Ασκήσεις σύνθετου ενδιαφέροντος

Ο σύνθετος τόκος αντιπροσωπεύει τη διόρθωση που εφαρμόζεται σε ένα ποσό που δανείστηκε ή εφαρμόστηκε. Αυτός ο τύπος διόρθωσης ονομάζεται επίσης τόκος επί τόκου.

Ως περιεχόμενο με μεγάλη δυνατότητα εφαρμογής, εμφανίζεται συχνά σε διαγωνισμούς, εισαγωγικές εξετάσεις και στο Enem. Επομένως, χρησιμοποιήστε τις παρακάτω ερωτήσεις για να επαληθεύσετε τις γνώσεις σας για αυτό το περιεχόμενο.

Σχολιάστηκαν ερωτήσεις

1) Enem - 2018

Μια σύμβαση δανείου προβλέπει ότι όταν μια δόση πληρώνεται εκ των προτέρων, θα χορηγείται μείωση των τόκων σύμφωνα με την προθεσμία. Σε αυτήν την περίπτωση, η παρούσα αξία πληρώνεται, η οποία είναι η αξία εκείνη τη στιγμή, ενός ποσού που πρέπει να καταβληθεί σε μελλοντική ημερομηνία. Μια παρούσα τιμή P που υποβάλλεται στο σύνθετο επιτόκιο στο επιτόκιο i, για μια χρονική περίοδο n, παράγει μια μελλοντική τιμή V που καθορίζεται από τον τύπο

Σε μια σύμβαση δανείου με εξήντα μηνιαίες σταθερές δόσεις, 820,00 R $, με επιτόκιο 1,32% ανά μήνα, μαζί με την τριακοστή δόση, μια άλλη δόση θα καταβληθεί εκ των προτέρων, υπό την προϋπόθεση ότι η έκπτωση είναι μεγαλύτερη από το 25% της αξίας του τμήμα.

Χρησιμοποιήστε το 0,2877 ως προσέγγιση για και 0,0131 ως προσέγγιση στο ln (1,0132).
Η πρώτη από τις δόσεις που μπορεί να αναμένεται μαζί με την 30η είναι η

α) 56η
β) 55η
γ) 52ος
δ) 51ος
ε) 45η

Δείτε την απάντηση

Στην προτεινόμενη ερώτηση, θέλουμε να μάθουμε ποια δόση, εφαρμόζοντας τη μείωση των τόκων κατά την πληρωμή εκ των προτέρων, το καταβληθέν ποσό έχει έκπτωση μεγαλύτερη από 25%, δηλαδή:

Απλοποιώντας το κλάσμα (διαιρώντας πάνω και κάτω από 25), ανακαλύπτοντας ότι το ποσό που πρέπει να καταβληθεί για την προκαταβολή πρέπει να είναι:

Η αναμενόμενη δόση αντιστοιχεί στη μελλοντική τιμή που διορθώνεται στην παρούσα αξία, δηλαδή προεξόφλησε το επιτόκιο 1,32% κατά την πληρωμή αυτής της δόσης πριν από τον όρο, δηλαδή:

Όπου το n είναι ίσο με την αναμενόμενη περίοδο. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στην προηγούμενη, έχουμε:

Καθώς το 820 εμφανίζεται και στις δύο πλευρές της ανισότητας, μπορούμε να απλοποιήσουμε, "κόβοντας" αυτήν την τιμή:

Μπορούμε να αντιστρέψουμε τα κλάσματα, προσέχοντας να αναστρέψουμε επίσης το σημάδι ανισότητας. Έτσι, η έκφρασή μας είναι:

Σημειώστε ότι η τιμή που θέλουμε να βρούμε είναι στον εκθέτη (n). Επομένως, για να επιλύσουμε την ανισότητα θα εφαρμόσουμε τον φυσικό λογάριθμο (ln) και στις δύο πλευρές της ανισότητας, δηλαδή:

Τώρα, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις τιμές που αναφέρονται στη δήλωση και να βρούμε την τιμή του n:

Καθώς το n πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τιμή που βρέθηκε, τότε θα πρέπει να προβλέψουμε 22 δόσεις, δηλαδή, θα πληρώσουμε την 30η δόση μαζί με την 52η (30 + 22 = 52).

