Οι απλοί και σύνθετοι τόκοι είναι υπολογισμοί που πραγματοποιούνται προκειμένου να διορθωθούν τα ποσά που εμπλέκονται στις συναλλαγές οικονομική, δηλαδή, η διόρθωση που έγινε κατά το δανεισμό ή την επένδυση ενός συγκεκριμένου ποσού κατά τη διάρκεια μιας περιόδου χρόνος.
Το ποσό που πληρώθηκε ή εξαργυρώθηκε εξαρτάται από το τέλος που χρεώνεται για τη συναλλαγή και την περίοδο που τα χρήματα θα δανειστούν ή θα επενδυθούν. Όσο υψηλότερος είναι ο ρυθμός και ο χρόνος, τόσο υψηλότερη είναι αυτή η τιμή.
Διαφορά μεταξύ απλού και σύνθετου ενδιαφέροντος
Με απλό ενδιαφέρον, η διόρθωση εφαρμόζεται σε κάθε περίοδο και λαμβάνει υπόψη μόνο την αρχική τιμή. Για σύνθετους τόκους, η διόρθωση γίνεται σε ήδη διορθωμένα ποσά.
Για το λόγο αυτό, οι σύνθετοι τόκοι ονομάζονται επίσης τόκοι τόκων, δηλαδή, το ποσό προσαρμόζεται σε ποσό που έχει ήδη προσαρμοστεί.
Επομένως, για μεγαλύτερες περιόδους επένδυσης ή δανείου, η διόρθωση ανά επιτοκιακό επιτόκιο θα προκαλέσει την λήψη ή καταβολή του τελικού ποσού μεγαλύτερη από το ποσό που λαμβάνεται με απλούς τόκους.
Οι περισσότερες χρηματοοικονομικές πράξεις χρησιμοποιούν τη διόρθωση από το σύνθετο σύστημα επιτοκίου. Το απλό ενδιαφέρον περιορίζεται σε βραχυπρόθεσμες πράξεις.
Απλός τύπος ενδιαφέροντος
Το απλό ενδιαφέρον υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Να εισαι,
J: ενδιαφέρον
Γ: αρχική αξία συναλλαγής, που ονομάζεται κεφαλαιακά μαθηματικά
i: επιτόκιο (ποσό που εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό)
t: περίοδος συναλλαγής
Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το συνολικό ποσό που θα εξαργυρωθεί (σε περίπτωση επένδυσης) ή το ποσό που θα αποπληρωθεί (στην περίπτωση δανείου) στο τέλος μιας προκαθορισμένης περιόδου.
Αυτή η τιμή, που ονομάζεται το ποσό, ισούται με το άθροισμα του κεφαλαίου συν τον τόκο, δηλαδή:
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την τιμή J στον παραπάνω τύπο και να βρούμε την ακόλουθη έκφραση για το ποσό:
Ο τύπος που βρήκαμε είναι μια συνάρτηση συναφής, οπότε η τιμή του ποσού αυξάνεται γραμμικά ως συνάρτηση του χρόνου.
Παράδειγμα
Εάν το κεφάλαιο των 1000,00 $ μηνιαίως αποφέρει 25,00 $, ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο στο απλό σύστημα επιτοκίων;
Λύση
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε κάθε ποσότητα που αναφέρεται στο πρόβλημα.
C = 1000,00 BRL
J = 25,00 BRL
t = 1 μήνα
εγώ =?
Τώρα που έχουμε προσδιορίσει όλες τις ποσότητες, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον τύπο ενδιαφέροντος:
Ωστόσο, λάβετε υπόψη ότι αυτή η χρέωση είναι μηνιαία καθώς χρησιμοποιούμε την περίοδο 1 μήνα. Για να βρούμε την ετήσια χρέωση πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτήν την τιμή με 12, οπότε έχουμε:
i = 2,5,12 = 30% ετησίως
Τύπος σύνθετου ενδιαφέροντος
Το ποσό που κεφαλαιοποιείται σε σύνθετους τόκους εντοπίζεται εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο:
Να εισαι,
Μ: ποσό
Γ: κεφάλαιο
i: επιτόκιο
t: χρονική περίοδος
Σε αντίθεση με το απλό ενδιαφέρον, σε αυτόν τον τύπο κεφαλαιοποίησης, ο τύπος για τον υπολογισμό του ποσού περιλαμβάνει εκθετική παραλλαγή. Ως εκ τούτου εξηγείται ότι η τελική τιμή αυξάνεται σημαντικά για μεγαλύτερες περιόδους.
