού επιπέδου, και μπορεί να αυξάνεται, όταν ο είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από 1 ή μειώνεται όταν ο είναι ένας θετικός αριθμός μικρότερος από 1. Ο αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης είναι η λογαριθμική συνάρτηση, η οποία καθιστά τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων πάντα συμμετρικά.

Διαβάστε επίσης: Τι είναι η λειτουργία;

Τι είναι μια εκθετική συνάρτηση;

Όπως υποδηλώνει το όνομα, ο όρος εκθετικός συνδέεται με τον εκθέτη. Έτσι ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης είναι α

instagram story viewer

λειτουργία του οποίου τομέα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ο αντίθετος τομέας είναι το σύνολο των μη μηδενικών θετικών πραγματικών αριθμών., περιγράφεται από : ℝ → ℝ *₊. Ο νόμος σχηματισμού του περιγράφεται με την εξίσωση f (x) = ο^Χ, σε τι ο Είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, θετικός, όχι μηδενικός και έχει το όνομα βάσης.

Παραδείγματα:

Στο νόμο σχηματισμού, το f (x) μπορεί επίσης να περιγραφεί ως y και, όπως και στις άλλες λειτουργίες, είναι γνωστή ως εξαρτημένη μεταβλητή, επειδή η τιμή της εξαρτάται από το x, το οποίο είναι γνωστό ως μεταβλητή. ανεξάρτητος.

Εκθετικοί τύποι λειτουργιών

Οι εκθετικές συναρτήσεις μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο ξεχωριστές περιπτώσεις. Λαμβάνοντας υπόψη τη συμπεριφορά της συνάρτησης, μπορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα.

Μια εκθετική συνάρτηση ονομάζεται αύξηση εάν, καθώς αυξάνεται η τιμή του x, αυξάνεται επίσης η τιμή του f (x). Αυτό συμβαίνει όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από 1, δηλαδή: ο > 1.

Παράδειγμα:

Γράφημα μιας αυξανόμενης εκθετικής συνάρτησης

Μια εκθετική συνάρτηση θεωρείται ότι μειώνεται εάν, καθώς η τιμή του x αυξάνεται, η τιμή του f (x) μειώνεται. Αυτό συμβαίνει όταν η βάση είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1, δηλαδή 0 < ο < 1.

Παράδειγμα:

Γράφημα μιας φθίνουσας εκθετικής συνάρτησης

Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης

Γράφημα εκθετικής λειτουργίας

Για να σχεδιάσετε τη γραφική αναπαράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης, είναι απαραίτητο να βρείτε την εικόνα για ορισμένες τιμές τομέα. Το γράφημα μιας εκθετικής συνάρτησης έχει το χαρακτηριστικό μιας ανάπτυξης πολύ μεγαλύτερο από αυτό του γραμμικές συναρτήσεις, εάν αυξάνεται, ή μεγαλύτερη μείωση, όταν μειώνεται.

Παραδείγματα:

α) Δημιουργήστε το γράφημα της συνάρτησης: f (x) = 2^Χ.

Από> 1, τότε αυτή η λειτουργία αυξάνεται. Για να δημιουργήσετε το γράφημα, ας αντιστοιχίσουμε ορισμένες τιμές στο x όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Τώρα που γνωρίζουμε ορισμένα σημεία της συνάρτησης, είναι δυνατό να τα επισημάνετε στο Καρτεσιανό αεροπλάνο και σχεδιάστε την καμπύλη εκθετικής συνάρτησης.

β) Δημιουργήστε το γράφημα της ακόλουθης συνάρτησης:

Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση είναι φθίνουσα, καθώς η βάση είναι ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1, τότε το γράφημα θα είναι φθίνουσα.

Αφού βρείτε κάποιες αριθμητικές τιμές, μπορείτε να αναπαραστήσετε στο Καρτεσιανό επίπεδο το γράφημα της συνάρτησης:

Ιδιότητες εκθετικής λειτουργίας

→ 1ο ακίνητο

Σε οποιαδήποτε εκθετική συνάρτηση, ανεξάρτητα από τη βασική της τιμή Ο, Πρεπει ναf (0) = 1. Εξάλλου, γνωρίζουμε ότι αυτό είναι ιδιότητα ισχύος, δηλαδή, κάθε αριθμός που αυξάνεται στο 0 είναι 1. Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα θα τέμνει κάθετο άξονα στο σημείο (0.1) κάθε φορά.

→ 2ο ακίνητο

Η εκθετική συνάρτηση είναι εγχυνών. Δεδομένα x₁ και x₂ έτσι ώστε x₁ ≠ x₂, έτσι οι εικόνες θα είναι επίσης διαφορετικές, π.χ. f (x₁) ≠ f (x₂), που σημαίνει ότι για κάθε τιμή εικόνας, υπάρχει μία τιμή στον τομέα που αντιστοιχεί σε αυτήν την εικόνα.

Όντας ενέσιμο σημαίνει ότι για τιμές διαφορετικές από το y, θα υπάρχει μία μόνο τιμή x που κάνει το f (x) ίσο με το y.

