Matrices: Σχολιασμένες και επιλυμένες ασκήσεις

Το Matrix είναι ένας πίνακας που σχηματίζεται από πραγματικούς αριθμούς, διατεταγμένους σε σειρές και στήλες. Οι αριθμοί που εμφανίζονται στη μήτρα ονομάζονται στοιχεία.

Επωφεληθείτε από τις επιλυμένες και σχολιασμένες εισαγωγικές ερωτήσεις για να ξεκαθαρίσετε όλες τις αμφιβολίες σας σχετικά με αυτό το περιεχόμενο.

Επιλύθηκαν ζητήματα εξέτασης εισόδου

1) Unicamp - 2018

Αφήστε τα a και b να είναι πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε ο πίνακας A = ικανοποιεί την εξίσωση Α²= aA + bI, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας της τάξης 2. Έτσι, το προϊόν ab είναι ίσο με

α) −2.
β) −1.
γ) 1.
δ) 2.

Δείτε την απάντηση

Για να μάθουμε την αξία του προϊόντος a.b, πρέπει πρώτα να γνωρίζουμε την αξία των a και b. Ας εξετάσουμε λοιπόν την εξίσωση που δίνεται στο πρόβλημα.

Για να λύσουμε την εξίσωση, ας υπολογίσουμε την τιμή του Α², το οποίο γίνεται πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα Α από μόνο του, δηλαδή:

Αυτή η λειτουργία γίνεται πολλαπλασιάζοντας τις σειρές του πρώτου πίνακα με τις στήλες του δεύτερου πίνακα, όπως φαίνεται παρακάτω:

Με αυτόν τον τρόπο η μήτρα Α² είναι το ίδιο με:

Λαμβάνοντας υπόψη την τιμή που μόλις βρήκαμε και θυμόμαστε ότι στον πίνακα ταυτότητας τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας είναι ίση με 1 και τα άλλα στοιχεία είναι ίση με 0, η εξίσωση θα είναι:

Πρέπει τώρα να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα A με τον αριθμό a και τον πίνακα ταυτότητας με τον αριθμό b.

Θυμηθείτε ότι για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με έναν πίνακα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με κάθε στοιχείο του πίνακα.

Έτσι, η ισότητά μας θα είναι ίση με:

Προσθέτοντας τους δύο πίνακες, έχουμε:

Δύο πίνακες είναι ίσοι όταν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία είναι ίδια. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να γράψουμε το ακόλουθο σύστημα:

Απομόνωση του α στη δεύτερη εξίσωση:

Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε για ένα στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε την τιμή του b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Έτσι, το προϊόν θα δοθεί από:

Ο. b = - 1. 2
Ο. b = - 2

Εναλλακτική λύση: α) −2.

2) Unesp - 2016

Ένα σημείο P, συντεταγμένων (x, y) του ορθογώνιου καρτεσιανού επιπέδου, αντιπροσωπεύεται από τη μήτρα στήλης. , καθώς και ο πίνακας στηλών αντιπροσωπεύει, στο ορθογώνιο καρτεσιανό επίπεδο, το σημείο P των συντεταγμένων (x, y). Έτσι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της μήτρας είναι μια μήτρα στήλης που, στο ορθογώνιο καρτεσιανό επίπεδο, αντιπροσωπεύει αναγκαστικά ένα σημείο που είναι

α) 180 ° περιστροφή του P προς τα δεξιά και με κέντρο στο (0, 0).
β) Περιστροφή P έως 90 ° αριστερόστροφα, με κέντρο στο (0, 0).
γ) συμμετρική του P σε σχέση με τον οριζόντιο άξονα x.
δ) συμμετρική του P σε σχέση με τον κατακόρυφο άξονα y.
ε) περιστροφή του P έως 90º δεξιόστροφα και με κέντρο στο (0, 0).

Δείτε την απάντηση

Το σημείο P αντιπροσωπεύεται από μια μήτρα, έτσι ώστε η τετμημένη (x) να υποδεικνύεται από το στοιχείο α.₁₁ και η τεταγμένη (y) από το στοιχείο α₂₁ της μήτρας.

Για να βρούμε τη νέα θέση του σημείου P, πρέπει να λύσουμε τον πολλαπλασιασμό των πινάκων που παρουσιάζονται και το αποτέλεσμα θα είναι:

Το αποτέλεσμα αντιπροσωπεύει τη νέα συντεταγμένη του σημείου Ρ, δηλαδή, η τετμημένη είναι ίση με -y και η τεταγμένη είναι ίση με x.

Για να προσδιορίσουμε τον μετασχηματισμό που έγινε από τη θέση του σημείου Ρ, ας παρουσιάσουμε την κατάσταση στο καρτεσιανό επίπεδο, όπως υποδεικνύεται παρακάτω:

Επομένως, το σημείο Ρ, το οποίο αρχικά βρισκόταν στο 1ο τεταρτημόριο (θετική τετμημένη και τεταγμένη), μετακινήθηκε στο 2ο τεταρτημόριο (αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη).

