Ασκήσεις για ΠΑ και ΠΓ

Μελετήστε αριθμητική και γεωμετρική πρόοδο με λυμένες και σχολιασμένες ασκήσεις βήμα προς βήμα.

Ασκηση 1

Σε ένα AP, a2 = 5 και a7 = 15. Βρείτε το a4 και προσθέστε τους πέντε πρώτους όρους αυτού του AP.

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: a4 = 9 και S = 35.

Ανάλυση

1ο βήμα: προσδιορίστε τον λόγο και α4.
Για να αφήσουμε το a2 και να φτάσουμε στο a7, προσθέτουμε 5r, καθώς είναι η "απόσταση" μεταξύ 7 και 2.

a με 7 δείκτης ισούται με ένα με 2 δείκτη συν 5 r 15 διάστημα ισούται με διάστημα 5 διάστημα συν διάστημα 5 r 15 διάστημα μείον διάστημα 5 διάστημα ίσον 5 r 10 διάστημα ίσον διάστημα 5 r 10 πάνω από 5 ίσον r 2 ίσον r

Ο όρος a4 είναι ο όρος a2 συν 2r, γιατί για να φτάσουμε από το a2 στο a4, "προχωράμε" 2r. Σύντομα,

ένα με 4 δείκτης ισούται με ένα με 2 δείκτη συν 2 r a με 4 δείκτη ισούται με 5 διάστημα συν κενό 2,2 a με 4 δείκτη ισούται με 5 διάστημα συν κενό 4 διάστημα ίσον διάστημα 9

Επομένως, η τέταρτη θητεία του AP είναι 9.

2ο βήμα: προσδιορίστε το άθροισμα των πρώτων πέντε όρων αυτού του ΑΠ.

Το άθροισμα των όρων ενός AP δίνεται από:

S ισούται με αριθμητή αριστερή παρένθεση a με 1 δείκτη συν a με n δείκτη δεξιά παρένθεση. n πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος

a1 = a2 - r (γιατί πηγαίνουμε μια θέση πίσω στο PA, ξεκινώντας από το a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (γιατί πηγαίνουμε δύο θέσεις πίσω στο PA, ξεκινώντας από το a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

Το S ισούται με αριθμητή αριστερή παρένθεση 3 κενό συν διάστημα 11 δεξιά παρένθεση.5 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος ισούται με αριθμητή 14 διάστημα. διάστημα 5 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος ισούται με 70 έναντι 2 ίσον 35

Άσκηση 2

(Aeronautics 2021) Ένας καθηγητής έγραψε μια αύξουσα αριθμητική πρόοδο 8 όρων ξεκινώντας από τον αριθμό 3 και αποτελείται μόνο από φυσικούς αριθμούς. Στη συνέχεια παρατήρησε ότι ο δεύτερος, ο τέταρτος και ο όγδοος όρος αυτής της αριθμητικής προόδου σχημάτισαν, με αυτή τη σειρά, μια γεωμετρική πρόοδο. Ο καθηγητής παρατήρησε επίσης ότι το άθροισμα των όρων αυτής της γεωμετρικής προόδου ήταν ίσο με

instagram story viewer

α) 42
β) 36
γ) 18
δ) 9

δείτε απάντηση

Απάντηση: α) 42

Από το AP, οι όροι που σχηματίζουν ένα PG είναι οι a2, a4 και a8:

a με 2 δείκτη ισούται με a με 1 δείκτη συν αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση r a με 2 δείκτης ισούται με 3 συν αριστερή παρένθεση 2 μείον 1 δεξιά παρένθεση r a με 2 δείκτη ίσον 3 συν r χώρο

a με 4 δείκτη ισούται με a με 1 δείκτη συν αριστερή παρένθεση 4 μείον 1 δεξιά παρένθεση r a με 4 δείκτη ισούται με 3 διάστημα συν κενό 3 r

a με 8 δείκτης ισούται με 3 συν αριστερή παρένθεση 8 μείον 1 δεξιά παρένθεση r a με 8 δείκτη ισούται με 3 συν 7 r

Το άθροισμα των τριών όρων είναι:

S ισούται με a με 2 δείκτη συν ένα με 4 δείκτη συν ένα με 8 δείκτη S ισούται με αριστερή παρένθεση 3 συν r δεξιά παρένθεση χώρο συν κενό αριστερή παρένθεση 3 συν 3 r παρένθεση δεξιό διάστημα συν κενό αριστερή παρένθεση 3 συν 7 r δεξιά παρένθεση S ισούται με 9 διάστημα συν κενό 11 r διάστημα κενό διάστημα αριστερή παρένθεση και q u a tion διάστημα I παρένθεση σωστά

