Τριγωνομετρικοί λόγοι: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη είναι σχέσεις μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους λόγους είναι δυνατός ο προσδιορισμός άγνωστων τιμών γωνιών και πλευρικών μετρήσεων.
Εξασκήστε τις γνώσεις σας με τα λυμένα ζητήματα.
ερωτήσεις σχετικά με το ημίτονο
ερώτηση 1
είναι η γωνία ίσο με 30° και την υποτείνουσα 47 m, υπολογίστε τη μέτρηση ύψους ο του τριγώνου.
![](/f/b37e29c7122b6705a186cf411a800900.jpg)
Ο λόγος του τριγωνομετρικού ημιτόνου είναι το πηλίκο μεταξύ των μέτρων της απέναντι πλευράς της γωνίας και της υποτείνουσας.
Απομονώνοντας ο από τη μια πλευρά της ισότητας έχουμε:
Από έναν τριγωνομετρικό πίνακα, έχουμε ότι το ημίτονο των 30° είναι ίσο με , αντικαθιστώντας στην εξίσωση:
Επομένως, το ύψος του τριγώνου είναι 23,50 m.
Ερώτηση 2
Η κάτοψη ενός πάρκου δείχνει δύο μονοπάτια για να φτάσετε στο σημείο Γ από το σημείο Α. Μία από τις επιλογές είναι να πάτε στο Β, όπου υπάρχουν βρύσες και χώροι ανάπαυσης, και μετά στο Γ. Εάν ένας επισκέπτης του πάρκου θέλει να πάει κατευθείαν στο C, πόσα μέτρα θα έχει περπατήσει λιγότερο από την πρώτη επιλογή;
Εξετάστε τις προσεγγίσεις:
αμαρτία 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
μαύρισμα 58° = 1,60
![](/f/45975eab092fc4f079aa3923bcdeee61.jpg)
Απάντηση: αφήνοντας το Α και πηγαίνοντας κατευθείαν στο Γ, η βόλτα είναι 7,54 m μικρότερη.
Βήμα 1: Υπολογίστε την απόσταση.
Βήμα 2: προσδιορίστε την απόσταση.
Βήμα 3: προσδιορίστε την απόσταση .
Βήμα 4: Προσδιορίστε τη διαφορά μεταξύ των δύο διαδρομών.
ερώτηση 3
Εγκαταστάθηκε ένα τελεφερίκ που συνέδεε μια βάση με την κορυφή ενός βουνού. Για την εγκατάσταση χρησιμοποιήθηκαν καλώδια μήκους 1358 m, τοποθετημένα σε γωνία 30° σε σχέση με το έδαφος. Πόσο ψηλά είναι το βουνό;
![](/f/995dba3d48aa141265e53382e3c97717.jpg)
Σωστή απάντηση: το ύψος του βουνού είναι 679 μ.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ημιτονοειδή τριγωνομετρική αναλογία για να προσδιορίσουμε το ύψος του βουνού.
Από έναν τριγωνομετρικό πίνακα, έχουμε αμαρτία 30° = 0,5. Καθώς το ημίτονο είναι η αναλογία μεταξύ της απέναντι πλευράς και της υποτείνουσας, προσδιορίζουμε το ύψος.
ερώτηση 4
(CBM-SC, στρατιώτης-2010) Για να βοηθήσουν ένα άτομο σε ένα διαμέρισμα κατά τη διάρκεια πυρκαγιάς, οι πυροσβέστες θα χρησιμοποιήσει μια σκάλα 30 μέτρων, η οποία θα τοποθετηθεί όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σχηματίζοντας γωνία με το έδαφος του 60ου. Πόσο απέχει το διαμέρισμα από τον όροφο; (Χρησιμοποιήστε sen60º=0,87, cos60º=0,5 και tg60º= 1,73)
![](/f/c6492a256a0897f3b56a7eeac1617d07.jpg)
α) 15 μ.
β) 26,1 μ.
γ) 34,48 μ.
δ) 51,9 μ.
Σωστή απάντηση: β) 26,1 μ.
Για να προσδιορίσουμε το ύψος, θα χρησιμοποιήσουμε το ημίτονο 60°. Ονομάζοντας το ύψος h και χρησιμοποιώντας 60° ημίτονο ίσο με 0,87.
