Ο εκθετικη συναρτηση είναι κάθε συνάρτηση του ℝ in ℝ*+, ορίζεται από f (x) = aΧ, όπου a είναι πραγματικός αριθμός, μεγαλύτερος από μηδέν και όχι ίσος με 1.
Επωφεληθείτε από τις ασκήσεις που σχολιάστηκαν για να καθαρίσετε όλες τις αμφιβολίες σας σχετικά με αυτό το περιεχόμενο και φροντίστε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στις επιλυμένες ερωτήσεις των διαγωνισμών.
Σχολίασε ασκήσεις
Ασκηση 1
Μια ομάδα βιολόγων μελετά την ανάπτυξη μιας συγκεκριμένης αποικίας βακτηρίων και βρήκε ότι κάτω από ιδανικές συνθήκες, ο αριθμός των βακτηρίων μπορεί να βρεθεί μέσω της έκφρασης N (t) = 2000. 20,5t, που είναι ώρες.
Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις συνθήκες, πόσο καιρό μετά την έναρξη της παρατήρησης θα είναι ο αριθμός των βακτηρίων 8192000;
Λύση
Στην προτεινόμενη κατάσταση, γνωρίζουμε τον αριθμό των βακτηρίων, δηλαδή, γνωρίζουμε ότι N (t) = 8192000 και θέλουμε να βρούμε την τιμή του t. Έτσι, απλώς αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στη δεδομένη έκφραση:
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, ας γράψουμε τον αριθμό 4096 σε πρωταρχικούς παράγοντες, γιατί εάν έχουμε την ίδια βάση, μπορούμε να ισούσουμε τους εκθέτες. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό, έχουμε:
Έτσι, η καλλιέργεια θα έχει 8 192.000 βακτήρια μετά από 1 ημέρα (24 ώρες) από την έναρξη της παρατήρησης.
Άσκηση 2
Τα ραδιενεργά υλικά έχουν μια φυσική τάση, με την πάροδο του χρόνου, να αποσυνθέσουν τη ραδιενεργή τους μάζα. Ο χρόνος που χρειάζεται για να αποσυντεθεί το ήμισυ της ραδιενεργής μάζας του ονομάζεται χρόνος ημιζωής του.
Η ποσότητα ραδιενεργού υλικού ενός δεδομένου στοιχείου δίνεται από:
Να εισαι,
N (t): η ποσότητα ραδιενεργού υλικού (σε γραμμάρια) σε δεδομένο χρόνο.
Ν0: η αρχική ποσότητα υλικού (σε γραμμάρια)
T: χρόνος ημιζωής (σε χρόνια)
t: χρόνος (σε έτη)
Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο χρόνος ημιζωής αυτού του στοιχείου ισούται με 28 χρόνια, καθορίστε το χρόνο που απαιτείται για τη μείωση του ραδιενεργού υλικού στο 25% της αρχικής του ποσότητας.
Λύση
Για την προτεινόμενη κατάσταση A (t) = 0,25 A0 = 1/4 Α0, ώστε να μπορούμε να γράψουμε τη δεδομένη έκφραση, αντικαθιστώντας τον Τ από 28 χρόνια και μετά:
Επομένως, θα χρειαστούν 56 χρόνια για να μειωθεί η ποσότητα του ραδιενεργού υλικού κατά 25%.