Παράδειγμα
Υπολογίστε το ποσό που παράγεται από R $ 2.000 που εφαρμόστηκε με ποσοστό 4% ανά τρίμηνο, μετά από ένα έτος, στο σύνθετο σύστημα επιτοκίων.
Λύση
Προσδιορίζοντας τις πληροφορίες που παρέχονται, έχουμε:
C = 2000
i = 4% ή 0,04 ανά τρίμηνο
t = 1 έτος = 4 τρίμηνα
Μ =?
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος, έχουμε:
Επομένως, στο τέλος ενός έτους το ποσό θα είναι ίσο με 2.339,71 R $.
Λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1
Υπολογισμός ποσού
Ποιο είναι το ποσό μιας επένδυσης ύψους 500,00 R $, με ρυθμό 3% ανά μήνα, για περίοδο 1 έτους και 6 μηνών, σε απλά και σύνθετα συστήματα τόκων;
απλό ενδιαφέρον
Δεδομένα:
C = 500
i = 0,03
t = 18 μήνες (1 έτος + 6 μήνες)
Το ποσό θα είναι το αρχικό κεφάλαιο συν τους τόκους.
Μ = C + J
Το ενδιαφέρον είναι:
J = C.i.t
J = 500.0.03.18 = 270
Έτσι το ποσό θα είναι:
Μ = C + J
Μ = 500 + 270
Μ = 770
Απάντηση: Το ποσό αυτής της εφαρμογής θα είναι 770,00 R $.
Ανατοκισμός
Εφαρμόζοντας τις τιμές στον τύπο, έχουμε:
Απάντηση: Το ποσό της επένδυσης στο πλαίσιο του σύνθετου επιτοκίου είναι 851,21 R $.
Ερώτηση 2
Υπολογισμός κεφαλαίου
Εφαρμόστηκε ένα συγκεκριμένο κεφάλαιο για περίοδο 6 μηνών. Το ποσοστό ήταν 5% ανά μήνα. Μετά από αυτήν την περίοδο, το ποσό ήταν 5000,00 R $. Καθορίστε το κεφάλαιο.
απλό ενδιαφέρον
Βάζοντας το C σε αποδεικτικά στοιχεία στον απλό τύπο ενδιαφέροντος:
Μ = C + J
Μ = C + C.i.t
Μ = C (1 + i.t)
Απομόνωση C στην εξίσωση:
Ανατοκισμός
Απομόνωση C στον τύπο σύνθετου ενδιαφέροντος και αντικατάσταση των τιμών:
Απάντηση: Το κεφάλαιο πρέπει να είναι 4201,68 R $.
ερώτηση 3
Υπολογισμός επιτοκίου
Ποιο θα ήταν το μηνιαίο επιτόκιο για μια επένδυση 100.000 $ για μια περίοδο οκτώ μηνών που κέρδισε ποσό 1600,00 $.
απλό ενδιαφέρον
Εφαρμογή του τύπου και τεκμηρίωση του C:
Μ = C + J
Μ = C + C.i.t
Μ = C (1 + i.t)
Αντικατάσταση των τιμών και πραγματοποίηση των αριθμητικών υπολογισμών:
σε ποσοστό
I = 7,5%
Ανατοκισμός
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για σύνθετους τόκους και διαιρέσουμε το ποσό με τον κύριο.
ερώτηση 4
Υπολογισμός της περιόδου αίτησης (ώρα)
Επενδύθηκε ένα κεφάλαιο 8000 R $ με μηνιαίο επιτόκιο 9%, λαμβάνοντας 10360,00 R $.
Πόσο καιρό επενδύθηκε αυτό το κεφάλαιο;
απλό ενδιαφέρον
Χρησιμοποιώντας τον τύπο
Επομένως, ο χρόνος είναι περίπου 3,27 μήνες.
Ανατοκισμός
Σε αυτό το βήμα, αντιμετωπίζουμε μια εκθετική εξίσωση.
Για να το λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε τον λογάριθμο, εφαρμόζοντας έναν λογάριθμο της ίδιας βάσης, και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.
Χρησιμοποιώντας μια ιδιότητα των λογαρίθμων στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, έχουμε:
ερώτηση 5
UECE - 2018
Ένα κατάστημα πωλεί μια τηλεόραση, με τους ακόλουθους όρους πληρωμής: προκαταβολή 800,00 R $ και πληρωμή 450,00 R $ δύο μήνες αργότερα. Αν η τιμή της τηλεοπτικής τηλεόρασης είναι 1.200,00 R $, τότε το απλό μηνιαίο επιτόκιο που είναι ενσωματωμένο στην πληρωμή είναι
Α) 6,25%.