Ερωτήσεις σχετικά με το συνημίτονο
ερώτηση 5
Το συνημίτονο είναι ο λόγος μεταξύ της πλευράς που γειτνιάζει με μια γωνία και της μέτρησης της υποτείνουσας. Να εισαι ίσο με 45°, να υπολογίσετε το μέτρο του ποδιού δίπλα στη γωνία άλφα, στο τρίγωνο του σχήματος.
σκεφτείτε
![](/f/0c0144730bfda3e6cc004b95ef3753a9.jpg)
Προσεγγίζοντας την τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 2:
Το μέτρο του διπλανού ποδιού είναι περίπου 19,74μ.
ερώτηση 6
Κατά τη διάρκεια ενός αγώνα ποδοσφαίρου, ο παίκτης 1 ρίχνει στον παίκτη 2 υπό γωνία 48°. Πόσο μακριά πρέπει να διανύσει η μπάλα για να φτάσει στον παίκτη 2;
Σκεφτείτε:
αμαρτία 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
μαύρισμα 48° = 1,11
![](/f/86d3a5f9919d3fa0efc0366317e5e846.jpg)
Σωστή απάντηση: Η μπάλα πρέπει να διανύσει απόσταση 54,54 m.
Η μέτρηση μεταξύ του παίκτη 1 και του παίκτη 2 είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.
Το συνημίτονο της γωνίας 48° είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς του προς την υποτείνουσα, όπου η διπλανή πλευρά είναι η απόσταση μεταξύ της μεσαίας γραμμής και της μεγάλης περιοχής.
52,5 - 16,5 = 36 μ
Υπολογίζοντας το συνημίτονο, όπου h είναι η υποτείνουσα.
ερώτηση 7
Μια στέγη θεωρείται αέτωμα όταν υπάρχουν δύο πλαγιές. Σε ένα έργο χτίζεται μια στέγη όπου η συνάντηση των δύο νερών της είναι ακριβώς στη μέση της πλάκας. Η γωνία κλίσης κάθε νερού σε σχέση με την πλάκα είναι 30°. Η πλάκα έχει μήκος 24 μ. Για να παραγγείλετε τα κεραμίδια πριν ακόμη ολοκληρωθεί η κατασκευή που θα στηρίξει την οροφή, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε το μήκος κάθε νερού, το οποίο θα είναι:
Καθώς η πλάκα έχει μήκος 24 m, κάθε νερό θα είναι 12 m.
Ονομάζοντας το μήκος κάθε νερού στέγης L, έχουμε:
Εξορθολογισμός του κλάσματος για να ληφθεί ο άρρητος αριθμός του παρονομαστή.
Κατασκευή,
Επομένως, το μήκος κάθε νερού στέγης θα είναι περίπου 13,6 m.
ερώτηση 8
Εφαπτομένη είναι η αναλογία μεταξύ της πλευράς απέναντι από μια γωνία και της διπλανής πλευράς της. είναι η γωνία ίσο με 60°, υπολογίστε το ύψος του τριγώνου.
![](/f/809eb41809a259b33073539bca1e598e.jpg)
Εφαπτομενικές ερωτήσεις
ερώτηση 9
Ένα άτομο θέλει να μάθει το πλάτος ενός ποταμού πριν το διασχίσει. Για αυτό, θέτει ένα σημείο αναφοράς στην άλλη άκρη, όπως ένα δέντρο για παράδειγμα (σημείο C). Στη θέση που βρίσκεστε (σημείο Β), περπατήστε 10 μέτρα προς τα αριστερά, μέχρι να σχηματιστεί γωνία 30° μεταξύ του σημείου Α και του σημείου Γ. Υπολογίστε το πλάτος του ποταμού.
σκεφτείτε .
![](/f/ac235aa2b07b474962c5d55bf5c68079.jpg)
Για να υπολογίσουμε το πλάτος του ποταμού που θα ονομάσουμε L, θα χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη της γωνίας .
ερώτηση 10
(Enem 2020) Pergolado είναι το όνομα που δίνεται σε έναν τύπο στέγης που σχεδιάστηκε από αρχιτέκτονες, συνήθως σε τετράγωνα και
κήπους, για τη δημιουργία ενός περιβάλλοντος για ανθρώπους ή φυτά, στο οποίο υπάρχει πτώση της ποσότητας φωτός,
ανάλογα με τη θέση του ήλιου. Κατασκευάζεται ως παλέτα από ίσες δοκούς, τοποθετημένες παράλληλα και τέλεια
σε μια σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα.