Κατά τη μετάβαση σε αυτήν τη νέα θέση, το σημείο περιστράφηκε αριστερόστροφα, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα από το κόκκινο βέλος.

Πρέπει ακόμη να προσδιορίσουμε ποια ήταν η τιμή της γωνίας περιστροφής.

Συνδέοντας την αρχική θέση του σημείου P στο κέντρο του καρτεσιανού άξονα και κάνοντας το ίδιο σε σχέση με τη νέα του θέση P ', έχουμε την ακόλουθη κατάσταση:

Σημειώστε ότι τα δύο τρίγωνα που φαίνονται στο σχήμα είναι αντίστοιχα, δηλαδή έχουν τις ίδιες μετρήσεις. Με αυτόν τον τρόπο, οι γωνίες τους είναι επίσης ίδιες.

Επιπλέον, οι γωνίες α και θ είναι συμπληρωματικές, καθώς το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών των τριγώνων είναι ίσο με 180º και δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το άθροισμα αυτών των δύο γωνιών θα είναι ίσο με 90º.

Έτσι, η γωνία περιστροφής του σημείου, που υποδεικνύεται στο σχήμα με το β, μπορεί να είναι μόνο ίση με 90º.

Εναλλακτική λύση: β) περιστροφή 90 ° P αριστερόστροφα, με κέντρο στο (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Δεδομένου ότι το a είναι πραγματικός αριθμός, σκεφτείτε τον πίνακα A = . Ετσι το²⁰¹⁷ είναι το ίδιο όπως
Ο)
ΣΙ)
ντο)
ρε)

Δείτε την απάντηση

Κατ 'αρχάς, ας προσπαθήσουμε να βρούμε ένα μοτίβο για τις δυνάμεις, καθώς είναι πολύ δουλειά να πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα A από το 2017 φορές.

Υπενθυμίζοντας ότι στον πολλαπλασιασμό μήτρας, κάθε στοιχείο βρίσκεται με την προσθήκη των αποτελεσμάτων πολλαπλασιασμού των στοιχείων στη σειρά του ενός με τα στοιχεία στη στήλη του άλλου.

Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό του Α²:

Το αποτέλεσμα ήταν ο πίνακας ταυτότητας και όταν πολλαπλασιάζουμε οποιονδήποτε πίνακα με τον πίνακα ταυτότητας, το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος ο πίνακας.

Επομένως, η τιμή του Α³ θα είναι ίσο με τον ίδιο τον πίνακα Α, επειδή το Α³ = Α². Ο.

Αυτό το αποτέλεσμα θα επαναληφθεί, δηλαδή, όταν ο εκθέτης είναι ομοιόμορφος, το αποτέλεσμα είναι ο πίνακας ταυτότητας και όταν είναι περίεργος, θα είναι ο ίδιος ο πίνακας Α.

Δεδομένου ότι το 2017 είναι περίεργο, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με τον πίνακα Α.

Εναλλακτική λύση: β)

4) UFSM - 2011

Το δεδομένο διάγραμμα αντιπροσωπεύει την απλοποιημένη τροφική αλυσίδα ενός δεδομένου οικοσυστήματος. Τα βέλη υποδεικνύουν το είδος στο οποίο τρέφονται τα άλλα είδη. Αποδίδοντας μια τιμή 1 όταν ένα είδος τρέφεται με ένα άλλο και μηδέν, όταν συμβαίνει το αντίθετο, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα:

Η μήτρα A = (a_ij)_4x4, που σχετίζεται με τον πίνακα, έχει τον ακόλουθο εκπαιδευτικό νόμο:

Δείτε την απάντηση

Δεδομένου ότι ο αριθμός σειράς υποδεικνύεται από το i και ο αριθμός στήλης που υποδεικνύεται από το j, και κοιτάζοντας τον πίνακα, παρατηρούμε ότι όταν το i είναι ίσο με το j, ή το i είναι μεγαλύτερο από το j, το αποτέλεσμα είναι μηδέν.

Οι θέσεις που καταλαμβάνονται από το 1 είναι αυτές στις οποίες ο αριθμός στήλης είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό γραμμής.

Εναλλακτική λύση: c)

5) Unesp - 2014

Εξετάστε την εξίσωση πίνακα A + BX = X + 2C, της οποίας το άγνωστο είναι ο πίνακας X και όλοι οι πίνακες είναι τετράγωνο της τάξης n. Η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να έχει αυτή η εξίσωση μία λύση είναι ότι:

a) B - I ≠ O, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας της τάξης n και O είναι ο μηδενικός πίνακας της τάξης n.
b) Το B είναι αναστρέψιμο.
c) B ≠ O, όπου O είναι η μηδενική μήτρα της τάξης n.
d) B - I είναι αναστρέψιμο, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας της τάξης n.
ε) Τα Α και Γ είναι αναστρέψιμα.

