Φανταστείτε να παίζετε με μάρμαρα για να σχηματίσετε τρίγωνα. Μπορείτε πρώτα να θεωρήσετε ότι μια μπάλα είναι σαν ένα μικρό τρίγωνο:
•
Στη συνέχεια τοποθετείτε δύο μάρμαρα κάτω από αυτά και σχηματίζετε τις τρεις κορυφές του α τρίγωνο:
•
• •
Εάν τοποθετήσετε άλλες τρεις μπάλες κάτω από αυτές, θα σχηματιστεί ένα άλλο τρίγωνο:
•
• •
• • •
Σε κάθε βήμα της προσθήκης μπάλες σε σχέση με την ποσότητα που τοποθετήθηκαν προηγουμένως, θα υπάρχει πάντα ο σχηματισμός τριγώνων. Δείτε το τρίγωνο που σχηματίζεται προσθέτοντας άλλες τέσσερις μπάλες:
•
• •
• • •
• • • •
Ο συνολικός αριθμός των σφαιρών σε κάθε βήμα χαρακτηρίζει μια κατηγορία αριθμών που ονομάζεται το τριγωνικούς αριθμούς. Ο μαθηματικός Karl Friedrich Gauss ανακάλυψε έναν τύπο για να υποδείξει το συνολικό ποσό σε κάθε τρίγωνο, όπου μικρό1αντιστοιχούσε στο πρώτο τρίγωνο, μικρό2, στο δεύτερο τρίγωνο, και ούτω καθεξής. Τα ποσά που περιγράφει ο Gauss ξεκίνησαν με ένα και, σε κάθε στάδιο, προστέθηκε ένας αριθμός που αντιστοιχούσε σε μία μονάδα πάνω από τον τελευταίο αριθμό που προστέθηκε:
μικρό1 = 1
μικρό2= 1 + 2 = 3
μικρό3 = 1 + 2 + 3 = 6
μικρό4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
μικρό5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Τα αποτελέσματα αυτών των αθροισμάτων ήταν οι τριγωνικοί αριθμοί: 1, 3, 6, 10, 15... Σημειώστε ότι υπάρχει ένα μοτίβο καθιερωμένο σε καθένα από αυτά τα αθροίσματα. Κοιτάζοντας προσεκτικά, μπορούμε να δούμε ότι κάθε ένα από αυτά είναι ένα αριθμητική πρόοδος του λόγου 1. Ιδού λοιπόν το άθροισμα γκαους, το οποίο καθορίζει ότι, σε ένα σταθερό άθροισμα αναλογίας, αν προσθέσουμε το πρώτο στοιχείο στο τελευταίο, θα έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με το να προσθέσουμε το δεύτερο στοιχείο στο προτελευταίο. Ας δούμε πώς συμβαίνει η διαδικασία αθροίσματος Gauss για αθροίσματα. μικρό6 και μικρό7:
Η διαδικασία αθροίσματος Gauss εφαρμόζεται στο άθροισμα τριγωνικών αριθμών
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν και άλλα μετά τη διαφήμιση ;)
αν σταματήσει μικρό6 και μικρό7 έχουμε τα αθροίσματα από την παραπάνω εικόνα, ας αναπαράγουμε αυτό το άθροισμα για μικρό8, Σ9, Σ10 και μικρό11:
μικρό8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
μικρό9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
μικρό10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
μικρό11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Μπορούμε να γενικεύσουμε για να πάρουμε ένα άθροισμα για μικρόόχι:
μικρόόχι = n. (n+1), αν το n είναι άρτιο
2
μικρόόχι = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, αν το n είναι περιττό
2 2
ακριβώς όπως μέσα αριθμητική μαγεία, μπορούμε να δείξουμε ένα άλλο ενδιαφέρον γεγονός για τους τριγωνικούς αριθμούς: το άθροισμα των διαδοχικών τριγωνικών αριθμών πάντα καταλήγει σε αριθμούς που μπορούν να ταξινομηθούν ως τέλεια τετράγωνα, δηλαδή αριθμοί που έχουν ρίζα τετράγωνο. Ας δούμε:
μικρό1 + Σ2 = 1 + 3 = 4
μικρό2 + Σ3 = 3 + 6 = 9
μικρό3 + Σ4 = 6 + 10 = 16
μικρό4 + Σ5 = 10 + 15 = 25
μικρό5 + Σ6 = 15 + 21 = 36
μικρό6 + Σ7 = 21 + 28 = 49
μικρό7 + Σ8 = 28 + 36 = 64
μικρό8 + Σ9 = 36 + 45 = 81
μικρό9 + Σ10 = 45 + 55 = 100
μικρό10 + Σ11 = 55 + 66 = 121
Τα αποτελέσματα που προέκυψαν, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 και 121, είναι όλα τέλεια τετράγωνα.
Της Amanda Gonçalves
Πτυχιούχος Μαθηματικών
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε ένα σχολικό ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Τριγωνικοί αριθμοί"; Σχολή Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουλίου 2021.
