Στην επίλυση της εξίσωσης 2ου βαθμού x2 - 6x + 9 = 0, βρίσκουμε δύο ρίζες ίσες με 3. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αποσύνθεσης, λαμβάνουμε υπόψη το πολυώνυμο και λαμβάνουμε:
Χ2 - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)2
Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι το 3 είναι η ρίζα της πολλαπλότητας 2 ή η διπλή ρίζα της εξίσωσης.
Επομένως, εάν ένα συντελεστή πολυώνυμο οδηγεί στην ακόλουθη έκφραση:
Μπορούμε να πούμε ότι:
x = -5 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 3 ή τριπλή ρίζα της εξίσωσης p (x) = 0
x = -4 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 2 ή διπλή ρίζα της εξίσωσης p (x) = 0
x = 2 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 1 ή απλή ρίζα της εξίσωσης p (x) = 0
Γενικά, λέμε ότι το r είναι μια ρίζα του πολλαπλασιασμού n, με n ≥ 1, της εξίσωσης p (x) = 0, εάν:
Σημειώστε ότι το p (x) διαιρείται με το (x - r)Μ και ότι η συνθήκη q (r) ≠ 0 σημαίνει ότι r δεν είναι ρίζα του q (x) και εγγυάται ότι η πολλαπλότητα της ρίζας r δεν είναι μεγαλύτερη από m.
Παράδειγμα 1. Λύστε την εξίσωση x4 - 9χ3 + 23χ2 - 3x - 36 = 0, δεδομένου ότι το 3 είναι διπλή ρίζα.
Λύση: Θεωρήστε το p (x) ως δεδομένο πολυώνυμο. Ετσι:
Σημειώστε ότι το q (x) επιτυγχάνεται διαιρώντας το p (x) με το (x - 3)2.
Διαιρώντας με την πρακτική συσκευή της Briot-Ruffini, αποκτούμε:
Μετά την εκτέλεση της διαίρεσης, βλέπουμε ότι οι συντελεστές του πολυωνύμου q (x) είναι 1, -3 και -4. Έτσι, q (x) = 0 θα είναι: x2 - 3x - 4 = 0
Ας λύσουμε την παραπάνω εξίσωση για να προσδιορίσουμε τις άλλες ρίζες.
Χ2 - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ή x = 4
Επομένως, S = {-1, 3, 4}
Παράδειγμα 2. Γράψτε μια αλγεβρική εξίσωση ελάχιστου βαθμού έτσι ώστε το 2 να είναι διπλή ρίζα και - το 1 είναι μία μόνο ρίζα.
Λύση: Πρέπει να:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Ή
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Πολυώνυμα - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
RIGONATTO, Marcelo. "Πολλαπλή ρίζα"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm. Πρόσβαση στις 29 Ιουνίου 2021.