Β) 7,05%.
Γ) 6,40%.
Δ) 6,90%.
Κατά τη σύγκριση της τιμής της τηλεόρασης σε μετρητά (1.200,00 R $) και του ποσού που καταβλήθηκε σε δύο δόσεις, παρατηρούμε ότι υπήρξε αύξηση των 50,00 R $, καθώς το ποσό που πληρώθηκε ήταν ίσο με 1.250,00 R $ (800 +450).
Για να βρούμε το χρεωμένο επιτόκιο, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον απλό τύπο τόκων, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο τόκος εφαρμόστηκε στο χρεωστικό υπόλοιπο (αξία τηλεόρασης μείον προκαταβολή). Έτσι έχουμε:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 μήνες
J = C.i.t
50 = 400.i.2
Εναλλακτική λύση: α) 6,25%
Ισοδυναμία κεφαλαίου
Στα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά, είναι σημαντικό να έχετε κατά νου ότι τα ποσά που εμπλέκονται σε μια συναλλαγή θα μεταφερθούν εγκαίρως.
Δεδομένου αυτού του γεγονότος, η πραγματοποίηση χρηματοοικονομικής ανάλυσης συνεπάγεται τη σύγκριση των σημερινών αξιών με τις μελλοντικές τιμές. Έτσι, πρέπει να έχουμε έναν τρόπο να κάνουμε την ισοδυναμία του κεφαλαίου σε διαφορετικούς χρόνους.
Όταν υπολογίζουμε το ποσό, στον τύπο σύνθετου επιτοκίου, βρίσκουμε τη μελλοντική τιμή για t χρονικές περιόδους, με ρυθμό i, από μια παρούσα τιμή.
Αυτό γίνεται πολλαπλασιάζοντας τον όρο (1 + i)όχι στην παρούσα αξία, δηλαδή:
Αντίθετα, εάν θέλουμε να βρούμε την παρούσα αξία γνωρίζοντας τη μελλοντική αξία, θα κάνουμε μια διαίρεση, δηλαδή:
Παράδειγμα:
Για να αγοράσει μια μοτοσικλέτα σε εξαιρετική τιμή, ένα άτομο ζήτησε δάνειο ύψους 6.000,00 R $ από μια εταιρεία χρηματοδότησης με μηνιαίο τόκο 15%. Δύο μήνες αργότερα, πλήρωσε 3.000,00 R $ και εξοφλήθηκε το χρέος τον επόμενο μήνα.
Ποιο ήταν το ποσό της τελευταίας δόσης που κατέβαλε το άτομο;
Λύση
Εάν το άτομο μπόρεσε να εξοφλήσει το οφειλόμενο ποσό του δανείου, τότε το ποσό που καταβλήθηκε στην πρώτη δόση συν τη δεύτερη δόση ισούται με το οφειλόμενο ποσό.
Ωστόσο, οι δόσεις προσαρμόστηκαν κατά τη διάρκεια της περιόδου με μηνιαίο τόκο. Επομένως, για να ταιριάξουμε αυτά τα ποσά, πρέπει να γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές τους την ίδια ημερομηνία.
Θα πραγματοποιήσουμε την ισοδυναμία λαμβάνοντας υπόψη το χρόνο του δανείου, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για δύο και τρεις μήνες:
Επομένως, η τελευταία πληρωμή που πραγματοποιήθηκε ήταν 5.675,25 R $.
Η άσκηση λύθηκε
ερώτηση 6
Ένα δάνειο πραγματοποιήθηκε με μηνιαίο επιτόκιο i%, χρησιμοποιώντας σύνθετο επιτόκιο, σε οκτώ σταθερές δόσεις ίσες με P.
Ο οφειλέτης έχει τη δυνατότητα να εξοφλήσει το χρέος εκ των προτέρων ανά πάσα στιγμή, πληρώνοντας για αυτό την τρέχουσα αξία των δόσεων που πρέπει να πληρωθούν. Αφού πληρώσει την 5η δόση, αποφασίζει να εξοφλήσει το χρέος κατά την πληρωμή της 6ης δόσης.
Η έκφραση που αντιστοιχεί στο συνολικό ποσό που καταβλήθηκε για την αποπληρωμή του δανείου είναι:
Απάντηση: Γράμμα α
