PA και PG: σύνοψη, τύποι και ασκήσεις

Ο αριθμητική εξέλιξη - PA είναι μια ακολουθία τιμών που έχει μια σταθερή διαφορά μεταξύ διαδοχικών αριθμών.

Ο γεωμετρική εξέλιξη - PG παρουσιάζει αριθμούς με το ίδιο πηλίκο διαιρώντας δύο διαδοχικούς όρους.

Ενώ στην αριθμητική εξέλιξη οι όροι λαμβάνονται με την προσθήκη της κοινής διαφοράς στον προκάτοχο, τους όρους του α οι γεωμετρικές εξελίξεις εντοπίζονται πολλαπλασιάζοντας την αναλογία με τον τελευταίο αριθμό στην ακολουθία, αποκτώντας έτσι τον όρο διάδοχος.

Ακολουθεί μια σύνοψη των δύο τύπων προόδου.

Αριθμητική Πρόοδος (AP)

Μια αριθμητική εξέλιξη είναι μια ακολουθία που σχηματίζεται από όρους που διαφέρουν μεταξύ τους από μια σταθερή τιμή, η οποία ονομάζεται λόγος, υπολογιζόμενη από:

Οπου,

ρ είναι ο λόγος για την BP?
ο₂ είναι ο δεύτερος όρος ·
ο₁ είναι ο πρώτος όρος.

Επομένως, οι όροι μιας αριθμητικής εξέλιξης μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Σημειώστε ότι σε ένα PA του όχι ορίζει τον τύπο του γενικού όρου (το_όχι) της ακολουθίας είναι:

ο_όχι = το₁ + (n - 1) r

Ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις είναι: ένα 3-όρο AP αντιπροσωπεύεται από (x - r, x, x + r) και ένα 5-όρο AP έχει τα συστατικά του που αντιπροσωπεύονται από (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Τύποι PA

Σύμφωνα με την αναλογία, οι αριθμητικές εξελίξεις ταξινομούνται σε 3 τύπους:

1. Συνεχής: όταν ο λόγος είναι ίσος με μηδέν και οι όροι BP είναι ίσοι.

Παράδειγμα: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), όπου r = 0

2. Μεγαλώνει: όταν ο λόγος είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και ένας όρος από το δεύτερο είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), όπου r = 2

3. φθίνων: όταν ο λόγος είναι μικρότερος από το μηδέν και ένας όρος από το δεύτερο είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), όπου r = - 2

Οι αριθμητικές εξελίξεις μπορούν ακόμη να ταξινομηθούν σε πεπερασμένος, όταν έχουν έναν ορισμένο αριθμό όρων, και άπειρος, δηλαδή, με άπειρους όρους.

Άθροισμα των όρων ενός PA

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής εξέλιξης υπολογίζεται με τον τύπο:

Οπου, όχι είναι ο αριθμός των όρων στην ακολουθία, ο₁ είναι ο πρώτος όρος και ο_όχι είναι ο ένατος όρος. Ο τύπος είναι χρήσιμος για την επίλυση ερωτήσεων όπου δίνεται ο πρώτος και τελευταίος όρος.

Όταν ένα πρόβλημα έχει τον πρώτο όρο και τον λόγο BP, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

Αυτοί οι δύο τύποι χρησιμοποιούνται για να προσθέσουν τους όρους ενός πεπερασμένου BP.

Μέσος όρος της ΠΑ

Για τον προσδιορισμό του μέσου ή κεντρικού όρου μιας BP με έναν περίεργο αριθμό όρων υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο με τον πρώτο και τον τελευταίο όρο (a₁ και το_όχι):

Ο μέσος όρος μεταξύ τριών διαδοχικών αριθμών ενός PA αντιστοιχεί στον αριθμητικό μέσο όρο του προκατόχου και του διαδόχου.

Επιλυμένο παράδειγμα

Δεδομένου του PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) καθορίστε την αναλογία, τον μέσο όρο και το άθροισμα των όρων.

1. Λόγος PA

2. μεσοπρόθεσμος

3. άθροισμα όρων

Μάθε περισσότερα για αριθμητική εξέλιξη.

Γεωμετρική πρόοδος (PG)

Μια γεωμετρική πρόοδος σχηματίζεται όταν μια ακολουθία έχει πολλαπλασιαστικό παράγοντα που προκύπτει από τη διαίρεση δύο διαδοχικών όρων, που ονομάζεται κοινή αναλογία, η οποία υπολογίζεται από:

Οπου,

τι είναι ο λόγος για την PG?
ο₂ είναι ο δεύτερος όρος ·
ο₁ είναι ο πρώτος όρος.

Μια γεωμετρική πρόοδος του όχι οι όροι μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:

Να εισαι ο₁ ο πρώτος όρος, ο γενικός όρος της PG υπολογίζεται από ο₁.q^(όχι-1).

Τύποι PG

Σύμφωνα με την τιμή του λόγου (q), μπορούμε να ταξινομήσουμε τις Γεωμετρικές Προόδους σε 4 τύπους:

1. Μεγαλώνει: ο λόγος είναι πάντα θετικός (q> 0) και οι όροι αυξάνονται.

Παράδειγμα: PG: (3, 9, 27, 81, ...), όπου q = 3.

2. φθίνων: ο λόγος είναι πάντα θετικός (q> 0), μη μηδέν (0) και οι όροι μειώνονται.

Παράδειγμα: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), όπου q = 3

3. ταλαντώνονται: ο λόγος είναι αρνητικός (q

Παράδειγμα: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96,…), όπου q = - 2

4. Συνεχής: ο λόγος είναι πάντα ίσος με 1 και οι όροι έχουν την ίδια τιμή.