Για να προσδιορίσουμε το r, χρησιμοποιούμε τον γεωμετρικό μέσο όρο:

a με 4 δείκτη ισούται με την τετραγωνική ρίζα του a με 2 δείκτη. a με 8 άκρο δείκτη της ρίζας 3 συν 3 r ισούται με την τετραγωνική ρίζα της αριστερής παρένθεσης 3 συν r δεξιά παρένθεση. αριστερή παρένθεση 3 συν 7 r δεξιά ρίζα παρένθεσης

Τετράγωνο και στις δύο πλευρές

αριστερή παρένθεση 3 συν 3 r δεξιά παρένθεση στο τετράγωνο ισούται με αριστερή παρένθεση 3 συν r δεξιά παρένθεση. αριστερή παρένθεση 3 συν 7 r δεξιά παρένθεση

Τετραγωνισμός του πρώτου όρου και διανομή του δεύτερου όρου:

Αντικαθιστώντας το r στην εξίσωση I, έχουμε:

Ο χώρος S ισούται χώρος 9 χώρος συν διάστημα 11 r S χώρος ισούται χώρος 9 χώρος συν διάστημα 11,3 S χώρος ισούται χώρος 9 χώρος συν διάστημα 33 S χώρος ισούται χώρος 42

Επομένως, το άθροισμα των τριών πρώτων όρων είναι ίσο με 42.

Άσκηση 3

(PM-SP 2019) Το 2015, μια μεγάλη εταιρεία πετρελαίου ξεκίνησε τη διαδικασία επαναχρησιμοποίησης του νερού που χρησιμοποιείται για την ψύξη των εξαρτημάτων που παρήγαγε και έκανε μια προβολή σταδιακής αύξησης, σε αριθμητική πρόοδο, μέχρι το έτος 2050, του όγκου του νερού που θα επαναχρησιμοποιηθεί, χρόνο με το χρόνο έτος.

Ο πίνακας δείχνει τους όγκους νερού που επαναχρησιμοποιήθηκαν τα πρώτα 3 χρόνια:

Πίνακας που σχετίζεται με την επίλυση της ερώτησης.

Έστω An ο γενικός όρος της αριθμητικής προόδου που δείχνει τον όγκο του επαναχρησιμοποιούμενου νερού, σε εκατομμύρια m³, με n = 1, που αντιπροσωπεύει τον όγκο του νερού που επαναχρησιμοποιήθηκε το έτος 2016, n = 2, αντιπροσωπεύει τον όγκο του νερού που επαναχρησιμοποιήθηκε το έτος 2017 και ούτω καθεξής διαδοχικώς.

Κάτω από αυτές τις συνθήκες, κάποιος πρέπει

α) An = 0,5n – 23,5.
β) An = 23,5 + 0,5n.
γ) An = 0,5n + 23.
δ) An = 23 – 0,5n.
ε) An = 0,5n - 23.

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: γ) An = 0,5n + 23.

σκοπός
Να προσδιορίσετε το An ως συνάρτηση του n.

Ανάλυση
Ο λόγος της αριθμητικής προόδου είναι 0,5, επειδή 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Ο γενικός όρος ενός AP δίνεται από:

A με n δείκτη ισούται με κενό a με 1 διάστημα δείκτη συν κενό αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση r

Αντικατάσταση των τιμών:

A με n δείκτη ισούται με 23 κόμμα 5 κενό συν κενό 0 κόμμα 5 n διάστημα μείον κενό 0 κόμμα 5 A με n δείκτη ισούται με 0 κόμμα 5 n συν 23 κενό

Άσκηση 4

(CEDERJ 2021) Η ακολουθία (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) είναι μια αριθμητική πρόοδος του λόγου 6. Ο τέταρτος όρος αυτής της εξέλιξης είναι

α) 31.
β) 33.
γ) 35.
δ) 37.