Ερωτήσεις διαγωνισμού
1) Unesp - 2018
Η ιβουπροφαίνη είναι ένα συνταγογραφούμενο φάρμακο για τον πόνο και τον πυρετό, με χρόνο ημιζωής περίπου 2 ώρες. Αυτό σημαίνει ότι, για παράδειγμα, μετά από 2 ώρες κατάποσης 200 mg ιβουπροφαίνης, μόνο 100 mg του φαρμάκου θα παραμείνουν στην κυκλοφορία του αίματος του ασθενούς. Μετά από άλλες 2 ώρες (συνολικά 4 ώρες), μόνο 50 mg θα παραμείνουν στην κυκλοφορία του αίματος και ούτω καθεξής. Εάν ένας ασθενής λαμβάνει 800 mg ιβουπροφαίνης κάθε 6 ώρες, η ποσότητα αυτού του φαρμάκου που θα παραμείνει στην κυκλοφορία του αίματος για την 14η ώρα μετά τη λήψη της πρώτης δόσης θα είναι
α) 12,50 mg
β) 456,25 mg
γ) 114,28 mg
δ) 6,25 mg
ε) 537,50 mg
Καθώς η αρχική ποσότητα φαρμάκου στην κυκλοφορία του αίματος κάθε 2 ώρες διαιρείται στο μισό, μπορούμε να παρουσιάσουμε αυτήν την κατάσταση χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σχήμα:
Σημειώστε ότι ο εκθέτης, σε κάθε περίπτωση, ισούται με το χρόνο διαιρούμενο με το 2. Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε την ποσότητα του φαρμάκου στην κυκλοφορία του αίματος ως συνάρτηση του χρόνου, χρησιμοποιώντας την ακόλουθη έκφραση:
Να εισαι
Q (t): η ποσότητα σε μια δεδομένη ώρα
Ερ0: το αρχικό ποσό που απορροφήθηκε
t: ώρα σε ώρες
Λαμβάνοντας υπόψη ότι 800 mg ιβουπροφαίνης λήφθηκαν κάθε 6 ώρες, τότε έχουμε:
Για να βρούμε την ποσότητα του φαρμάκου στην κυκλοφορία του αίματος 14 ώρες μετά την κατάποση της 1ης δόσης, πρέπει να προσθέσουμε τις ποσότητες που αναφέρονται στην 1η, 2η και 3η δόση. Υπολογίζοντας αυτές τις ποσότητες, έχουμε:
Το ποσό της 1ης δόσης θα βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη το χρόνο ίσο με 14 ώρες, οπότε έχουμε:
Για τη δεύτερη δόση, όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα, ο χρόνος ήταν 8 ώρες. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή, έχουμε:
Ο χρόνος για την 3η δόση θα είναι μόνο 2 ώρες. Το ποσό που σχετίζεται με την 3η δόση θα είναι τότε:
Τώρα που γνωρίζουμε τις ποσότητες για κάθε δόση που λαμβάνεται, μπορούμε να βρούμε το συνολικό ποσό προσθέτοντας κάθε μία από τις ποσότητες που βρέθηκαν:
Ερσύνολο= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg
Εναλλακτική β) 456,25 mg
2) UERJ - 2013
Μια λίμνη που χρησιμοποιείται για την προμήθεια μιας πόλης μολύνθηκε μετά από βιομηχανικό ατύχημα, φτάνοντας στο επίπεδο τοξικότητας Τ0, που αντιστοιχεί σε δέκα φορές το αρχικό επίπεδο.
Διαβάστε τις παρακάτω πληροφορίες.
- Η φυσική ροή της λίμνης επιτρέπει το 50% του όγκου της να ανανεώνεται κάθε δέκα ημέρες.
- Το επίπεδο τοξικότητας T (x), μετά από x ημέρες του ατυχήματος, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση:
Σκεφτείτε το D τον μικρότερο αριθμό ημερών αναστολής της παροχής νερού, απαραίτητο για την επιστροφή της τοξικότητας στο αρχικό επίπεδο.
Εάν log 2 = 0,3, η τιμή του D ισούται με:
α) 30
β) 32
γ) 34
δ) 36
Για να επιστρέψετε στο αρχικό επίπεδο τοξικότητας είναι απαραίτητο:
Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στη δεδομένη συνάρτηση, έχουμε:
Πολλαπλασιάζοντας στο "σταυρό", η εξίσωση γίνεται:
2 0.1χ= 10
Ας εφαρμόσουμε τον λογάριθμο βάσης 10 και στις δύο πλευρές για να τον μετατρέψουμε σε εξίσωση 1ου βαθμού:
ημερολόγιο (2)0.1χ) = log 10
Υπενθυμίζοντας ότι το αρχείο καταγραφής του 10 στη βάση 10 είναι ίσο με 1, η εξίσωση μας θα μοιάζει με:
0.1χ. log 2 = 1
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το log 2 = 0,3 και αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στην εξίσωση:
Έτσι, ο μικρότερος αριθμός ημερών, περίπου, ότι η προμήθεια πρέπει να διακοπεί είναι 34 ημέρες.
Εναλλακτική γ) 34
3) Fuvesp - 2018
Έστω f: ℝ → ℝ και g: ℝ+ → ℝ ορίζεται από
αντίστοιχα.