![](/f/90cb0575c566732da78ba1fdf4b9743c.jpg)
Ένας αρχιτέκτονας σχεδιάζει μια πέργκολα με ανοίγματα 30 cm μεταξύ των δοκών της, έτσι ώστε,
θερινό ηλιοστάσιο, η τροχιά του ήλιου κατά τη διάρκεια της ημέρας εκτελείται σε επίπεδο κάθετο προς την κατεύθυνση του
ακτίνες, και ότι ο απογευματινός ήλιος, όταν οι ακτίνες του κάνουν 30° με τη θέση της καρφίτσας, δημιουργούν το μισό
του φωτός που περνάει στην πέργκολα το μεσημέρι.
Για να ικανοποιηθεί η πρόταση έργου που εκπονήθηκε από τον αρχιτέκτονα, τα δοκάρια πέργκολας πρέπει να είναι
κατασκευασμένο έτσι ώστε το ύψος, σε εκατοστά, να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά
α) 9.
β) 15.
γ) 26.
δ) 52.
ε) 60.
Σωστή απάντηση: γ) 26.
Για να κατανοήσουμε την κατάσταση, ας κάνουμε ένα περίγραμμα.
![](/f/a19e2ebe49c1a63abd928cc38c04765e.jpg)
Η εικόνα στα αριστερά δείχνει τη συχνότητα του ηλιακού φωτός το μεσημέρι, με 100%. Η εικόνα στα αριστερά είναι αυτό που μας ενδιαφέρει. Επιτρέπει μόνο στο 50% των ακτίνων του ήλιου να περάσει μέσα από την πέργκολα με κλίση 30%.
Χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη τριγωνομετρική αναλογία. Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
Ονομάζοντας το ύψος του τεμαχίου πέργκολας h, έχουμε:
Κάνοντας μια εφαπτομένη 30° =
Ας εκλογικεύσουμε το τελευταίο κλάσμα, ώστε να μην αφήσουμε τη ρίζα του τρία, έναν παράλογο αριθμό, στον παρονομαστή.
Κατασκευή,
Από τις διαθέσιμες επιλογές για την ερώτηση, η πιο κοντινή είναι το γράμμα c, το ύψος των δοκών πρέπει να είναι περίπου 26 cm.
ερώτηση 11
(Enem 2010) Ένα ατμοσφαιρικό μπαλόνι, που εκτοξεύτηκε στο Bauru (343 χιλιόμετρα βορειοδυτικά του Σάο Πάολο), τη νύχτα την περασμένη Κυριακή, έπεσε αυτή τη Δευτέρα στην Cuiabá Paulista, στην περιοχή Presidente Prudente, τρομακτική
αγρότες της περιοχής. Το τεχνούργημα αποτελεί μέρος του προγράμματος Hibiscus Project, που αναπτύχθηκε από τη Βραζιλία, τη Γαλλία,
Αργεντινή, Αγγλία και Ιταλία, για τη μέτρηση της συμπεριφοράς του στρώματος του όζοντος, και η κάθοδός του έγινε
μετά τη συμμόρφωση με τον αναμενόμενο χρόνο μέτρησης.
![](/f/4d7d4b2d20e9bc55fda5837cb841a04a.jpg)
Την ημερομηνία της εκδήλωσης δύο άτομα είδαν το μπαλόνι. Το ένα απείχε 1,8 χλμ. από την κατακόρυφη θέση του μπαλονιού
και το είδε υπό γωνία 60°. το άλλο βρισκόταν 5,5 χλμ. από την κατακόρυφη θέση του μπαλονιού, ευθυγραμμισμένο με το
πρώτα, και στην ίδια κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα, και το είδε υπό γωνία 30°.
Ποιο είναι κατά προσέγγιση το ύψος του μπαλονιού;
α) 1,8 χλμ
β) 1,9 χλμ
γ) 3,1 χλμ
δ) 3,7 χλμ
ε) 5,5 χλμ
Σωστή απάντηση: γ) 3,1 χλμ
Χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη 60° που είναι ίση . Η εφαπτομένη είναι ο τριγωνομετρικός λόγος μεταξύ της απέναντι πλευράς της γωνίας και της διπλανής της.
Επομένως, το ύψος του μπαλονιού ήταν περίπου 3,1 km.