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: α) 31

Ανάλυση
Το r διάστημα ισούται με διάστημα a με 2 δείκτη μείον a με 1 δείκτη 6 διάστημα ισούται με διάστημα 3 x συν 4 διάστημα μείον παρένθεση αριστερά 2x συν 3 παρένθεση δεξιά 6 ίσον 3x συν 4 μείον 2x μείον 3 6 ίσον x συν 1x ίσον 6 μείον 1x ίσον 5

Ο τέταρτος όρος είναι a3 + r, ως εξής:

a με 4 δείκτης ισούται με a με 3 δείκτη συν r a με 4 δείκτη ισούται με 4 x διάστημα συν διάστημα 5 διάστημα συν κενό r

Αντικατάσταση των τιμών που βρέθηκαν:

a με 4 δείκτης ισούται με 4,5 διάστημα συν 5 διάστημα συν διάστημα 6 α με 4 δείκτη ισούται με 20 συν διάστημα 5 διάστημα συν διάστημα 6 a με 4 δείκτης ισούται με 31

Άσκηση 5

(Enem 2021) Στη Βραζιλία, ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρώσει ένας μαθητής την εκπαίδευσή του μέχρι την αποφοίτησή του σε ανώτερο μάθημα, λαμβάνοντας υπόψη 9 χρόνια δημοτικού, 3 χρόνια γυμνασίου και 4 χρόνια αποφοίτησης (μέσος όρος), είναι 16 χρονών. Ωστόσο, η πραγματικότητα των Βραζιλιάνων δείχνει ότι ο μέσος χρόνος μελέτης των ατόμων άνω των 14 ετών είναι ακόμα πολύ μικρός, όπως φαίνεται στον πίνακα.
Πίνακας που σχετίζεται με την επίλυση της ερώτησης.

Σκεφτείτε ότι η αύξηση του χρόνου μελέτης, σε κάθε περίοδο, για τα άτομα αυτά, παραμένει σταθερή μέχρι το έτος 2050, και ότι πρόκειται να φτάσει στο επίπεδο του 70% του χρόνου που απαιτείται για την απόκτηση του ανώτερου μαθήματος που δίνεται προηγουμένως.
Το έτος κατά το οποίο ο μέσος χρόνος μελέτης των ατόμων άνω των 14 ετών φτάνει στο επιθυμητό ποσοστό θα είναι

α) 2018.
β) 2023.
γ) 2031.
δ) 2035.
ε) 2043.

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: δ) 2035.

1ο μέρος: προσδιορίστε το 70% του 16.

70 τοις εκατό πρόσημο διάστημα 16 διάστημα ίσον διάστημα 70 πάνω από 100 σύμβολο πολλαπλασιασμού 16 ίσον 1120 έναντι 100 ίσον 11 σημείο 2

2ο μέρος: καθορίστε μετά από πόσες περιόδους θα συμπληρωθούν τα 11,2 έτη σπουδών.

Η χρονική ακολουθία της μελέτης είναι μια αριθμητική πρόοδος (AP) με αναλογία 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Το ποσό των 11,2 ετών θα επιτευχθεί σε:

A με n δείκτη ισούται με a με 1 δείκτη συν κενό αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση r 11 κόμμα 2 ισούται με 5 κόμμα 2 συν αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση 0 κόμμα 6 11 κόμμα 2 ισούται με 5 κόμμα 2 συν 0 κόμμα 6 n μείον 0 κόμμα 6 11 κόμμα 2 μείον 5 κόμμα 2 συν 0 κόμμα 6 ίσον 0 κόμμα 6 n 6 συν 0 κόμμα 6 ίσον 0 κόμμα 6 n 6 κόμμα 6 ίσον 0 κόμμα 6 n αριθμητής 6 κόμμα 6 πάνω από παρονομαστή 0 κόμμα 6 τέλος κλάσματος ισούται με n 11 ίσο με n

Το ποσό των 11,2 θα φτάσει στην 11η θητεία της ΠΑ.

3ο μέρος: καθορίστε ποια είναι η 11η θητεία της ΠΑ των ετών.

Η αναλογία είναι a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 χρόνια

A με 11 δείκτη ισούται με a με 1 δείκτη συν αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση r A με 11 δείκτη ισούται με 1995 συν αριστερή παρένθεση 11 μείον 1 δεξιά παρένθεση 4 Α με 11 δείκτη ισούται με 1995 συν 10,4 Α με 11 δείκτη ισούται με 1995 διάστημα συν διάστημα 40 Α με 11 δείκτη ίσον 2035

συμπέρασμα
Το 70% των 16 ετών που απαιτούνται για την ολοκλήρωση ενός προπτυχιακού τίτλου θα επιτευχθεί το 2035.

Άσκηση 6

(Πυροσβεστική Υπηρεσία 2021) Ένα αεροπλάνο και ένα πυροσβεστικό όχημα έχουν δεξαμενές νερού χωρητικότητας 12.000 και 8.000 λίτρων νερού, αντίστοιχα. Το φορτηγό διαθέτει αντλία 2,5 GPM, που σημαίνει ότι μπορεί να αντλεί 2,5 γαλόνια ανά λεπτό.