Το γράφημα της σύνθετης συνάρτησης gºπίστη:
Το γράφημα που ψάχνετε είναι η σύνθετη συνάρτηση gºf, επομένως, το πρώτο βήμα είναι ο προσδιορισμός αυτής της λειτουργίας. Για αυτό, πρέπει να αντικαταστήσουμε τη συνάρτηση f (x) στο x της συνάρτησης g (x). Κάνοντας αυτήν την αντικατάσταση, θα βρούμε:
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα λογάριθμου του πηλίκου και μιας ισχύος, έχουμε:
Σημειώστε ότι η συνάρτηση που βρέθηκε παραπάνω είναι τύπου ax + b, η οποία είναι συνάρτηση συνάρτησης. Έτσι το γράφημα σας θα είναι ευθεία.
Επίσης, η κλίση α ισούται με το αρχείο καταγραφής10 5, που είναι θετικός αριθμός, έτσι το γράφημα θα αυξάνεται. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να εξαλείψουμε τις επιλογές b, c και e.
Έχουμε μείνει με τις επιλογές a και d, ωστόσο, όταν x = 0 έχουμε gof = - log10 2 που είναι μια αρνητική τιμή όπως φαίνεται στο γράφημα α.
Εναλλακτική α) 
4) Unicamp - 2014
Το παρακάτω γράφημα δείχνει την καμπύλη βιοτικού δυναμικού q (t) για έναν πληθυσμό μικροοργανισμών με την πάροδο του χρόνου t.
Εφόσον τα a και b είναι πραγματικές σταθερές, η συνάρτηση που μπορεί να αντιπροσωπεύει αυτό το δυναμικό είναι
α) q (t) = στο + b
b) q (t) = αβτ
c) q (t) = στο2 + bt
d) q (t) = a + log σι τ
Από το γράφημα που εμφανίζεται, μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι όταν t = 0, η συνάρτηση ισούται με 1000. Επιπλέον, είναι επίσης δυνατό να παρατηρηθεί ότι η συνάρτηση δεν είναι στενή, καθώς το γράφημα δεν είναι ευθεία.
Εάν η συνάρτηση ήταν τύπου q (t) = at2+ bt, όταν t = 0, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με μηδέν και όχι 1000. Δεν είναι λοιπόν τετραγωνική συνάρτηση.
Τρόπος καταγραφήςσιΤο 0 δεν έχει οριστεί, ούτε θα μπορούσε να έχει ως απάντηση τη συνάρτηση q (t) = a + logσιτ.
Έτσι, η μόνη επιλογή θα ήταν η συνάρτηση q (t) = abτ. Λαμβάνοντας υπόψη το t = 0, η συνάρτηση θα είναι q (t) = a, καθώς το a είναι μια σταθερή τιμή, αρκεί να είναι ίσο με 1000 για τη συνάρτηση να ταιριάζει στο δεδομένο γράφημα.
Εναλλακτική b) q (t) = abτ
5) Enem (PPL) - 2015
Η συνδικαλιστική οργάνωση μιας εταιρείας υποδηλώνει ότι το κατώτατο όριο μισθών της τάξης ανέρχεται σε 1.800 R $, προτείνοντας ένα σταθερό ποσοστό αύξησης για κάθε έτος που προορίζεται για εργασία. Η έκφραση που αντιστοιχεί στις προτάσεις μισθών, ως συνάρτηση της διάρκειας υπηρεσίας (t), σε έτη, είναι s (t) = 1800. (1,03)τ .
Σύμφωνα με την πρόταση του συνδικάτου, ο μισθός ενός επαγγελματία από αυτήν την εταιρεία με 2 χρόνια υπηρεσίας θα είναι, σε reais,
α) 7 416,00
β) 3,819,24
γ) 3.709.62
δ) 3,708,00
ε) 1,909,62.
Η έκφραση για τον υπολογισμό του μισθού ως συνάρτηση του χρόνου που προτείνει η ένωση αντιστοιχεί σε εκθετική συνάρτηση.
Για να βρείτε την τιμή μισθού στην υποδεικνυόμενη κατάσταση, ας υπολογίσουμε την τιμή του s, όταν t = 2, όπως υποδεικνύεται παρακάτω:
s (2) = 1800. (1,03)2 = 1800. 1,0609 = 1 909,62
Εναλλακτική ε) 1 909.62
Διαβάστε επίσης:
- Εκθετικη συναρτηση
- Λογάριθμος
- Λογάριθμος - Ασκήσεις
- Ιδιότητες λογάριθμου
- Ενίσχυση
- ασκήσεις ενίσχυσης
- Λειτουργία Affine
- Γραμμική συνάρτηση
- Ασκήσεις σχετικής λειτουργίας
- Τετραγωνική λειτουργία
- Τετραγωνική λειτουργία - Ασκήσεις
- Μαθηματικοί τύποι
