Ο κανόνας των τριών είναι μια διαδικασία που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ποσότητες ανάλογες.
Επειδή έχει τεράστια δυνατότητα εφαρμογής, είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε πώς να λύσουμε προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτό το εργαλείο.
Επομένως, επωφεληθείτε από τις σχολιασμένες ασκήσεις και επιλύσατε ερωτήσεις διαγωνισμού για να ελέγξετε τις γνώσεις σας σχετικά με αυτό το θέμα.
Σχολίασε ασκήσεις
Ασκηση 1
Για να ταΐσει το σκυλί σας, ένα άτομο ξοδεύει 10 κιλά τροφής κάθε 15 ημέρες. Ποια είναι η συνολική ποσότητα τροφής που καταναλώνεται ανά εβδομάδα, δεδομένου ότι η ίδια ποσότητα τροφής προστίθεται πάντα ανά ημέρα;
Λύση
Πρέπει πάντα να ξεκινήσουμε αναγνωρίζοντας τα μεγέθη και τις σχέσεις τους. Είναι πολύ σημαντικό να προσδιορίσετε σωστά εάν οι ποσότητες είναι άμεσα ή αντίστροφα ανάλογες.
Σε αυτήν την άσκηση, η συνολική ποσότητα τροφής που καταναλώνεται και ο αριθμός των ημερών είναι άμεσα ανάλογες, καθώς όσο περισσότερες ημέρες, τόσο μεγαλύτερη είναι η συνολική ποσότητα που ξοδεύεται.
Για καλύτερη απεικόνιση της σχέσης μεταξύ των ποσοτήτων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε βέλη. Η κατεύθυνση του βέλους δείχνει την υψηλότερη τιμή κάθε μεγέθους.
Οι ποσότητες των οποίων τα ζεύγη βελών δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση είναι άμεσα ανάλογες και εκείνες που δείχνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις είναι αντίστροφα ανάλογες.
Ας λύσουμε στη συνέχεια την προτεινόμενη άσκηση, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Λύνοντας την εξίσωση, έχουμε:
Έτσι, η ποσότητα τροφής που καταναλώνεται ανά εβδομάδα είναι περίπου 4,7 κιλά.
Δείτε επίσης: Αναλογία και αναλογία
Άσκηση 2
Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 6 ώρες. Πόσο καιρό θα χρειαστεί να γεμίσει η ίδια δεξαμενή εάν χρησιμοποιούνται 4 βρύσες με τον ίδιο ρυθμό ροής με την προηγούμενη βρύση;
Λύση
Σε αυτό το πρόβλημα, οι σχετικές ποσότητες θα είναι ο αριθμός των βρύσεων και ο χρόνος. Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των βρύσεων, τόσο λιγότερος χρόνος χρειάζεται για την πλήρωση της δεξαμενής.
Επομένως, οι ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες. Σε αυτήν την περίπτωση, όταν γράφουμε την αναλογία, πρέπει να αντιστρέψουμε έναν από τους λόγους, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:
Επίλυση της εξίσωσης:
Έτσι, η δεξαμενή θα είναι πλήρως γεμάτη 1,5 ώρα.
Δείτε επίσης: Απλός και σύνθετος κανόνας τριών
Άσκηση 3
Σε μια εταιρεία, 50 εργαζόμενοι παράγουν 200 τεμάχια, εργάζονται 5 ώρες την ημέρα. Εάν ο αριθμός των εργαζομένων μειωθεί κατά το ήμισυ και ο αριθμός των ωρών εργασίας ανά ημέρα μειωθεί σε 8 ώρες, πόσα εξαρτήματα θα παραχθούν;
Λύση
Οι ποσότητες που αναφέρονται στο πρόβλημα είναι: αριθμός εργαζομένων, αριθμός ανταλλακτικών και ώρες εργασίας ανά ημέρα. Έχουμε λοιπόν έναν σύνθετο κανόνα τριών (περισσότερες από δύο ποσότητες).
Σε αυτόν τον τύπο υπολογισμού, είναι σημαντικό να αναλύσετε ξεχωριστά τι συμβαίνει στο άγνωστο (x), όταν αλλάζουμε την τιμή των άλλων δύο ποσοτήτων.
Κάνοντας αυτό, συνειδητοποιήσαμε ότι ο αριθμός των ανταλλακτικών θα είναι μικρότερος εάν μειώσουμε τον αριθμό των εργαζομένων, επομένως, αυτές οι ποσότητες είναι άμεσα ανάλογες.
Ο αριθμός των ανταλλακτικών αυξάνεται εάν αυξήσουμε τον αριθμό των ωρών εργασίας ανά ημέρα. Επομένως, είναι επίσης άμεσα αναλογικά.
Στο παρακάτω διάγραμμα, επισημαίνουμε αυτό το γεγονός μέσω των βελών, που δείχνουν την αυξανόμενη κατεύθυνση των τιμών.
Λύνοντας τον κανόνα των τριών, έχουμε:
Έτσι, θα παραχθεί 160 τεμάχια.