Από αυτή την υποθετική κατάσταση, κρίνετε το παρακάτω στοιχείο, λαμβάνοντας υπόψη ότι 1 γαλόνι ισούται με 3,8 λίτρα νερού.

Εάν μια δεξαμενή νερού έχει χωρητικότητα Χ χιλιάδες λίτρα, έτσι ώστε τα 8, τα Χ και τα 12 να είναι σε γεωμετρική πρόοδο, με αυτή τη σειρά, τότε η χωρητικότητα αυτής της δεξαμενής είναι μικρότερη από 10 χιλιάδες λίτρα.

σωστά

Λανθασμένος

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: σωστά

σκοπός
Ελέγξτε αν X < 10.

Ανάλυση
Σε μια γεωμετρική πρόοδο, PG, ο μεσαίος όρος είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος μεταξύ των άκρων.

Χ μικρότερο από την τετραγωνική ρίζα του 8,12 άκρο της ρίζας Χ διάστημα μικρότερο από την τετραγωνική ρίζα του 96

Στην πραγματικότητα, η κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα του 96 είναι 9,79. Συμπεραίνουμε ότι η χωρητικότητα Χ της δεξαμενής είναι μικρότερη από 10 χιλιάδες λίτρα.

Άσκηση 7

(Aeronautics 2021) Be the P.G. (24, 36, 54, ...). Με την προσθήκη του 5ου και 6ου όρου αυτού του Γ.Π. υπήρξε

α) 81/2
β) 405/2
γ) 1215/4
δ) 1435/4

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: γ) 1215/4

σκοπός
Προσθέστε a5 + a6

Ανάλυση

Βήμα 1: Προσδιορίστε την αναλογία q.

Ο λόγος για το PG είναι:

q ισούται με ένα με 2 δείκτη πάνω από ένα με 1 δείκτη ίσον 36 έναντι 24 ίσον 3 έναντι 2

Βήμα 2: Προσδιορίστε το a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Αντικατάσταση του a4 σε a5:

a με 5 δείκτες ισούται με κενό a με 3 δείκτες. χώρος q χώρος. space q space ισούται κενό a µε 3 subscript space. διάστημα q στο τετράγωνο

Βήμα 3: Προσδιορίστε το a6

a6 = a5. q

Αντικατάσταση του a5 σε a6:

ένα με 6 δείκτη ισούται με ένα με 5 δείκτες. space q space ισούται κενό a µε 3 subscript space. διάστημα q τετράγωνο διάστημα. space q space ισούται κενό a µε 3 subscript space. διάστημα q κυβ

Βήμα 4: Προσθέστε a5 + a6 αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές.

ένα με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με ένα με 3 δείκτη. q τετραγωνικό διάστημα συν διάστημα a με 3 δείκτη. q σε κύβους a με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 διάστημα. κενό ανοίγει παρένθεση 3 πάνω από 2 κλείνει παρένθεση στο τετράγωνο συν διάστημα 54 διάστημα. το διάστημα ανοίγει παρενθέσεις 3 πάνω από 2 κλείνει παρενθέσεις σε κύβους a με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 κενό. χώρος 9 πάνω από 4 χώρος συν χώρος 54 χώρος. χώρος 27 πάνω από 8

Βάζοντας 54 ως στοιχεία:

ένα με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 κενό ανοίγει παρενθέσεις 9 πάνω από 4 διάστημα συν κενό 27 πάνω από 8 κλείνει παρενθέσεις α με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 ανοίγει παρενθέσεις αριθμητής 9 χώρος. διάστημα 8 πάνω από τον παρονομαστή 4 διάστημα. διάστημα 8 τέλος κλάσματος συν αριθμητής διαστήματος 27 διάστημα. διάστημα 4 πάνω από τον παρονομαστή 4 διάστημα. διάστημα 8 τέλος κλάσματος κλείνει παρενθέσεις α με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 ανοίγει παρενθέσεις 72 πάνω από 32 συν 108 πάνω από 32 κλείνει παρενθέσεις α με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 ανοίγει παρενθέσεις 180 πάνω από 32 κλείνει παρενθέσεις α με 5 δείκτη συν ένα με 6 δείκτη ισούται με 54 χώρος. χώρος 180 πάνω από 32 ισούται με 9720 έναντι 32 ισούται με 1215 πάνω από 4

Άσκηση 8

(UERJ 2019) Τα τρίγωνα A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, που απεικονίζονται παρακάτω, έχουν περιμέτρους p1, p2, p3, αντίστοιχα. Οι κορυφές αυτών των τριγώνων, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι τα μέσα των πλευρών του προηγούμενου τριγώνου.

