Αριθμητικές ασκήσεις σετ

Εσείς αριθμητικά σύνολα περιλαμβάνουν τα ακόλουθα σύνολα: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) και Complexes (ℂ).

Επωφεληθείτε από τις ασκήσεις που σχολιάστηκαν για να επαληθεύσετε τις γνώσεις σας σε αυτό το σημαντικό θέμα των Μαθηματικών.

ερώτηση 1

Ποια πρόταση παρακάτω είναι αληθινή;

α) Κάθε ακέραιος αριθμός είναι λογικός και κάθε πραγματικός αριθμός είναι ακέραιος.
β) Η τομή του συνόλου των λογικών αριθμών με το σύνολο των παράλογων αριθμών έχει 1 στοιχείο.
γ) Ο αριθμός 1.83333... είναι ένας λογικός αριθμός.
δ) Η διαίρεση δύο ακέραιων αριθμών είναι πάντα ακέραιος αριθμός.

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: γ) Ο αριθμός 1.83333... είναι ένας λογικός αριθμός.

Ας δούμε καθεμία από τις δηλώσεις:

α) Λάθος. Στην πραγματικότητα κάθε ακέραιος αριθμός είναι λογικός, καθώς μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος. Για παράδειγμα, ο αριθμός -7, που είναι ακέραιος, μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα ως -7/1. Ωστόσο, δεν είναι κάθε πραγματικός αριθμός ακέραιος, για παράδειγμα το 1/2 δεν είναι ακέραιος.

β) Λάθος. Το σύνολο των λογικών αριθμών δεν έχει κοινό αριθμό με τους παράλογους αριθμούς, καθώς ένας πραγματικός αριθμός είναι είτε ορθολογικός είτε παράλογος. Επομένως, η διασταύρωση είναι ένα κενό σύνολο.

γ) Αλήθεια. Ο αριθμός 1.83333... είναι ένα περιοδικό δέκατο επειδή το ψηφίο 3 επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Αυτός ο αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα ως 11/6, οπότε είναι λογικός αριθμός.

δ) Λάθος. Για παράδειγμα, το 7 διαιρούμενο με το 3 είναι ίσο με 2,33333..., το οποίο είναι ένα περιοδικό δεκαδικό, οπότε δεν είναι ακέραιος.

Ερώτηση 2

Η τιμή της παρακάτω έκφρασης, όταν a = 6 και b = 9, είναι:

α) ένας περίεργος φυσικός αριθμός
β) έναν αριθμό που ανήκει στο σύνολο των παράλογων αριθμών
γ) δεν είναι πραγματικός αριθμός
δ) ακέραιος αριθμός του οποίου ο συντελεστής είναι μεγαλύτερος από 2

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: δ) ακέραιος αριθμός των οποίων το μέτρο είναι μεγαλύτερο από 2.

Αρχικά ας αντικαταστήσουμε τα γράμματα με τις υποδεικνυόμενες τιμές και να λύσουμε την έκφραση:

Σημειώστε ότι (-6)² είναι διαφορετικό από - 6², η πρώτη λειτουργία μπορεί να γίνει ως: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Χωρίς παρενθέσεις, μόνο το 6 είναι τετράγωνο, δηλαδή - 6² = - (6.6) = -36.

Συνεχίζοντας το ψήφισμα, έχουμε:

Σημειώστε ότι επειδή ο δείκτης της ρίζας είναι ένας μονός αριθμός (κυβική ρίζα), υπάρχει μια αρνητική ρίζα αριθμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Εάν ο ριζικός δείκτης ήταν ένας ζυγός αριθμός, το αποτέλεσμα θα ήταν ένας πολύπλοκος αριθμός.

Τώρα, ας αναλύσουμε καθεμία από τις επιλογές που παρουσιάζονται:

Η επιλογή ο είναι λάθος επειδή η απάντηση είναι ένας αρνητικός αριθμός που δεν είναι μέρος του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Ο αριθμός - 3 δεν είναι ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό, επομένως, δεν είναι παράλογο, εξ ου και το γράμμα σι ούτε η σωστή λύση.