Εναλλακτική λύση: γ) 52η

2) Enem - 2011

Ένας νέος επενδυτής πρέπει να επιλέξει ποια επένδυση θα του προσφέρει τη μεγαλύτερη οικονομική απόδοση σε μια επένδυση ύψους 500,00 R $. Για να γίνει αυτό, ερευνά το εισόδημα και το φόρο που πρέπει να καταβληθεί σε δύο επενδύσεις: αποταμίευση και CDB (πιστοποιητικό τραπεζικής κατάθεσης). Οι πληροφορίες που λαμβάνονται συνοψίζονται στον πίνακα:

Για τον νεαρό επενδυτή, στο τέλος ενός μήνα, η πιο συμφέρουσα εφαρμογή είναι

α) εξοικονόμηση, καθώς θα ανέλθει συνολικά σε 502,80 R $.
β) εξοικονόμηση, καθώς θα ανέλθει συνολικά σε 500,56 R $.
γ) το CDB, καθώς θα ανέρχεται συνολικά σε 504,38 R $.
δ) το CDB, καθώς θα ανέρχεται συνολικά σε 504,21 R $.
ε) το CDB, καθώς θα ανέρχεται συνολικά σε 500,87 R $.

Δείτε την απάντηση

Για να μάθετε ποια είναι η καλύτερη απόδοση, ας υπολογίσουμε πόσο θα αποδώσει το καθένα στο τέλος ενός μήνα. Ας ξεκινήσουμε, υπολογίζοντας το εισόδημα από αποταμιεύσεις.

Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα προβλήματος, έχουμε:

c = 500,00 BRL
= 0,560% = 0,0056 π.μ.
t = 1 μήνα
Μ =?

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος, έχουμε:

Μ = C (1 + i)^τ
Μ_{οικονομίες} = 500 (1 + 0,0056)¹
Μ_{οικονομίες} = 500.1,0056
Μ_{οικονομίες} = BRL 502,80

Όπως σε αυτόν τον τύπο εφαρμογής δεν υπάρχει έκπτωση φόρου εισοδήματος, έτσι θα είναι το ποσό που εξαργυρώθηκε.

Τώρα, ας υπολογίσουμε τις τιμές για το CDB. Για αυτήν την εφαρμογή, το επιτόκιο ισούται με 0,876% (0,00876). Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, έχουμε:

Μ_CBD = 500 (1+0,00876)¹
Μ_CBD = 500.1,00876
Μ_CBD = BRL 504,38

Αυτό το ποσό δεν θα είναι το ποσό που λαμβάνει ο επενδυτής, καθώς σε αυτήν την αίτηση υπάρχει έκπτωση 4%, σχετικά με το φόρο εισοδήματος, ο οποίος θα πρέπει να εφαρμόζεται στους τόκους που λαμβάνονται, όπως αναφέρεται βελάζω:

J = Μ - Γ
J = 504,38 - 500 = 4,38

Πρέπει να υπολογίσουμε το 4% αυτής της τιμής, απλώς κάντε:

4,38.0,04 = 0,1752

Εφαρμόζοντας αυτήν την έκπτωση στην τιμή, βρίσκουμε:

504.38 - 0.1752 = BRL 504.21

Εναλλακτική: δ) το CDB, καθώς θα ανέρχεται συνολικά σε 504,21 R $

3) UERJ - 2017

Ένα κεφάλαιο C reais επενδύθηκε με σύνθετο επιτόκιο 10% ανά μήνα και δημιούργησε, σε τρεις μήνες, ένα ποσό 53.240 R $. Υπολογίστε την τιμή, σε reais, του αρχικού κεφαλαίου C.

Δείτε την απάντηση

Έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα στο πρόβλημα:

Μ = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 ανά μήνα
t = 3 μήνες
Γ =?

Αντικαθιστώντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος, έχουμε:

Μ = C (1 + i)^τ
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 Γ

4) Fuvest - 2018

Η Μαρία θέλει να αγοράσει μια τηλεόραση που πωλείται έναντι 1.500,00 R $ σε μετρητά ή σε 3 μηνιαίες δόσεις άτοκων 500,00 R $. Τα χρήματα που διέθεσε η Μαρία για αυτήν την αγορά δεν αρκούν για να πληρώσουν σε μετρητά, αλλά ανακάλυψε ότι η τράπεζα προσφέρει μια οικονομική επένδυση που κερδίζει 1% το μήνα. Αφού έκανε τους υπολογισμούς, η Μαρία κατέληξε στο συμπέρασμα ότι αν πληρώσει την πρώτη δόση και, την ίδια ημέρα, εφαρμόζει το υπόλοιπο ποσό, θα μπορείτε να πληρώσετε τις δύο υπόλοιπες δόσεις χωρίς να χρειαστεί να βάλετε ή να πάρετε ένα λεπτό ούτε καν. Πόσο διέθεσε η Μαρία για αυτήν την αγορά, σε reais;