Εικόνα που σχετίζεται με την επίλυση του προβλήματος.

παραδεχτείτε ότι στοίβα Α με 1 δείκτη Β με 1 δείκτη με κάθετο πάνω από τη στοίβα Β με 1 δείκτη Γ με 1 δείκτη με κάθετο πάνω ισούται με 7 κενό και κενό στοίβα Α με 1 δείκτη C με 1 δείκτη με κάθετο πάνω ίσο 4 .

Έτσι, (p1, p2, p3) ορίζει την ακόλουθη πρόοδο:

α) αριθμητική αναλογία = – 8
β) αριθμητική αναλογία = – 6
γ) γεωμετρική αναλογία = 1/2
δ) γεωμετρική αναλογία = 1/4

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: γ) γεωμετρική αναλογία = 1/2

Ανάλυση

Βήμα 1: ορίστε τις περιμέτρους p1, p2 και p3.

p με 1 δείκτη ισούται με διαστημική στοίβα A με 1 δείκτη B με 1 δείκτη με κάθετο πάνω συν στοίβα διαστήματος B με 1 δείκτη C με 1 δείκτη με κάθετο πάνω συν στοίβα Α με 1 δείκτη C με 1 δείκτη με κάθετο πάνω από p με 1 δείκτη ισούται με 7 διάστημα συν διάστημα 7 διάστημα συν διάστημα 4 p με 1 δείκτη ισούται με 18

Με τον παραλληλισμό, επαληθεύουμε ότι οι πλευρές του εσωτερικού τριγώνου είναι οι μισές από το αμέσως εξωτερικό.

Για παράδειγμα, B2A2 = A1C2

Έτσι, το p2 είναι το μισό του p1, όπως το p3 είναι το μισό του p2. Εχουμε:

p με 2 δείκτη ίσον p με 1 δείκτη διαιρούμενο με 2 ίσον 9 και p με 3 δείκτη ίσον p με 2 δείκτη διαιρούμενο με 2 ίσον 9 διάστημα διαιρούμενο με 2 ίσον 4 κόμμα 5

Βήμα 2: Συγκεντρώστε την εξέλιξη και ταξινομήστε την.

p με 1 δείκτη κενό κόμμα p με 2 δευτερεύοντα κόμμα κενό p με 3 διάστημα δείκτη ισούται με κενό 18 κόμμα κενό 9 κόμμα κενό 4 κόμμα 5

Αποδεικνύεται ότι για τον προσδιορισμό του p2, το 18 πολλαπλασιάζεται επί 1/2.

18 κενό πρόσημο πολλαπλασιασμού διάστημα 1 μισό ισούται με 9

Επίσης, το 9 πολλαπλασιασμένο με το 1/2 είναι 4,5.

Σημάδι πολλαπλασιασμού 9 κενών διάστημα 1 μισό ισούται με 9 έναντι 2 ίσον 4 κόμμα 5

συμπέρασμα
Επαληθεύουμε ότι η πρόοδος είναι γεωμετρική, με αναλογία 1/2.

Άσκηση 9

(Enem 2021) Το γράφημα ενημερώνει την παραγωγή που καταγράφηκε από έναν κλάδο κατά τους μήνες Ιανουάριο, Μάρτιο και Απρίλιο.

Λόγω υλικοτεχνικών προβλημάτων, η έρευνα παραγωγής για τον μήνα Φεβρουάριο δεν πραγματοποιήθηκε. Ωστόσο, οι πληροφορίες για τους υπόλοιπους τρεις μήνες υποδηλώνουν ότι η παραγωγή σε αυτό το τετράμηνο αυξήθηκε εκθετικά, όπως φαίνεται από την καμπύλη τάσεων που απεικονίζεται στο γράφημα.

Υποθέτοντας ότι η ανάπτυξη αυτή την περίοδο ήταν εκθετική, μπορεί να συναχθεί ότι η παραγωγή αυτής της βιομηχανίας τον μήνα Φεβρουάριο, σε χιλιάδες μονάδες, ήταν

α) 0.
β) 120.
γ) 240.
δ) 300.
ε) 400.

δείτε απάντηση

Σωστή απάντηση: γ) 240.

Ανάλυση

Ο γενικός όρος ενός PG είναι ένας εκθετικός a συναρτήσει του n, όπου οι a1 και q είναι σταθεροί αριθμοί.