Το γράμμα ντο είναι επίσης λάθος, καθώς ο αριθμός - 3 είναι ένας αριθμός που ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Η σωστή επιλογή μπορεί να είναι μόνο το γράμμα ρε και στην πραγματικότητα το αποτέλεσμα της έκφρασης είναι ακέραιος και το modulo του -3 είναι 3 που είναι μεγαλύτερο από 2.

ερώτηση 3

Στα σύνολα (Α και Β) στον παρακάτω πίνακα, ποια εναλλακτική λύση αντιπροσωπεύει μια σχέση ένταξης;

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: α)

Το εναλλακτικό "a" είναι το μόνο στο οποίο ένα σετ περιλαμβάνεται σε ένα άλλο. Το σετ Α περιλαμβάνει το σετ Β ή το σετ Β περιλαμβάνεται στο A.

Ποιες δηλώσεις είναι σωστές;

I - A C B
II - B Γ Α
III - Α Β
IV - Β Ɔ Α

α) I και II.
β) I και III.
γ) I και IV.
δ) II και III.
ε) II και IV

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: δ) II και III.

I - Λάθος - Το A δεν περιέχεται στο B (Α Ȼ Β).
II - Σωστό - Το Β περιέχεται στο Α (Β Γ Α).
III - Σωστό - Το Α περιέχει Β (Β Ɔ Α).
IV - Λάθος - Το Β δεν περιέχει Α (Β ⊅ Α).

ερώτηση 4

Έχουμε το σετ A = {1, 2, 4, 8 και 16} και το σετ B = {2, 4, 6, 8 και 10}. Σύμφωνα με τις εναλλακτικές λύσεις, πού βρίσκονται τα στοιχεία 2, 4 και 8;

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: γ).

Τα στοιχεία 2, 4 και 8 είναι κοινά και στα δύο σύνολα. Επομένως, βρίσκονται στο υποσύνολο A ∩ B (διασταύρωση A με B).

ερώτηση 5

Δεδομένα σύνολα A, B και C, ποια εικόνα αντιπροσωπεύει A U (B ∩ C);

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: δ)

Η μόνη εναλλακτική λύση που ικανοποιεί την αρχική κατάσταση του B ∩ C (λόγω παρενθέσεων) και, αργότερα, η ένωση με τον A.

ερώτηση 6

Πραγματοποιήθηκε έρευνα για να μάθετε σχετικά με τις αγοραστικές συνήθειες των καταναλωτών σε σχέση με τρία προϊόντα. Η έρευνα απέκτησε τα ακόλουθα αποτελέσματα:

• 40% αγορά προϊόντος Α.
• 25% αγοράστε το προϊόν Β.
• 33% αγορά προϊόντος Γ.
• 20% αγοράζουν προϊόντα Α και Β.
• 5% αγοράζουν προϊόντα B και C.
• 19% αγοράζουν προϊόντα Α και Γ.
• 2% αγοράστε και τα τρία προϊόντα.

Με βάση αυτά τα αποτελέσματα, απαντήστε:

α) Ποιο ποσοστό των ερωτηθέντων δεν αγοράζουν κανένα από αυτά τα προϊόντα;
β) Ποιο ποσοστό των ερωτηθέντων αγοράζουν τα προϊόντα Α και Β και δεν αγοράζουν το προϊόν Γ;
γ) Ποιο ποσοστό των ερωτηθέντων αγοράζουν τουλάχιστον ένα από τα προϊόντα;

Δείτε την απάντηση

Απαντήσεις:
α) 44% των ερωτηθέντων δεν καταναλώνουν κανένα από τα τρία προϊόντα.
β) Το 18% των ατόμων που καταναλώνουν και τα δύο προϊόντα (Α και Β) δεν καταναλώνουν το προϊόν Γ.
γ) 56% των ερωτηθέντων καταναλώνουν τουλάχιστον ένα από τα προϊόντα.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα για να απεικονίσουμε καλύτερα την κατάσταση.