Παράδειγμα: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), όπου q = 1

Άθροισμα όρων ενός PG

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής εξέλιξης υπολογίζεται με τον τύπο:

Να εισαι ο₁ ο πρώτος όρος, τι ο κοινός λόγος και όχι ο αριθμός των όρων.

Εάν ο λόγος PG είναι μικρότερος από 1, τότε θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο για να προσδιορίσουμε το άθροισμα των όρων.

Αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται για ένα πεπερασμένο PG. Εάν το απαιτούμενο άθροισμα είναι ένα άπειρο PG, ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι:

Μέσος όρος PG

Για τον προσδιορισμό του μέσου ή κεντρικού όρου ενός PG με περίεργο αριθμό όρων υπολογίζουμε τον γεωμετρικό μέσο όρο με τον πρώτο και τον τελευταίο όρο (a₁ και το_όχι):

Επιλυμένο παράδειγμα

Δεδομένου PG (1, 3, 9, 27 και 81) καθορίστε την αναλογία, τον μέσο όρο και το άθροισμα των όρων.

1. Λόγος PG

2. μεσοπρόθεσμος

3. άθροισμα όρων

Μάθε περισσότερα για γεωμετρική εξέλιξη.

Περίληψη των τύπων PA και PG

αριθμητική εξέλιξη	Γεωμετρική εξέλιξη
Λόγος
γενικός όρος
μεσοπρόθεσμος
πεπερασμένο ποσό
άπειρο άθροισμα

Μάθε περισσότερα για ακολουθίες αριθμών.

Ασκήσεις σε PA και PG

ερώτηση 1

Ποιος είναι ο 16ος όρος της ακολουθίας που ξεκινά με τον αριθμό 3 και έχει αναλογία BP ίση με 4;

α) 36
β) 52
γ) 44
δ) 63

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: δ) 63.

Δεδομένου ότι η αναλογία ενός PA είναι σταθερή, μπορούμε να βρούμε τον δεύτερο όρο στην ακολουθία προσθέτοντας την αναλογία στον πρώτο αριθμό.

ο₂ = το₁ + r

ο₂ = 3 + 4

ο₂ = 7

Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι αυτή η ακολουθία σχηματίζεται από (3, 7, 11, 15, 19, 23,…)

Ο 16ος όρος μπορεί να υπολογιστεί με τον γενικό τύπο.

ο_όχι = το₁ + (n - 1). ρ

ο₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

ο₁₆ = 3 + 15.4

ο₁₆ = 3 + 60

ο₁₆ = 63

Επομένως, η απάντηση στην ερώτηση είναι 63.

Ερώτηση 2

Ποια είναι η αναλογία ενός εξαμήνου AP του οποίου το άθροισμα των τριών πρώτων αριθμών στην ακολουθία ισούται με 12 και τα δύο τελευταία ισούται με –34;

α) 7
β) - 6
γ) - 5
δ) 5

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: b) - 6.

Ο γενικός τύπος για τους όρους μιας αριθμητικής εξέλιξης είναι₁, (ένα₁ + r), (α₁ +2r),..., {α₁ + (n-1) r}. Επομένως, το άθροισμα των τριών πρώτων όρων μπορεί να γραφτεί ως εξής:

ο₁ + (το₁ + r) + (α₁ + 2r) = 12
3ος₁ + 3r = 12
3ος₁ = 12 - 3r
ο₁ = (12 - 3r) / 3
ο₁ = 4 - r

Και το άθροισμα των δύο τελευταίων όρων είναι:

(Ο₁ +4r) + (α₁ + 5r) = - 34
2ος₁ + 9r = - 34

Τώρα αντικαθιστούμε το₁ από 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Επομένως, ο λόγος PG είναι - 6.

ερώτηση 3

Εάν ο τρίτος όρος ενός GP είναι 28 και ο τέταρτος όρος είναι 56, ποιοι είναι οι πρώτοι 5 όροι αυτής της γεωμετρικής προόδου;

α) 6, 12, 28, 56, 104
β) 7, 18, 28, 56, 92
γ) 5, 9, 28, 56, 119
δ) 7, 14, 28, 56, 112

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική λύση: d) 7, 14, 28, 56, 112

Πρώτον, πρέπει να υπολογίσουμε την αναλογία αυτού του PG. Για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

ο₄ = το₃. τι
56 = 28. τι
56/28 = q
q = 2

Τώρα υπολογίζουμε τους πρώτους 5 όρους. Θα ξεκινήσουμε με το₁ χρησιμοποιώντας τον τύπο του γενικού όρου.

ο_όχι = το₁. τι^(ν-1)
ο₃ = το₁ . τι^(3-1)
28 = το₁. 2²
ο₁ = 28/ 4 = 7

Οι υπόλοιποι όροι μπορούν να υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο όρο με τον λόγο.

ο₂ = το₁.q
ο₂ = 7. 2
ο₂ = 14

ο₅ = το₄. τι
ο₅ = 56. 2
ο₅ = 112

Επομένως, οι πρώτοι 5 όροι της PG είναι:

1η περίοδος: 7
2η θητεία: 14
3η περίοδος: 28
4η θητεία: 56
5η θητεία: 112

Δείτε επίσης άλλες ασκήσεις για να συνεχίσετε να εξασκείτε

• Ασκήσεις αριθμητικής προόδου
• Ασκήσεις γεωμετρικής προόδου