→ 3η ιδιοκτησία

Είναι δυνατόν να γνωρίζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης σύμφωνα με την τιμή βάσης της. Το γράφημα θα αυξηθεί εάν η βάση είναι μεγαλύτερη από 1 (ο > 1) και μειώνεται εάν η βάση είναι μικρότερη από 1 και μικρότερη από 0 (0

→ 4η ιδιοκτησία

Ο το γράφημα της εκθετικής συνάρτησης είναι πάντα στο 1ο και το 2ο τεταρτημόριο, επειδή ο αντίθετος τομέας της συνάρτησης είναι οι μηδενικοί θετικοί πραγματικοί.

Διαβάστε επίσης: Πώς να γράφετε μια συνάρτηση;

Εκθετική συνάρτηση και λογαριθμική συνάρτηση

Καθώς η εκθετική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αποδέχεται αντίστροφη, αυτή η σύγκριση μεταξύ της εκθετικής συνάρτησης και της λογαριθμικής συνάρτησης είναι αναπόφευκτη. αποδεικνύεται ότι η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη συνάρτηση του εκθετικού. Τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων είναι συμμετρικά σχετικά με τον διαχωριστή άξονα Χ. Όντας μια αντίστροφη συνάρτηση σημαίνει ότι το λογαριθμική συνάρτηση κάνει το αντίθετο από αυτό που κάνει η εκθετική συνάρτηση, δηλαδή στην εκθετική συνάρτηση, εάν f (x) = y, τότε η λογαριθμική συνάρτηση, που είναι αντίστροφη, θα συμβολίζεται με f^-1 το στ^-1 (y) = x.

Το γράφημα της εκθετικής συνάρτησης είναι συμμετρικό με το γράφημα της λογαριθμικής συνάρτησης.

Οι ασκήσεις λύθηκαν

(Enem 2015) Η ένωση εργαζομένων μιας εταιρείας υποδηλώνει ότι το κατώτατο όριο μισθών της τάξης είναι 1.800,00 R $, προτείνοντας ένα σταθερό ποσοστό αύξησης για κάθε έτος αφιερωμένο στην εργασία. Η έκφραση που αντιστοιχεί στις προτάσεις μισθών, ως συνάρτηση της διάρκειας υπηρεσίας (t), σε έτη, είναι s (t) = 1800 · (1,03)^τ.

Σύμφωνα με την πρόταση του συνδικάτου, ο μισθός ενός επαγγελματία από αυτήν την εταιρεία με 2 χρόνια υπηρεσίας θα είναι, σε reais,

α) 7,416,00

β) 3.819.24

γ) 3.709.62

δ) 3,708,00

ε) 1909.62

Ανάλυση:

Θέλουμε να υπολογίσουμε την εικόνα της συνάρτησης όταν t = 2, δηλαδή, s (2). Αντικαθιστώντας t = 2 στον τύπο, θα διαπιστώσουμε ότι:

s (2) = 1800 · (1,03) ²

s (2) = 1800 · 1,0609

s (2) = 1909,62

Εναλλακτική Ε

2) (Enem 2015) Η προσθήκη τεχνολογιών στο βιομηχανικό σύστημα παραγωγής στοχεύει στη μείωση του κόστους και στην αύξηση της παραγωγικότητας. Κατά το πρώτο έτος λειτουργίας, μια βιομηχανία κατασκευάζει 8000 μονάδες ενός συγκεκριμένου προϊόντος. Το επόμενο έτος, επένδυσε στην τεχνολογία, αποκτώντας νέα μηχανήματα και αύξησε την παραγωγή κατά 50%. Εκτιμάται ότι αυτή η ποσοστιαία αύξηση θα επαναληφθεί τα επόμενα χρόνια, διασφαλίζοντας ετήσια αύξηση 50%. Ας είναι η P η ετήσια ποσότητα προϊόντων που κατασκευάζονται κατά το έτος t της λειτουργίας του κλάδου.

Εάν επιτευχθεί η εκτίμηση, ποια είναι η έκφραση που καθορίζει τον αριθμό των μονάδων που παράγονται Πσε λειτουργία του τ, Για τ ≥ 1?

Ο) Π(τ) = 0,5 t ^-1 + 8 000

ΣΙ)Π(τ) = 50 · t ^-1+ 8000

ντο)Π(τ) = 4 000 · t^-1 + 8 000

ρε)Π(τ) = 8 000 · (0,5)^t-1

και)Π(τ) = 8 000 · (1,5)^t-1

Ανάλυση:

Σημειώστε ότι υπάρχει σχέση μεταξύ του έτους τ και την ποσότητα ενός συγκεκριμένου προϊόντος Π. Γνωρίζοντας ότι υπάρχει αύξηση 50% για κάθε έτος, αυτό σημαίνει ότι, όταν συγκρίνουμε την παραγωγή ενός έτους πριν και μετά, η τιμή του δεύτερου αντιστοιχεί στο 150%, το οποίο αντιπροσωπεύεται από 1,5. Γνωρίζοντας ότι η αρχική παραγωγή είναι 8000 και ότι, τον πρώτο χρόνο, αυτή ήταν η παραγωγή, μπορούμε να περιγράψουμε αυτήν την κατάσταση:

Κατά το πρώτο έτος, δηλαδή εάν t = 1 → s (t) = 8 000.
Κατά το δεύτερο έτος, εάν t = 2 → Π(2) = 8 000 · 1,5.
Κατά το τρίτο έτος, εάν t = 3 → Π(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
Μετά από t χρόνια, θα έχουμε Π(τ) = 8 000 · (1,5)^t-1.