Πρέπει πάντα να ξεκινήσουμε στη διασταύρωση των τριών σετ. Στη συνέχεια, θα συμπεριλάβουμε την αξία της τομής δύο συνόλων και τέλος το ποσοστό των ατόμων που αγοράζουν μόνο μία μάρκα προϊόντος.

Παρατηρείται ότι το ποσοστό των ατόμων που καταναλώνουν δύο προϊόντα περιλαμβάνει επίσης το ποσοστό των ατόμων που καταναλώνουν τα τρία προϊόντα.

Επομένως, στο διάγραμμα δείχνουμε το ποσοστό αυτών που καταναλώνουν μόνο δύο προϊόντα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αφαιρέσουμε το ποσοστό αυτών που καταναλώνουν τα τρία προϊόντα από εκείνους που καταναλώνουν δύο.

Για παράδειγμα, το υποδεικνυόμενο ποσοστό που καταναλώνει το προϊόν Α και το προϊόν Β είναι 20%, ωστόσο αυτή η τιμή περιλαμβάνει το 2% που σχετίζεται με το ποιος καταναλώνει τα τρία προϊόντα.

Αφαιρώντας αυτές τις τιμές, δηλαδή 20% - 2% = 18%, βρίσκουμε το ποσοστό των καταναλωτών που αγοράζουν προϊόντα Α και Β μόνο.

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους υπολογισμούς, το διάγραμμα για την κατάσταση που περιγράφεται θα είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Με βάση αυτό το διάγραμμα, μπορούμε τώρα να απαντήσουμε στις προτεινόμενες ερωτήσεις.

Ο) Το ποσοστό εκείνων που δεν αγοράζουν κανένα προϊόν είναι ίσο με το σύνολο, δηλαδή 100% εκτός από το ότι καταναλώνουν οποιοδήποτε προϊόν. Πρέπει λοιπόν να κάνουμε τον ακόλουθο υπολογισμό:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Σύντομα, Το 44% των ερωτηθέντων δεν καταναλώνουν κανένα από τα τρία προϊόντα.

ΣΙ) Το ποσοστό των καταναλωτών που αγοράζουν τα προϊόντα Α και Β και δεν αγοράζουν το προϊόν Γ βρίσκεται με αφαίρεση:

20 - 2 = 18%

Ως εκ τούτου, Το 18% των ατόμων που καταναλώνουν και τα δύο προϊόντα (Α και Β) δεν καταναλώνουν το προϊόν Γ.

ντο) Για να βρείτε το ποσοστό των ατόμων που καταναλώνουν τουλάχιστον ένα από τα προϊόντα, απλώς προσθέστε όλες τις τιμές στο διάγραμμα. Έχουμε λοιπόν:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Ετσι, Το 56% των ερωτηθέντων καταναλώνουν τουλάχιστον ένα από τα προϊόντα.

ερώτηση 7

(Enem / 2004) Ένας κατασκευαστής καλλυντικών αποφασίζει να παράγει τρεις διαφορετικούς καταλόγους των προϊόντων του, στοχεύοντας διαφορετικά είδη κοινού. Καθώς ορισμένα προϊόντα θα υπάρχουν σε περισσότερους από έναν καταλόγους και καταλαμβάνουν ολόκληρη τη σελίδα, αποφασίζει να κάνει μια μέτρηση για να μειώσει τα έξοδα με πρωτότυπα εκτύπωσης. Οι κατάλογοι C1, C2 και C3 θα έχουν, αντίστοιχα, 50, 45 και 40 σελίδες. Συγκρίνοντας τα σχέδια από κάθε κατάλογο, διαπιστώνει ότι οι C1 και C2 θα έχουν 10 κοινές σελίδες. Οι C1 και C3 θα έχουν 6 κοινές σελίδες. Οι C2 και C3 θα έχουν 5 κοινές σελίδες, εκ των οποίων οι 4 θα είναι επίσης C1. Εκτελώντας τους αντίστοιχους υπολογισμούς, ο κατασκευαστής κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, για τη συναρμολόγηση των τριών καταλόγων, θα χρειαστεί συνολικά πρωτότυπα εκτύπωσης ίσο με:

α) 135
β) 126
γ) 118
δ) 114
ε) 110

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 118

Μπορούμε να λύσουμε αυτήν την ερώτηση κατασκευάζοντας ένα διάγραμμα. Για αυτό, ας ξεκινήσουμε με τις σελίδες που είναι κοινές στους τρεις καταλόγους, δηλαδή 4 σελίδες.

Από εκεί, θα δείξουμε τις τιμές, αφαιρώντας αυτές που έχουν ήδη ληφθεί υπόψη. Έτσι, το διάγραμμα θα είναι όπως υποδεικνύεται παρακάτω:

Οι τιμές βρέθηκαν κάνοντας τους ακόλουθους υπολογισμούς:

• Διασταύρωση C1, C2 και C3: 4
• Διατομή C2, C3: 5 - 4 = 1
• Διασταύρωση C1 και C3: 6 - 4 = 2
• Διασταύρωση C1 και C2: 10 - 4 = 6
• Μόνο C1: 50 - 12 = 38
• Μόνο C2: 45 - 11 = 34
• Μόνο C3: 40 - 7 = 33

Για να βρείτε τον αριθμό των σελίδων, απλώς προσθέστε όλες αυτές τις τιμές, δηλαδή:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

ερώτηση 8

(Enem / 2017) Σε αυτό το μοντέλο θερμομέτρου, τα φιλέτα καταγράφουν τις ελάχιστες και μέγιστες θερμοκρασίες της προηγούμενης ημέρας και τα γκρίζα φιλέτα καταγράφουν την τρέχουσα θερμοκρασία περιβάλλοντος, δηλαδή, τη στιγμή της ανάγνωσης του θερμόμετρο.

Έχει δύο στήλες. Στα αριστερά, οι αριθμοί είναι σε αύξουσα σειρά, από πάνω προς τα κάτω, από -30 ° C έως 50 ° C. Στη στήλη στα δεξιά, οι αριθμοί ταξινομούνται σε αύξουσα σειρά, από κάτω προς τα πάνω, από -30 ° C έως 50 ° C.

Η ανάγνωση γίνεται ως εξής:

• η ελάχιστη θερμοκρασία υποδεικνύεται από το χαμηλότερο επίπεδο του μαύρου φιλέτου στην αριστερή στήλη.
• η μέγιστη θερμοκρασία υποδεικνύεται από το χαμηλότερο επίπεδο του μαύρου φιλέτου στη δεξιά στήλη.
• Η τρέχουσα θερμοκρασία υποδεικνύεται από το ανώτερο επίπεδο στα γκρίζα φιλέτα στις δύο στήλες.

Ποια είναι η πλησιέστερη μέγιστη θερμοκρασία που καταγράφεται σε αυτό το θερμόμετρο;

α) 5 ° C
β) 7 ° C
γ) 13 ° C
δ) 15 ° C
ε) 19 ° C

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: ε) 19 ° C

Για να επιλύσετε το πρόβλημα, απλώς διαβάστε την κλίμακα στη δεξιά στήλη του μαύρου φιλέτου, η οποία αντιπροσωπεύει τη μέγιστη εγγραφή θερμοκρασίας.

ερώτηση 9

(Enem / 2017) Το αποτέλεσμα μιας εκλογικής έρευνας, σχετικά με την προτίμηση των ψηφοφόρων σε σχέση με δύο υποψηφίους, παρουσιάστηκε με το γράφημα 1.