Δείτε επίσης: Τρεις σύνθετοι κανόνες
Επιλύθηκαν ζητήματα διαγωνισμού
1) Epcar - 2016
Δύο μηχανήματα Α και Β διαφορετικών μοντέλων, το καθένα διατηρώντας τη σταθερή ταχύτητα παραγωγής του, παράγουν n ίσα μέρη μαζί, λαμβάνοντας ταυτόχρονα 2 ώρες και 40 λεπτά. Το μηχάνημα A που λειτουργεί μόνο του, διατηρώντας την ταχύτητα του σταθερό, θα παράγει, σε 2 ώρες λειτουργίας, n / 2 από αυτά τα μέρη.
Είναι σωστό να πούμε ότι το μηχάνημα Β, διατηρώντας την ταχύτητα παραγωγής του σταθερό, θα παρήγαγε επίσης n / 2 από αυτά τα μέρη
α) 40 λεπτά.
β) 120 λεπτά.
γ) 160 λεπτά.
δ) 240 λεπτά.
Δεδομένου ότι ο συνολικός χρόνος παραγωγής είναι 2 ώρες και 40 λεπτά, και ήδη γνωρίζουμε ότι η μηχανή Α παράγεται σε 2 ώρες n / 2 τεμάχια, οπότε ας μάθουμε πόσο παράγει μόνο του στα υπόλοιπα 40 λεπτά Για αυτό, ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα των τριών.
Επίλυση του κανόνα των τριών:
Αυτή είναι η ποσότητα των ανταλλακτικών που παράγονται σε 40 λεπτά από τη μηχανή Α, οπότε σε 2 ώρες και 40 λεπτά από μόνο του παράγει:
Στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε την ποσότητα που παράγεται από τη μηχανή Β σε 2 ώρες και 40 λεπτά, αφαιρώντας την ποσότητα που παράγεται από τις δύο μηχανές (η) από την ποσότητα που παράγεται από τη μηχανή Α:
Τώρα είναι δυνατόν να υπολογιστεί πόσος χρόνος θα χρειαζόταν η μηχανή Β για την παραγωγή n / 2 τεμαχίων. Για αυτό, ας κάνουμε έναν κανόνα των τριών ξανά:
Λύνοντας τον κανόνα των τριών, έχουμε:
Έτσι, η μηχανή Β θα παράγει n / 2 τεμάχια σε 240 λεπτά.
Εναλλακτική d: 240 λεπτά
Δείτε επίσης: Μεγέθη άμεσα και αντιστρόφως ανάλογα
2) Cefet - MG - 2015
Σε μία εταιρεία, 10 εργαζόμενοι παράγουν 150 τεμάχια σε 30 εργάσιμες ημέρες. Ο αριθμός των εργαζομένων που η εταιρεία θα χρειαστεί να παράγει 200 τεμάχια, σε 20 εργάσιμες ημέρες, είναι ίσος με
α) 18
β) 20
γ) 22
δ) 24
Αυτό το πρόβλημα περιλαμβάνει έναν σύνθετο κανόνα τριών, καθώς έχουμε τρεις ποσότητες: αριθμός υπαλλήλων, αριθμός ανταλλακτικών και αριθμός ημερών.
Παρατηρώντας τα βέλη, αναγνωρίζουμε ότι ο αριθμός των μερών και ο αριθμός των υπαλλήλων είναι μεγέθη
ευθέως ανάλογο. Οι ημέρες και ο αριθμός των εργαζομένων είναι αντιστρόφως ανάλογες.
Για να λύσουμε τον κανόνα των τριών, πρέπει να αντιστρέψουμε τον αριθμό των ημερών.
Σύντομα, θα χρειαστούν 20 εργαζόμενοι.
Εναλλακτική β: 20
Δείτε επίσης: Τρεις ασκήσεις σύνθετων κανόνων
3) Enem - 2013
Μια βιομηχανία διαθέτει δεξαμενή νερού χωρητικότητας 900 m3. Όταν υπάρχει ανάγκη καθαρισμού της δεξαμενής, όλο το νερό πρέπει να αποστραγγιστεί. Η αποστράγγιση του νερού γίνεται με έξι αποχετεύσεις και διαρκεί 6 ώρες όταν η δεξαμενή είναι γεμάτη. Αυτή η βιομηχανία θα κατασκευάσει μια νέα δεξαμενή, χωρητικότητας 500 m3, των οποίων η αποστράγγιση νερού πρέπει να πραγματοποιείται σε 4 ώρες, όταν η δεξαμενή είναι γεμάτη. Οι αποχετεύσεις που χρησιμοποιούνται στη νέα δεξαμενή πρέπει να είναι πανομοιότυπες με τις υπάρχουσες.
Η ποσότητα αποχετεύσεων στη νέα δεξαμενή πρέπει να είναι ίση με
Α2
β) 4
γ) 5
δ) 8
ε) 9
Αυτή η ερώτηση είναι ένας κανόνας τριών ενώσεων, καθώς οι ποσότητες αφορούσαν τη χωρητικότητα της δεξαμενής, τον αριθμό των αποχετεύσεων και τον αριθμό των ημερών.