Δείτε την απάντηση

Για να λύσουμε την εξίσωση του πίνακα, πρέπει να απομονώσουμε το Χ στη μία πλευρά του σημείου ίσο. Για να γίνει αυτό, ας αφαιρέσουμε αρχικά τον πίνακα A και στις δύο πλευρές.

A - A + BX = X + 2C - Α
BX = X + 2C - Α

Τώρα, ας αφαιρέσουμε το X, και στις δύο πλευρές. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση θα είναι:

BX - X = X - X + 2C - Α
BX - X = 2C - Α
X. (B - I) = 2C - A

Δεδομένου ότι είμαι ο πίνακας ταυτότητας, όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα με την ταυτότητα, το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος ο πίνακας.

Έτσι, για να απομονώσουμε το Χ πρέπει τώρα να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές του ίσου σημείου με την αντίστροφη μήτρα του (B-I), δηλαδή:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (Β - Ι) ^{- 1}. (2C - Α)

Να θυμόμαστε ότι όταν ένας πίνακας είναι αναστρέψιμος, το προϊόν της μήτρας από το αντίστροφο είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας.
X = (Β - Ι) ^{- 1}. (2C - Α)

Έτσι, η εξίσωση θα έχει μια λύση όταν το B - I είναι αναστρέψιμο.

Εναλλακτική λύση: d) B - I είναι αναστρέψιμη, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας της τάξης n.

6) Enem - 2012

Ένας μαθητής κατέγραψε τους διμηνιαίους βαθμούς ορισμένων από τα θέματα του σε έναν πίνακα. Σημείωσε ότι οι αριθμητικές καταχωρήσεις στον πίνακα δημιούργησαν έναν πίνακα 4x4 και ότι μπορούσε να υπολογίσει τους ετήσιους μέσους όρους για αυτούς τους κλάδους χρησιμοποιώντας το προϊόν των πινάκων. Όλες οι δοκιμές είχαν το ίδιο βάρος και ο πίνακας που πήρε φαίνεται παρακάτω

Για να αποκτήσει αυτούς τους μέσους όρους, πολλαπλασίασε τη μήτρα που αποκτήθηκε από τον πίνακα κατά

Δείτε την απάντηση

Ο αριθμητικός μέσος υπολογίζεται προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με τον αριθμό των τιμών.

Έτσι, ο μαθητής πρέπει να προσθέσει τους βαθμούς των 4 διμερών και να διαιρέσει το αποτέλεσμα με 4 ή να πολλαπλασιάσει κάθε βαθμό με 1/4 και να προσθέσει όλα τα αποτελέσματα.

Χρησιμοποιώντας πίνακες, μπορούμε να επιτύχουμε το ίδιο αποτέλεσμα κάνοντας πολλαπλασιασμό μήτρας.

Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι είναι δυνατό να πολλαπλασιαστούν δύο πίνακες μόνο όταν ο αριθμός στηλών σε μία είναι ίσος με τον αριθμό σειρών στην άλλη.

Καθώς ο πίνακας των σημειώσεων έχει 4 στήλες, ο πίνακας που θα πολλαπλασιάσουμε πρέπει να έχει 4 σειρές. Έτσι, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με τον πίνακα στήλης:

Εναλλακτική: και

7) Fuvest - 2012

Εξετάστε τον πίνακα , σε τι ο είναι ένας πραγματικός αριθμός. Γνωρίζοντας ότι το Α παραδέχεται το αντίστροφο Α^-1 του οποίου η πρώτη στήλη είναι , το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγώνιας του Α^-1 είναι το ίδιο όπως

α) 5
β) 6
γ) 7
δ) 8
ε) 9

Δείτε την απάντηση

Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με το αντίστροφο είναι ίσος με τον πίνακα ταυτότητας, έτσι μπορούμε να αναπαραστήσουμε την κατάσταση με την ακόλουθη λειτουργία:

Επίλυση του πολλαπλασιασμού της δεύτερης σειράς του πρώτου πίνακα με την πρώτη στήλη του δεύτερου πίνακα, έχουμε την ακόλουθη εξίσωση:

(έως 1). (2α - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2ος² - α - 2α + 1 + (-α) + (-1) = 0
2ος² - 4ο = 0
2ο (a - 2) = 0
a - 2 = 0
α = 2

Αντικαθιστώντας την τιμή του α στον πίνακα, έχουμε:

Τώρα που γνωρίζουμε τον πίνακα, ας υπολογίσουμε τον καθοριστικό του παράγοντα:

Έτσι, το άθροισμα της κύριας διαγώνιας θα είναι ίσο με 5.

Εναλλακτική λύση: α) 5

Για να μάθετε περισσότερα, δείτε επίσης:

• Πίνακες
• Προσδιοριστικά
• Κανόνας του Σαρρού
• Το θεώρημα του Laplace
• Μεταφερόμενη μήτρα