Μεταξύ των τρόπων εύρεσης της αριθμητικής τιμής του x, μια διαδικασία γνωστή και ως βρείτε τις ρίζες μιας εξίσωσης ή βρείτε τη λύση μιας εξίσωσης, ξεχωρίζω: Φόρμουλα Bhaskara είναι το διαδικασία ολοκλήρωσης τετραγώνων. Το τελευταίο είναι το επίκεντρο του σημερινού κειμένου.
Ο αριθμός των λύσεων σε μια εξίσωση δίνεται από τον βαθμό της. Επομένως, οι εξισώσεις πρώτου βαθμού έχουν μόνο μία λύση, οι εξισώσεις τρίτου βαθμού έχουν τρεις λύσεις και οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν δύο λύσεις, που ονομάζονται επίσης ρίζες..
Οι εξισώσεις δεύτερου βαθμού, με τη μειωμένη μορφή τους, μπορούν να γραφτούν ως εξής:
τσεκούρι2 + bx + c = 0
μέθοδος τετραγωνικής ολοκλήρωσης
Σε αυτήν την περίπτωση, η τετραγωνική εξίσωση είναι ένα τέλειο τετράγωνο τρινομικό
Οι εξισώσεις δεύτερου βαθμού που προκύπτουν από ένα αξιοσημείωτο προϊόν είναι γνωστές ως τέλειο τετράγωνο trinomial. Για να βρούμε τις ρίζες της, θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο που παρατίθεται παρακάτω:
Παράδειγμα: Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης x2 + 6x + 9 = 0.
Σημειώστε ότι ο συντελεστής b είναι 6 = 2 · 3. Για να το γράψετε με τη μορφή αξιοσημείωτου προϊόντος, απλώς ελέγξτε αν c = 32, που ισχύει, από τις 32 = 9 = γ. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να γράψουμε:
Χ2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Σημειώστε ότι ένα αξιοσημείωτο προϊόν είναι το προϊόν μεταξύ δύο ίσων πολυωνύμων. Στην περίπτωση αυτής της εξίσωσης, θα έχουμε:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ένα προϊόν ισούται με μηδέν μόνο όταν ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, για (x + 3) (x + 3) = 0, είναι απαραίτητο (x + 3) = 0 ή (x + 3) = 0. Εξ ου και τα δύο ίσα αποτελέσματα για την εξίσωση x2 + 6x + 9 = 0, που είναι: x = - 3 ή x = - 3.
Εν συντομία: για την επίλυση της εξίσωσης x2 + 6x + 9 = 0, γράψτε:
Χ2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 ή x = - 3
Σε αυτήν την περίπτωση η τετραγωνική εξίσωση δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο τρινομικό
Μια εξίσωση της δεύτερης κατά την οποία ο συντελεστής b και ο συντελεστής c δεν πληρούν τις σχέσεις που έχουν καθοριστεί παραπάνω δεν είναι ένα τέλειο τετράγωνο trinomial. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος επίλυσης που επισημαίνεται παραπάνω μπορεί να χρησιμοποιηθεί με την προσθήκη μερικών βημάτων. Σημειώστε το ακόλουθο παράδειγμα:
Παράδειγμα: Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης x2 + 6x - 7 = 0.
Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση δεν είναι ένα τέλειο τετραγωνικό τετράγωνο. Για να είναι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες λειτουργίες:
Σημειώστε ότι b = 2 · 3, έτσι στο πρώτο μέλος η έκφραση που πρέπει να εμφανίζεται είναι x2 + 6x + 9, επειδή σε αυτήν την έκφραση b = 2 · 3 και c = 32.
