Αντίστροφη μήτρα: τι είναι, πώς να βρείτε ασκήσεις

Η εννοια του αντίστροφη μήτρα έρχεται πολύ κοντά στην έννοια του αντίστροφου ενός αριθμού. Ας θυμηθούμε ότι το αντίστροφο ενός αριθμού όχι είναι ο αριθμός όχι^-1, όταν το προϊόν μεταξύ των δύο είναι ίσο με το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμός, δηλαδή, ο αριθμός 1. Ήδη το αντίστροφο της μήτρας Μ είναι η μήτρα Μ^-1, όπου το προϊόν M · M^-1 είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας I_όχι, που δεν είναι τίποτα περισσότερο από το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού της μήτρας.

Για να έχει το πλέγμα αντίστροφο, πρέπει να είναι τετράγωνο και, επιπλέον, ο καθοριστής του πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν, διαφορετικά δεν θα υπάρχει αντίστροφο. Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση του πίνακα.

Διαβάστε επίσης: Τριγωνικό πλέγμα - ειδικός τύπος τετραγωνικής μήτρας

Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη, πρέπει να είναι τετράγωνη.

μήτρα ταυτότητας

Για να καταλάβετε τι είναι ο αντίστροφος πίνακας, είναι πρώτα απαραίτητο να γνωρίζετε τον πίνακα ταυτότητας. Γνωρίζουμε ως μήτρα ταυτότητας τον τετραγωνικό πίνακα Ι

_όχι όπου όλα τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας είναι ίση με 1 και οι άλλοι όροι είναι ίσοι με 0.

Ο Η ταυτότητα μήτρας είναι το ουδέτερο στοιχείο πολλαπλασιασμού μεταξύ πινάκων., δηλαδή, δεδομένου αρχηγείο M της παραγγελίας n, το προϊόν μεταξύ της μήτρας M και της μήτρας I_όχι είναι ίσο με τον πίνακα M.

Μ · εγώ_όχι = Μ

Πώς να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα

Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του M, είναι απαραίτητο να επιλύσετε μια εξίσωση μήτρας:

 Μ · Μ^-1 = Εγώ_όχι

Παράδειγμα

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του M.

Επειδή δεν γνωρίζουμε την αντίστροφη μήτρα, ας παρουσιάσουμε αυτήν την μήτρα αλγεβρικά:

Γνωρίζουμε ότι το προϊόν μεταξύ αυτών των πινάκων πρέπει να είναι ίσο με το I₂:

Τώρα ας λύσουμε την εξίσωση του πίνακα:

Είναι δυνατόν να διαχωριστεί το πρόβλημα σε δύο συστήματα εξισώσεις. Η πρώτη χρησιμοποιεί την πρώτη στήλη του πίνακα M · M^-1 και την πρώτη στήλη της μήτρας ταυτότητας. Έτσι, πρέπει:

Για να λύσουμε το σύστημα, ας απομονώσουμε το₂₁ στην εξίσωση II και υποκατάστατο στην εξίσωση Ι.

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Ι, πρέπει:

Πώς βρίσκουμε την τιμή ενός₁₁, τότε θα βρούμε την τιμή ενός₂₁:

Γνωρίζοντας την αξία ενός₂₁ και το₁₁, τώρα θα βρούμε την αξία των άλλων όρων ρυθμίζοντας το δεύτερο σύστημα:

απομόνωση του₂₂ στην εξίσωση III, πρέπει:

3ος₁₂ + 1ος₂₂ = 0

ο₂₂ = - 3ος₁₂

Αντικατάσταση στην εξίσωση IV:

5η₁₂ + 2ος₂₂ =1

5η₁₂ + 2 · (- 3ος₁₂) = 1

5η₁₂ - 6η₁₂ = 1

- ένα₁₂ = 1 ( – 1)

ο₁₂ = – 1

Γνωρίζοντας την αξία ενός₁₂, θα βρούμε την τιμή ενός₂₂ :

ο₂₂ = - 3ος₁₂

ο₂₂ = – 3 · ( – 1)

ο₂₂ = 3

Τώρα που γνωρίζουμε όλους τους όρους του πίνακα M^-1, είναι δυνατόν να το αντιπροσωπεύσετε:

Διαβάστε επίσης: Προσθήκη και αφαίρεση πινάκων

Ιδιότητες αντίστροφης μήτρας

Υπάρχουν ιδιότητες που προκύπτουν από τον ορισμό ενός αντίστροφου πίνακα.

• 1ο ακίνητο: το αντίστροφο του πίνακα M^-1 είναι ίσο με τον πίνακα M. Το αντίστροφο μιας αντίστροφης μήτρας είναι πάντα ο ίδιος ο πίνακας, δηλαδή, (Μ^-1)^-1 = Μ, γιατί γνωρίζουμε ότι ο Μ^-1 · Μ = Ι_όχι, επομένως Μ^-1 είναι το αντίστροφο του Μ και επίσης το Μ είναι το αντίστροφο του Μ^-1.
• 2ο ακίνητο: το αντίστροφο ενός πίνακα ταυτότητας είναι το ίδιο: I^-1 = I, επειδή το προϊόν της μήτρας ταυτότητας οδηγεί από μόνη της στον πίνακα ταυτότητας, δηλαδή, I_όχι · ΕΓΩ_όχι = Εγώ_όχι.
• 3η ιδιοκτησία: το αντίστροφο του προϊόν δύο πινάκωνείσαι είναι ίσο με το προϊόν των αντίστροφων:

(Μ × Υ)^-1 = Μ^-1 · ΕΝΑ^-1.

• 4η ιδιοκτησία: μια τετραγωνική μήτρα έχει αντίστροφο εάν και μόνο εάν είναι καθοριστικός διαφέρει από το 0, δηλαδή, det (M) ≠ 0.

Οι ασκήσεις λύθηκαν

1) Δεδομένου του πίνακα A και του πίνακα B, γνωρίζοντας ότι είναι αντίστροφα, τότε η τιμή του x + y είναι:

Α2.

β) 1.

γ) 0.

δ) -1.

ε) -2.

Ανάλυση:

Εναλλακτική d.

Δημιουργία της εξίσωσης:

Α · Β = Ι 

Στη δεύτερη στήλη, που ισούται με τους όρους, πρέπει:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Απομόνωση x σε I:

Αντικατάσταση σε εξίσωση II, πρέπει:

Γνωρίζοντας την τιμή του y, θα βρούμε την τιμή του x:

Τώρα ας υπολογίσουμε x + y:

Ερώτηση 2

Ένας πίνακας έχει αντίστροφο μόνο όταν ο καθοριστής του είναι διαφορετικός από το 0. Κοιτάζοντας τον παρακάτω πίνακα, ποιες είναι οι τιμές x που κάνουν τη μήτρα να μην υποστηρίζει αντίστροφη;

α) 0 και 1.

β) 1 και 2.

γ) 2 και - 1.

δ) 3 και 0.

ε) - 3 και - 2.

Ανάλυση:

Εναλλακτική β.

Υπολογίζοντας τον καθοριστικό παράγοντα του Α, θέλουμε τιμές όπου det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

επίλυση του Εξίσωση 2ου βαθμού, Πρεπει να:

• α = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm