Το σύνολο των πρώτοι αριθμοί είναι το αντικείμενο της μελέτης στο μαθηματικά από την Αρχαία Ελλάδα. Ο Ευκλείδης, στο σπουδαίο του έργο «Τα Στοιχεία», έχει ήδη συζητήσει το θέμα, καταφέρνοντας να το αποδείξει αυτό σειρά είναι άπειρο. Όπως γνωρίζουμε, οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι εκείνοι που έχουν τον αριθμό 1 ως διαιρέτης και οι ίδιοι, έτσι, Η εύρεση πολύ μεγάλων αριθμών δεν είναι εύκολη υπόθεση και το κόσκινο του Ερατοσθένη το καθιστά εύκολο. συνάντηση.
Πώς ξέρετε πότε ένας αριθμός είναι πρωταρχικός;
Γνωρίζουμε ότι ένας πρωταρχικός αριθμός είναιόποιος έχει ως διαιρών ο αριθμός 1 και ο ίδιος, έτσι ένας αριθμός που, στη λίστα των διαχωριστικών, έχει αριθμούς διαφορετικούς από 1 και από μόνος του δεν θα είναι πρώτος, δείτε:
Καταγράφοντας τα διαχωριστικά 11 και 30, έχουμε:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Σημειώστε ότι ο αριθμός 11 έχει μόνο τον αριθμό 1 και τον εαυτό του ως διαιρέτες, έτσι το Ο αριθμός 11 είναι ένας πρώτος αριθμός. Τώρα, κοιτάξτε τα διαχωριστικά του αριθμού 30, εκτός από τον αριθμό 1 και το ίδιο, τους αριθμούς 2, 3, 5, 6 και 10 με διαιρέτες. Ως εκ τούτου,
ο αριθμός 30 δεν είναι πρώτος.→ Παράδειγμα: Καταγράψτε τα αστέρια λιγότερο από 15.
Για αυτό, θα απαριθμήσουμε τους διαχωριστές όλων των αριθμών μεταξύ 2 και 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Έτσι, τα αστέρια μικρότερα από 15 είναι:
2, 3, 5, 7, 11 και 13
Ας το παραδεχτούμε, αυτό το έργο δεν θα ήταν πολύ ευχάριστο, για παράδειγμα, αν θέλαμε να γράψουμε όλα τα prime μεταξύ 2 και 100. Για να το αποφύγουμε, θα μάθουμε να χρησιμοποιούμε, στο επόμενο θέμα, το κόσκινο των Ερατοσθένων.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Κόσκινο του Ερατοσθένη
Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι ένα εργαλείο που στοχεύει στη διευκόλυνση του προσδιορισμού των πρώτων αριθμών. Το κόσκινο αποτελείται από τέσσερα βήματα, και είναι απαραίτητο, για να τα κατανοήσουμε, να έχουμε κατά νου το κριτήρια διαιρεσιμότητας. Πριν ξεκινήσουμε βήμα προς βήμα, πρέπει να δημιουργήσουμε έναν πίνακα από τον αριθμό 2 στον επιθυμητό αριθμό, καθώς ο αριθμός 1 δεν είναι πρώτος. Επειτα:
→ Βήμα 1: Από το κριτήριο διαιρετότητας κατά 2, έχουμε ότι όλοι οι ζυγοί αριθμοί διαιρούνται από αυτό, δηλαδή, το Ο αριθμός 2 θα εμφανιστεί στη λίστα των διαχωριστών, επομένως αυτοί οι αριθμοί δεν θα είναι πρώτοι και πρέπει να τους εξαιρέσουμε από το τραπέζι. Είναι αυτοί:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Βήμα 2: Από το κριτήριο της διαιρετότητας κατά 3, γνωρίζουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με 3 εάν το άθροισμα των ψηφίων του είναι επίσης. Επομένως, πρέπει να εξαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς από τον πίνακα, καθώς δεν είναι πρώτοι επειδή υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το 1 και ο ίδιος στη λίστα των διαιρετών. Έτσι, πρέπει να αποκλείσουμε τους αριθμούς:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Βήμα 3: Από το κριτήριο της διαιρετότητας κατά 5, γνωρίζουμε ότι όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 διαιρούνται με 5, οπότε πρέπει να τους εξαιρέσουμε από τον πίνακα.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Βήμα 4: Ομοίως, πρέπει να εξαιρέσουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια των 7 από τον πίνακα.
14, 21, 28, …, 546, …
- Γνωρίζοντας το κόσκινο του Ερατοσθένη, ας προσδιορίσουμε τους πρώτους μεταξύ 2 και 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ δεν είναι ξαδέρφια
→ πρώτοι αριθμοί
Έτσι, οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ 2 και 100 είναι:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Διαβάστε επίσης: Υπολογισμός MMC και MDC: πώς να το κάνετε;
Πρωταρχική αποσύνθεση παράγοντα
Ο πρωταρχική αποσύνθεση παράγοντα είναι επίσημα γνωστή ως θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι οποιοδήποτε ακέραιος αριθμός διαφορετικό από 0 και μεγαλύτερο από 1 μπορεί να αναπαρασταθεί από το προϊόν των πρώτων αριθμών. Για να προσδιορίσουμε την παραγοντική μορφή ενός ακέραιου, πρέπει να εκτελέσουμε διαδοχικές διαιρέσεις έως ότου φτάσουμε στο αποτέλεσμα ίσο με 1. Δείτε το παράδειγμα:
→ Προσδιορίστε την παραγοντοποιημένη μορφή των αριθμών 8, 20 και 350.
Για να συντελέσουμε τον αριθμό 8, πρέπει να τον διαιρέσουμε με τον πρώτο πιθανό πρώτο αριθμό, στην περίπτωση αυτή με το 2. Στη συνέχεια, πραγματοποιούμε μια άλλη διαίρεση επίσης με τον πρώτο που είναι δυνατή, αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου φτάσουμε στον αριθμό 1 ως απάντηση στο τμήμα. Κοίτα:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Επομένως, η παραγοντική μορφή του αριθμού 8 είναι 2 · 2 = 23. Προκειμένου να διευκολυνθεί αυτή η διαδικασία, θα υιοθετήσουμε την ακόλουθη μέθοδο:
Επομένως, ο αριθμός 8 μπορεί να γραφτεί ως: 23.
→ Για να συντελέσουμε τον αριθμό 20, θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια μέθοδο, δηλαδή: διαιρέστε τον με τους πρώτους αριθμούς.
Έτσι, ο αριθμός 20, με την παραγοντική του μορφή, είναι: 2 · 2 · 5 ή 22 · 5.
→ Ομοίως, θα κάνουμε με τον αριθμό 350.
Ως εκ τούτου, ο αριθμός 350, με την παραγοντική του μορφή, είναι: 2 · 5 · 5 · 7 ή 2 · 52 · 7.
Δείτε επίσης: Επιστημονική σημειογραφία: σε τι χρησιμεύει;
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Απλοποιήστε την έκφραση:
Λύση
Αρχικά, ας συνθέσουμε την έκφραση για να την κάνουμε ευκολότερη.
Έτσι, 1024 = 210και επομένως μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ένα με το άλλο στην έκφραση άσκησης. Ετσι:
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
