ΕΝΑ ποσοστό χρυσαφένιος ή θεϊκή αναλογία είναι μια ισότητα που συνδέεται με ιδέες αρμονίας, ομορφιάς και τελειότητας. Ευκλείδης Αλεξανδρείας, Έλληνας μαθηματικός που έζησε γύρω στο 300 π.Χ. C., ήταν ένας από τους πρώτους στοχαστές που επισημοποίησαν αυτή την έννοια που μέχρι σήμερα ιντριγκάρει ερευνητές από διαφορετικούς χώρους.
Ο λόγος για αυτό το ενδιαφέρον είναι ότι η χρυσή τομή μπορεί να παρατηρηθεί κατά προσέγγιση στη φύση, συμπεριλαμβανομένων των σπόρων και των φύλλων των φυτών και στο ανθρώπινο σώμα. Κατά συνέπεια, η χρυσή τομή αποτελεί αντικείμενο μελέτης διαφορετικών επαγγελματιών, όπως βιολόγοι, αρχιτέκτονες, καλλιτέχνες και σχεδιαστές.
Διαβάστε επίσης: Αριθμός pi — μία από τις πιο σημαντικές σταθερές στα μαθηματικά
Περίληψη για τη χρυσή τομή
Η χρυσή τομή είναι η αναλογία για \(a>b>0\) τέτοια που
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Υπό αυτές τις συνθήκες ο λόγος οσι ονομάζεται χρυσή τομή.
Η χρυσή τομή συνδέεται με αντιλήψεις ισορροπίας, αγνότητας και τελειότητας.
Το ελληνικό γράμμα ϕ (διαβάστε: fi) αντιπροσωπεύει τον χρυσό αριθμό, ο οποίος είναι η σταθερά που προκύπτει από τη χρυσή αναλογία.
Στην ακολουθία Fibonacci, τα πηλίκα μεταξύ κάθε όρου και του προκατόχου του πλησιάζουν τον χρυσό αριθμό.
Το χρυσό ορθογώνιο είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι στη χρυσή τομή.
Τι είναι η χρυσή τομή;
Θεωρήστε ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρισμένο σε δύο κομμάτια: το μεγαλύτερο του μέτρου ο και το μικρότερο σι. συνειδητοποιώ ότι α+β είναι το μέτρο ολόκληρου του τμήματος.
η χρυσή τομή είναι η ισότητα μεταξύ των λόγων\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) είναι \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), δηλ
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Σε αυτό το πλαίσιο το λέμε ο είναι σι είναι σε χρυσή τομή.
Αλλά για ποιες αξίες του ο είναι σι έχουμε τη χρυσή τομή; Αυτό θα δούμε στη συνέχεια.
Πώς να υπολογίσετε τον χρυσό αριθμό;
Ο λόγος \(\frac{a}b\)(ή, παρομοίως, ο λόγος \(\frac{a+b}a\)) καταλήγει σε μια σταθερά που ονομάζεται χρυσός αριθμός και αντιπροσωπεύεται από το ελληνικό γράμμα ϕ. Έτσι, είναι σύνηθες να γράφουμε
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Για να υπολογίσουμε τον χρυσό αριθμό, ας εξετάσουμε τη χρυσή αναλογία για b = 1. Έτσι, μπορούμε εύκολα να βρούμε την αξία του ο και πάρτε ϕ από την ισότητα \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Σημειώστε ότι μπορούμε να γράψουμε τη χρυσή αναλογία ως εξής, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα πολλαπλασιασμού:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Αντικαθιστώντας b = 1, έχουμε
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Εφαρμόζοντας τον τύπο του Bhaskara για αυτή την τετραγωνική εξίσωση, συμπεραίνουμε ότι η θετική λύση του ο é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Οπως και ο είναι μέτρο ενός τμήματος, θα αγνοήσουμε την αρνητική λύση.
Πώς, λοιπόν \(\frac{a}b=ϕ\), Η ακριβής τιμή του χρυσού αριθμού είναι:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Υπολογίζοντας το πηλίκο, παίρνουμε Η κατά προσέγγιση τιμή του χρυσού αριθμού:
\(ϕ≈1,618033989\)
Δείτε επίσης: Πώς να λύσετε μαθηματικές πράξεις με κλάσματα;
Χρυσή αναλογία και η ακολουθία Fibonacci
ΕΝΑ Η ακολουθία Fibonacci είναι μια λίστα αριθμών όπου κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προκατόχων. Ας δούμε τους πρώτους δέκα όρους αυτής της ακολουθίας:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Όπως υπολογίζουμε το πηλίκο μεταξύ κάθε όρου και του προκατόχου του στην ακολουθία Fibonacci, πλησιάζουμε στον χρυσό αριθμό ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Χρυσή αναλογία και το χρυσό ορθογώνιο
Ενας ορθογώνιο παραλληλόγραμμο όπου η μακρύτερη πλευρά ο και η μικρότερη πλευρά σι είναι σε χρυσή τομή λέγεται χρυσό ορθογώνιο. Ένα παράδειγμα χρυσού ορθογωνίου είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι 1 cm και \(\frac{1+\sqrt5}2\) εκ.