Από τη θέση των βελών, παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα και ο αριθμός των αποχετεύσεων είναι άμεσα ανάλογες. Ο αριθμός των ημερών και ο αριθμός των αποχετεύσεων είναι αντιστρόφως ανάλογοι, οπότε ας αντιστρέψουμε τον αριθμό των ημερών:
Έτσι, θα χρειαστούν 5 αποχετεύσεις.
Εναλλακτική γ: 5
4) UERJ - 2014
Σημειώστε στο γράφημα τον αριθμό των ενεργών ιατρών που έχουν εγγραφεί στο Ομοσπονδιακό Συμβούλιο Ιατρικής (CFM) και τον αριθμό αριθμός ιατρών που εργάζονται στο Ενιαίο Σύστημα Υγείας (SUS), για κάθε χίλιους κατοίκους, στις πέντε περιοχές της Βραζιλίας.
Το SUS προσφέρει 1,0 γιατρό για κάθε ομάδα x κατοίκων.
Στη Βόρεια περιοχή, η τιμή του x είναι περίπου ίση με:
α) 660
β) 1000
γ) 1334
δ) 1515
Για να επιλύσουμε το ζήτημα, θα εξετάσουμε τον αριθμό των ιατρών SUS και τον αριθμό των κατοίκων στη Βόρεια περιοχή. Επομένως, πρέπει να καταργήσουμε αυτές τις πληροφορίες από το γράφημα που παρουσιάζεται.
Κάνοντας τον κανόνα των τριών με τις αναφερόμενες τιμές, έχουμε:
Λύνοντας τον κανόνα των τριών, έχουμε:
Ως εκ τούτου, το SUS παρέχει περίπου 1 γιατρό για κάθε 1515 κατοίκους στη Βόρεια περιοχή.
Εναλλακτική d: 1515
Δείτε επίσης: Απλές ασκήσεις τριών κανόνων
5) Enem - 2017
Στις 5:15 μ.μ. αρχίζει μια δυνατή βροχή, που πέφτει με σταθερή ένταση. Μια πισίνα με τη μορφή ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, η οποία ήταν αρχικά άδεια, αρχίζει να συσσωρεύει βρόχινο νερό και, στις 6 μ.μ., η στάθμη του νερού στο εσωτερικό της φτάνει τα 20 εκατοστά σε ύψος. Εκείνη τη στιγμή, ανοίγει η βαλβίδα που απελευθερώνει τη ροή του νερού μέσω μιας αποχέτευσης που βρίσκεται στο κάτω μέρος αυτής της δεξαμενής, της οποίας η ροή είναι σταθερή. Στις 6:40 μ.μ., η βροχή σταματά και, την ίδια στιγμή, η στάθμη του νερού στην πισίνα έπεσε στα 15 cm.
Η στιγμή που το νερό σε αυτήν την πισίνα τελειώσει εντελώς είναι μεταξύ
α) 19 ώρες 30 λεπτά και 20 ώρες 10 λεπτά
β) 19 ώρες 20 λεπτά και 19 ώρες 30 λεπτά
γ) 19 ώρες 10 λεπτά και 19 ώρες 20 λεπτά
δ) 7 μ.μ. και 7 μ.μ. 10 λεπτά
ε) 18 ώρες 40 λεπτά και 19 ώρες
Οι πληροφορίες μας λένε ότι σε 45 λεπτά βροχής, το ύψος του νερού της πισίνας ανήλθε στα 20 cm. Μετά από αυτό το χρονικό διάστημα, η βαλβίδα αποστράγγισης άνοιξε, ωστόσο συνέχισε να βρέχει για 40 λεπτά.
Ας υπολογίσουμε τότε το ύψος του νερού που προστέθηκε στην πισίνα σε αυτό το χρονικό διάστημα, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο κανόνα των τριών:
Υπολογίζοντας αυτόν τον κανόνα των τριών, έχουμε:
Τώρα, ας υπολογίσουμε την ποσότητα νερού που αποστραγγίστηκε από το άνοιγμα της αποχέτευσης. Αυτό το ποσό θα είναι ίσο με το άθροισμα του νερού που προστέθηκε, μείον το ποσό που εξακολουθεί να υπάρχει στην πισίνα, δηλαδή:
Επομένως, 205/9 cm νερό έχει ρέει από το άνοιγμα της αποχέτευσης (40 λεπτά). Τώρα, ας υπολογίσουμε πόσο καιρό θα χρειαστεί για την αποστράγγιση του ποσού που απομένει στην πισίνα αφού σταματήσει να βρέχει.
Για αυτό, ας χρησιμοποιήσουμε έναν άλλο κανόνα τριών:
Υπολογίζοντας, έχουμε:
Έτσι, η πισίνα θα είναι άδεια σε περίπου 26 λεπτά. Προσθέτοντας αυτήν την τιμή τη στιγμή που τελειώνει η βροχή, θα αδειάσει περίπου στα 19: 6 λεπτά.
Εναλλακτική d: 7 μ.μ. και 7 μ.μ. 10 λεπτά
Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:
- Ποσοστό
- Ποσοστιαίες ασκήσεις
- Μαθηματικά στο Enem
- Ασκήσεις αναλογίας και αναλογίας