Για αυτόν τον "μετασχηματισμό", προσθέστε 32 στα δύο μέλη αυτής της εξίσωσης, "περάστε" το - 7 στο δεύτερο μέλος, εκτελέστε τις πιθανές λειτουργίες και παρατηρήστε τα αποτελέσματα:
Χ2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
Χ2 + 6x + 32 = 32 + 7
Χ2 + 6x + 9 = 9 + 7
Χ2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 ή x + 3 = - 4
Αυτό το τελευταίο βήμα πρέπει να χωριστεί σε δύο εξισώσεις, καθώς η ρίζα του 16 μπορεί να είναι 4 ή - 4 (αυτό συμβαίνει μόνο σε εξισώσεις. Εάν ρωτηθεί ποια είναι η ρίζα του 16, η απάντηση είναι μόνο 4). Επομένως, είναι απαραίτητο να βρούμε όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Συνεχίζοντας:
x + 3 = 4 ή x + 3 = - 4
x = 4 - 3 ή x = - 4 - 3
x = 1 ή x = - 7
Σε αυτήν την περίπτωση ο συντελεστής "a" δεν ισούται με 1
Οι προηγούμενες περιπτώσεις προορίζονται για τετραγωνικές εξισώσεις όπου ο συντελεστής "a" ισούται με 1. Εάν ο συντελεστής "a" διαφέρει από το 1, διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με την τιμή "a" και προχωρήστε με τους υπολογισμούς με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση.
Παράδειγμα: Υπολογίστε 2x ρίζες2 + 16x - 18 = 0
Σημειώστε ότι a = 2. Διαιρέστε λοιπόν ολόκληρη την εξίσωση με 2 και απλοποιήστε τα αποτελέσματα:
2χ2 + 16χ – 18 = 0
2 2 2 2
Χ2 + 8x - 9 = 0
Μόλις γίνει αυτό, επαναλάβετε τις διαδικασίες της προηγούμενης περίπτωσης.
Χ2 + 8x - 9 = 0
Χ2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
Χ2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 ή x + 4 = –5
x = 5 - 4 ή x = - 5 - 4
x = 1 ή x = - 9
Αξιοσημείωτα προϊόντα και εξισώσεις δεύτερου βαθμού: Προέλευση της μεθόδου τετραγωνικής ολοκλήρωσης
Οι τετραγωνικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τα αξιόλογα προϊόντα άθροισμα και τετράγωνο της διαφοράς.
Το άθροισμα τετραγώνου, για παράδειγμα, είναι ένα άθροισμα δύο τετραγώνων. Παρακολουθώ:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Το πρώτο μέλος της παραπάνω ισότητας είναι γνωστό ως αξιοσημείωτο προϊόν και το δεύτερο πώς τέλειο τετράγωνο trinomial. Το τελευταίο μοιάζει πολύ με μια εξίσωση του δεύτερου βαθμού. Παρακολουθώ:
Τέλειο τετράγωνο trinomial: Χ2 + 2kx + k2
Εξίσωση δεύτερου βαθμού: τσεκούρι2 + bx + c = 0
Με αυτόν τον τρόπο, εάν υπάρχει κάποιος τρόπος να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση ως ένα αξιοσημείωτο προϊόν, Ίσως υπάρχει επίσης ένας τρόπος να βρείτε τα αποτελέσματά σας χωρίς να χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Μπασκάρα.
Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ότι, στο αξιοσημείωτο προϊόν παραπάνω, a = 1, b = 2 · k και c = k2. Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να γράψετε εξισώσεις που πληρούν αυτές τις απαιτήσεις με τη μορφή ενός αξιόλογου προϊόντος.
Δείτε λοιπόν τους συντελεστές στην εξίσωση. Εάν το "a" είναι διαφορετικό από το 1, διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με την τιμή του "a". Διαφορετικά, παρατηρήστε τον συντελεστή "b". Η αριθμητική τιμή του μισού αυτού του συντελεστή πρέπει να ισούται με την αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας του συντελεστή «c». Μαθηματικά, δεδομένου του τσεκουριού εξίσωσης2 + bx + c = 0, εάν a = 1 και επιπλέον:
σι = γ
2
Έτσι, μπορείτε να γράψετε αυτήν την εξίσωση ως εξής:
τσεκούρι2 + bx + c = (x + σι) = 0
2
Και οι ρίζες του θα είναι - Β και + β.
2 2
Ως εκ τούτου όλη η θεωρία χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων.
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm