Μεταφερόμενη μήτρα: τι είναι, ιδιότητες, παραδείγματα

Ο μεταφερόμενη μήτρα της μήτρας Μ είναι η μήτρα Μ^τ. είναι για το αρχηγείο που πρόκειται να πάρουμε όταν ξαναγράψουμε τον πίνακα M αλλάζοντας τη θέση των γραμμών και των στηλών, μετατρέποντας την πρώτη σειρά του M στην πρώτη στήλη του M^τ, η δεύτερη σειρά του M στη δεύτερη στήλη του M^τ, και ούτω καθεξής.

Εάν η μήτρα Μ έχει Μ γραμμές και όχι στήλες, η μήτρα που έχει μεταφερθεί, δηλαδή, M^τ, θα έχω όχι γραμμές και Μ στήλες. Υπάρχουν συγκεκριμένες ιδιότητες για τη μεταφερόμενη μήτρα.

Διαβάστε επίσης: Τι είναι μια τριγωνική μήτρα;

Πώς λαμβάνεται η μεταφερόμενη μήτρα;

Δίνεται ένας πίνακας Α_mxn, γνωρίζουμε ότι η μήτρα μεταφέρθηκε από το Α στον πίνακα Α^τ_{n x μ}. Για να βρείτε τη μεταφερόμενη μήτρα, απλώς αλλάξτε τη θέση των σειρών και στηλών του πίνακα Α. Όποια και αν είναι η πρώτη σειρά του πίνακα Α θα είναι η πρώτη στήλη του μεταφερόμενου πίνακα Α^τ, η δεύτερη σειρά του πίνακα A θα είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα A^τ, και ούτω καθεξής.

Αλγεβρικά, ας M = (m_ij)_mxn, η μεταφερόμενη μήτρα του Μ είναι Μ^τ = (μ_γ) _{n x μ}.

instagram story viewer

Παράδειγμα:

Βρείτε τη μήτρα που μεταφέρθηκε από τη μήτρα:

Το Matrix M είναι μήτρα 3x5, οπότε η μεταφορά του θα είναι 5x3. Για να βρούμε τον μεταφερόμενο πίνακα, θα κάνουμε την πρώτη σειρά του πίνακα M την πρώτη στήλη του πίνακα M^τ.

Η δεύτερη σειρά του πίνακα M θα είναι η δεύτερη στήλη του μεταφερόμενου πίνακα:

Τέλος, η τρίτη σειρά του πίνακα Μ θα γίνει η τρίτη στήλη του πίνακα Μ.^τ:

συμμετρική μήτρα

Με βάση την έννοια της μεταφερόμενης μήτρας, είναι δυνατόν να καθοριστεί τι είναι μια συμμετρική μήτρα. Η μήτρα είναι γνωστή ως συμμετρική όταν είναι ίση με τη μήτρα που έχετε μεταφέρει, δηλαδή, δεδομένου του πίνακα M, M = M^τ.

Για να συμβεί αυτό, η μήτρα πρέπει να είναι τετράγωνη, που σημαίνει ότι για να είναι συμμετρική η μήτρα, ο αριθμός των σειρών πρέπει να ισούται με τον αριθμό των στηλών.

Παράδειγμα:

Όταν αναλύουμε τους όρους πάνω από την κύρια διαγώνια και τους όρους κάτω από την κύρια διαγώνια του πίνακα S, είναι πιθανό να δούμε ότι υπάρχουν όροι που ειναι ιδιοι, που το καθιστά γνωστό ως συμμετρικό ακριβώς λόγω της συμμετρίας της μήτρας σε σχέση με την κύρια διαγώνια.

Εάν βρούμε τη μεταφορά του πίνακα S, είναι δυνατό να δούμε ότι το S^τ είναι ίσο με το S.

Ως S = S^τ, αυτός ο πίνακας είναι συμμετρικός.

Δείτε επίσης: Πώς να επιλύσετε γραμμικά συστήματα;

Μεταφερόμενες ιδιότητες μήτρας

1ο ακίνητο: η μετατόπιση ενός μεταφερόμενου πίνακα είναι ίδια με την ίδια τη μήτρα:

(Μ^τ)^τ = Μ

2ο ακίνητο: η μεταφορά του αθροίσματος μεταξύ των πινάκων είναι ίση με το άθροισμα της μεταφοράς κάθε πινάκου:

(Μ + Ν)^τ = Μ^τ+ Ν^τ

3η ιδιοκτησία: η μεταφορά του πολλαπλασιασμός μεταξύ δύο πινάκων ισούται με τον πολλαπλασιασμό της μεταφοράς κάθε μήτρας:

(Μ · Ν)^τ = Μ^τ · Ν^τ

4η ιδιοκτησία: Ο καθοριστικός της μήτρας είναι ίση με τον καθοριστικό παράγοντα της μεταφερόμενης μήτρας:

det (M) = det (Μ^τ)

5η ιδιοκτησία: ο χρόνος μεταφοράς μήτρας η σταθερά είναι ίση με τον χρόνο μεταφοράς μήτρας τη σταθερά:

(kA)^τ = kA^τ

Αντίστροφη μήτρα

Η αντίστροφη έννοια μήτρας είναι αρκετά διαφορετική από την έννοια της μήτρας που έχει μεταφερθεί και είναι σημαντικό να τονιστεί η διαφορά μεταξύ τους. Η αντίστροφη μήτρα μιας μήτρας Μ είναι η μήτρα Μ^-1, όπου το προϊόν μεταξύ των πινάκων M και M^-1 είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας.

Παράδειγμα:

Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτόν τον τύπο μήτρας, διαβάστε το κείμενό μας: Αντίστροφη μήτρα.

απέναντι μήτρα

Όντας μια άλλη περίπτωση ενός ειδικού πίνακα, η αντίθετη μήτρα της μήτρας Μ είναι η μήτρα -Μ. Γνωρίζουμε ως τον αντίθετο πίνακα του M = (m_ij) η μήτρα -M = (-m_ij). Ο αντίθετος πίνακας αποτελείται από τους αντίθετους όρους του πίνακα Μ.