α) 1.450.20
β) 1.480.20
γ) 1,485.20
δ) 1.495.20
ε) 1.490.20

Δείτε την απάντηση

Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να κάνουμε την ισοδυναμία των τιμών, δηλαδή, γνωρίζουμε τη μελλοντική αξία που πρέπει να καταβάλλεται σε κάθε δόση και θέλουμε να γνωρίζουμε την παρούσα αξία (κεφάλαιο που θα εφαρμοστεί).

Για αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η εφαρμογή πρέπει να αποδώσει 500,00 BRL κατά τη στιγμή της πληρωμής της δεύτερης δόσης, η οποία θα είναι 1 μήνα μετά την πληρωμή της πρώτης δόσης, έχουμε:

Για να πληρώσετε και την τρίτη δόση των 500,00 R $, το ποσό θα εφαρμοστεί για 2 μήνες, οπότε το ποσό που εφαρμόζεται θα ισούται με:

Έτσι, το ποσό που διέθεσε η Maria για την αγορά είναι ίσο με το άθροισμα των ποσών που εφαρμόστηκαν με το ποσό της πρώτης δόσης, δηλαδή:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1,485,20

Εναλλακτική λύση: γ) 1,485.20 BRL

5) UNESP - 2005

Ο Mário πήρε δάνειο 8.000,00 R $ με επιτόκιο 5% ανά μήνα. Δύο μήνες αργότερα, ο Μάριο πλήρωσε 5.000,00 $ του δανείου και, ένα μήνα μετά την πληρωμή, πλήρωσε όλο το χρέος του. Η αξία της τελευταίας πληρωμής ήταν:

α) 3.015 BRL.
β) 3,820,00 BRL.
γ) BRL 4.011,00.
δ) BRL 5.011,00.
ε) BRL 5.250,00.

Δείτε την απάντηση

Γνωρίζουμε ότι το δάνειο καταβλήθηκε σε δύο δόσεις και ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία:

Β_Π = 8000
i = 5% = 0,05 π.μ.
Β_ΣΤ1 = 5000
Β_ΣΤ2 = x

Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα και κάνοντας την ισοδυναμία των κεφαλαίων, έχουμε:

Εναλλακτική λύση: c) 4.011,00 R $.

6) PUC / RJ - 2000

Μια τράπεζα χρεώνει επιτόκιο 11% ανά μήνα στην υπηρεσία υπερανάληψης. Για κάθε 100 reais υπερανάληψης, η τράπεζα χρεώνει 111 τον πρώτο μήνα, 123,21 στον δεύτερο και ούτω καθεξής. Με ποσό 100 reais, στο τέλος ενός έτους η τράπεζα θα χρεώσει περίπου:

α) 150 reais.
β) 200 reais
γ) 250 reais.
δ) 300 reais.
ε) 350 reais.

Δείτε την απάντηση

Από τις πληροφορίες που δόθηκαν στο πρόβλημα, εντοπίσαμε ότι η διόρθωση του ποσού που χρεώνεται από το υπερανάληψη γίνεται με σύνθετο τόκο.

Σημειώστε ότι το ποσό που χρεώθηκε για το δεύτερο μήνα υπολογίστηκε λαμβάνοντας υπόψη το ποσό που έχει ήδη διορθωθεί για τον πρώτο μήνα, δηλαδή:

J = 111. 0.11 = BRL 12.21

Μ = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Επομένως, για να βρούμε το ποσό που θα χρεώσει η τράπεζα στο τέλος ενός έτους, ας εφαρμόσουμε τον τύπο σύνθετου επιτοκίου, δηλαδή:

Μ = C (1 + i)^τ

Να εισαι:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 ανά μήνα
t = 1 έτος = 12 μήνες
Μ = 100 (1 + 0,11)¹²
Μ = 100.1.11¹²
Μ = 100,3,498

Εναλλακτική λύση: e) 350 reais

Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με αυτό το θέμα, διαβάστε επίσης:

• Ποσοστό
• Πώς να υπολογίσετε το ποσοστό;
• Ποσοστιαίες ασκήσεις
• Μαθηματικοί τύποι
• Μαθηματικά στο Enem