Όταν δημοσιεύτηκε αυτό το αποτέλεσμα σε εφημερίδα, το γράφημα 1 κόπηκε κατά τη διάρκεια της διάταξης, όπως φαίνεται στο γράφημα 2.

Αν και οι τιμές που παρουσιάζονται είναι σωστές και το πλάτος των στηλών είναι το ίδιο, πολλοί αναγνώστες επέκρινε τη μορφή του γραφήματος 2 που δημοσιεύθηκε στην εφημερίδα, υποστηρίζοντας ότι υπήρχε οπτική ζημιά στον υποψήφιο ΣΙ. Η διαφορά μεταξύ των λόγων ύψους της στήλης Β προς τη στήλη Α στα γραφήματα 1 και 2 είναι:

α) 0
β) 1/2
γ) 1/5
δ) 2/15
ε) 8/35

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: ε) 8/35

Για να επιλύσουμε το πρόβλημα, πρέπει πρώτα να βρούμε την αναλογία του ύψους της στήλης Β προς τη στήλη Α στα δύο γραφήματα. Αυτές οι αναλογίες εντοπίζονται μετρώντας πόσα τμήματα υπάρχουν σε κάθε στήλη.

Σημειώστε ότι στο γράφημα 1, η στήλη Α χωρίζεται σε 7 ίσα "κομμάτια", ενώ η στήλη Β σε 3. Στο γράφημα 2, η στήλη Α χωρίζεται σε 5 ίσα "κομμάτια" και η στήλη Β σε μόνο 1.

Επομένως, τα κλάσματα που αντιπροσωπεύουν τις αναλογίες του ύψους της στήλης Β προς τη στήλη Α μπορούν να υποδεικνύονται με

Τώρα απλώς λύστε την αφαίρεση μεταξύ αυτών των δύο κλασμάτων, οπότε έχουμε:

ερώτηση 10

(Enem / 2018) Για να δημιουργήσει ένα λογότυπο, ένας επαγγελματίας στον τομέα της γραφιστικής θέλει να το φτιάξει χρησιμοποιώντας το σύνολο των επιπέδων σημείων σε σχήμα τριγώνου, ακριβώς όπως φαίνεται στην εικόνα.

Για να δημιουργήσετε μια τέτοια εικόνα χρησιμοποιώντας ένα εργαλείο γραφικών, θα είναι απαραίτητο να γράψετε αλγεβρικά το σετ που αντιπροσωπεύει τα σημεία αυτού του γραφικού.

Αυτό το σετ δίνεται από τα ταξινομημένα ζεύγη (x; γ) ℕ Χ ℕ, έτσι
α) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
β) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
γ) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
δ) 0 ≤ x + ε ≤ 10
ε) 0 ≤ x + y ≤ 20

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Σημειώστε ότι ο αριθμός που εκφράζεται στην ερώτηση, τόσο στον άξονα y και x, περιλαμβάνει τους φυσικούς αριθμούς (ℕ Χ ℕ) μεταξύ 0 και 10. Πρεπει να: 0 ≤ ε ≤ 10 και 0 ≤ x ≤ 10.

Έτσι: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) και x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Ωστόσο, το σχήμα που απεικονίζεται είναι ένα τρίγωνο. Για να ικανοποιηθεί αυτή η προϋπόθεση, σε παραγγελίες ζευγάρια το y δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το x.

Σημειώστε ότι οι τιμές του y περιορίζονται από την ισότητα με τις τιμές του x, σχηματίζοντας την υπόταση αυτού του δεξιού τριγώνου: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4, 4), (5, 5)... (10, 10).

Έτσι, πρέπει: y ≤ x.

Σύντομα, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:

• Αριθμητικά σύνολα
• πραγματικοί αριθμοί
• Ακέραιοι
• Ρητοί αριθμοί
• παράλογοι αριθμοί
• Φυσικοί αριθμοί
• Σύνθετοι αριθμοί
• Ασκήσεις σε σύνολα
• Ασκήσεις σε σύνθετους αριθμούς