Μάθετε περισσότερα: Τι είναι άμεσα ανάλογα μεγέθη;
Εφαρμογές της Χρυσής Αναλογίας
Σημειώστε ότι, μέχρι τώρα, μελετούσαμε τη χρυσή τομή μόνο σε αφηρημένα μαθηματικά πλαίσια. Στη συνέχεια, θα δούμε μερικά εφαρμοσμένα παραδείγματα, αλλά χρειάζεται προσοχή: η χρυσή τομή δεν παρουσιάζεται ακριβώς σε καμία από αυτές τις περιπτώσεις. Αυτό που υπάρχει είναι αναλύσεις διαφορετικών πλαισίων στα οποία ο χρυσός αριθμός εμφανίζεται έτσικατά προσέγγιση.
Χρυσή Αναλογία στην Αρχιτεκτονική
Ορισμένες μελέτες υποστηρίζουν ότι οι εκτιμήσεις για τον αριθμό του χρυσού παρατηρούνται σε ορισμένες αναλογίες των διαστάσεων της Πυραμίδας του Χέοπα, στην Αίγυπτο, και του κτιρίου της έδρας του ΟΗΕ, στη Νέα Υόρκη.
Χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα
Οι μετρήσεις του ανθρώπινου σώματος διαφέρουν από άτομο σε άτομο και δεν υπάρχει τέλειος σωματότυπος. Ωστόσο, τουλάχιστον από την Αρχαία Ελλάδα, υπάρχουν συζητήσεις για ένα μαθηματικά ιδανικό σώμα (και εντελώς ανέφικτο στην πραγματικότητα), με μετρήσεις που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Σε αυτό το θεωρητικό πλαίσιο, για παράδειγμα, ο λόγος του ύψους ενός ατόμου προς την απόσταση μεταξύ του αφαλού του και του εδάφους θα ήταν ο χρυσός αριθμός.
χρυσή τομή στην τέχνη
Υπάρχει έρευνα για τα έργα «The Vitruvian Man» και «Mona Lisa», του Ιταλού Leonardo da Vinci, τα οποία προτείνουν την χρήση χρυσών ορθογωνίων.
Χρυσή αναλογία στη φύση
Υπάρχουν μελέτες που δείχνουν α σχέση μεταξύ της χρυσής αναλογίας και του τρόπου με τον οποίο κατανέμονται τα φύλλα ορισμένων φυτών σε ένα στέλεχος. Αυτή η διάταξη των φύλλων ονομάζεται φυλλοταξία.
Χρυσή Αναλογία στο Σχέδιο
Η χρυσή τομή επίσης μελετάται και χρησιμοποιείται στον τομέα του Σχεδιασμού ως α εργαλείο σύνθεσης έργου.
Λυμένες ασκήσεις για τη χρυσή τομή
ερώτηση 1
(Enem) Ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρίζεται σε δύο μέρη στη χρυσή τομή όταν το σύνολο είναι προς ένα από τα μέρη στην ίδια αναλογία που αυτό το τμήμα είναι προς το άλλο. Αυτή η σταθερά αναλογικότητας αντιπροσωπεύεται συνήθως από το ελληνικό γράμμα ϕ και η τιμή της δίνεται από τη θετική λύση της εξίσωσης ϕ2 = ϕ+1.
Ακριβώς όπως η δύναμη \(ϕ^2\), οι υψηλότερες δυνάμεις του φ μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή \(aϕ+b\), όπου τα a και b είναι θετικοί ακέραιοι, όπως φαίνεται στον πίνακα.
η ισχύς \(ϕ^7\), γραμμένο με τη μορφή aϕ+b (τα a και b είναι θετικοί ακέραιοι), είναι
α) 5φ+3
β) 7ϕ+2
γ) 9φ+6
δ) 11ϕ+7
ε) 13φ+8
Ανάλυση
Οπως και \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Πρεπει να
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Εφαρμόζοντας το διανεμητικό,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Οπως και \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
Ε εναλλακτική.
Ερώτηση 2
Βαθμολογήστε κάθε δήλωση παρακάτω σχετικά με τον χρυσό αριθμό ως T (Σωστό) ή F (Λάθος).
Εγώ. Ο χρυσός αριθμός ϕ είναι παράλογος.
II. Τα πηλίκα μεταξύ κάθε όρου και του προκατόχου του στην ακολουθία Fibonacci πλησιάζουν την τιμή του ϕ.
III. Το 1,618 είναι η στρογγυλοποίηση σε τρία δεκαδικά ψηφία του χρυσού αριθμού ϕ.
Η σωστή σειρά, από πάνω προς τα κάτω, είναι
α) V-V-V
β) F-V-F
γ) V-F-V
δ) Φ-Φ-Φ
ε) F-V-V
Ανάλυση
Εγώ. Αληθής.
II. Αληθής.
III. Αληθής.
Εναλλακτική Α.
Πηγές
FRANCISCO, S. V. από το Λ. Ανάμεσα στη γοητεία και την πραγματικότητα της χρυσής τομής. Διατριβή (Επαγγελματικό Μεταπτυχιακό στα Μαθηματικά στο Εθνικό Δίκτυο) – Ινστιτούτο Βιοεπιστημών, Γραμμάτων και Ακριβών Επιστημών, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Σάο Πάολο, 2017. Διαθέσιμο σε: http://hdl.handle.net/11449/148903.
ΠΩΛΗΣΕΙΣ, J. από τον Σ. Η χρυσή τομή που υπάρχει στη φύση. Ολοκλήρωση εργασιών μαθημάτων (Πτυχίο Μαθηματικών), Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Εκπαίδευσης, Επιστήμης και Τεχνολογίας του Piauí. Piauí, 2022. Διαθέσιμο σε http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
