Τα πολυώνυμα είναι αλγεβρικές εκφράσεις που σχηματίζονται από αριθμούς (συντελεστές) και γράμματα (κυριολεκτικά μέρη). Τα γράμματα ενός πολυωνύμου αντιπροσωπεύουν τις άγνωστες τιμές της έκφρασης.
Παραδείγματα
α) 3ab + 5
β) x3 + 4ξυ - 2χ2ε3
γ) 25x2 - 9ε2
Μονομίου, Διωνυμίου και Τρινωμίου
Τα πολυώνυμα αποτελούνται από όρους. Η μόνη λειτουργία μεταξύ των στοιχείων ενός όρου είναι ο πολλαπλασιασμός.
Όταν ένα πολυώνυμο έχει μόνο έναν όρο, ονομάζεται a μονώνυμος.
Παραδείγματα
α) 3x
β) 5bc
γ) x2ε3ζ4
τις κλήσεις διωνύμια είναι πολυώνυμα που έχουν μόνο δύο monomial (δύο όροι), που διαχωρίζονται με λειτουργία προσθήκης ή αφαίρεσης.
Παραδείγματα
α) έως2 - Β2
β) 3x + ε
γ) 5ab + 3cd2
ήδη το τρινωμικά είναι πολυώνυμα που έχουν τρία monomial (τρεις όροι), διαχωρισμένα με λειτουργίες προσθήκης ή αφαίρεσης.
Παράδειγμαμικρό
α) x2 + 3x + 7
β) 3ab - 4xy - 10y
εκ3n + μ2 + ν4
Βαθμός πολυωνύμων
Ο βαθμός ενός πολυωνύμου δίνεται από τους εκθέτες του κυριολεκτικού μέρους.
Για να βρούμε τον βαθμό ενός πολυωνύμου πρέπει να προσθέσουμε τους εκθέτες των γραμμάτων που απαρτίζουν κάθε όρο. Το μεγαλύτερο ποσό θα είναι ο βαθμός του πολυωνύμου.
Παραδείγματα
α) 2x3 + ε
Ο εκθέτης του πρώτου όρου είναι 3 και ο δεύτερος όρος είναι 1. Δεδομένου ότι το μεγαλύτερο είναι 3, ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 3.
β) 4x2y + 8χ3ε3 - xy4
Ας προσθέσουμε τους εκθέτες κάθε όρου:
4χ2y => 2 + 1 = 3
8χ3ε3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Δεδομένου ότι το μεγαλύτερο άθροισμα είναι 6, ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 6
Σημείωση: το μηδέν πολυώνυμο είναι εκείνο που έχει όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν. Όταν συμβεί αυτό, ο βαθμός του πολυωνύμου δεν καθορίζεται.
Λειτουργίες με πολυώνυμα
Δείτε παρακάτω παραδείγματα λειτουργιών μεταξύ πολυωνύμων:
Προσθήκη πολυώνυμων
Κάνουμε αυτήν τη λειτουργία προσθέτοντας τους συντελεστές παρόμοιων όρων (ίδιο κυριολεκτικό μέρος).
(-7χ3 + 5χ2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7χ3 + 5χ2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7χ3 + 3x2y + 7xy - 3y
Πολυωνυμική αφαίρεση
Το σύμβολο μείον μπροστά στις παρενθέσεις αντιστρέφει τα σημάδια εντός των παρενθέσεων. Αφού αφαιρέσουμε τις παρενθέσεις, πρέπει να προσθέσουμε παρόμοιους όρους.
(4χ2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4χ2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4χ2 - 8xk + 14k
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων
Σε πολλαπλασιασμό πρέπει να πολλαπλασιάζουμε τον όρο με τον όρο. Στον πολλαπλασιασμό ίσων γραμμάτων, οι εκθέτες επαναλαμβάνονται και προστίθενται.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6χ3 + 3x2 + 10χ2 - 5x - 16x + 8
-6χ3 + 13χ2 - 21x +8
Τομέας πολυωνύμων
Σημείωση: Στην πολυωνυμική διαίρεση χρησιμοποιούμε τη βασική μέθοδο. Πρώτα εκτελούμε τη διαίρεση μεταξύ των αριθμητικών συντελεστών και μετά τη διαίρεση των εξουσιών της ίδιας βάσης. Για να το κάνετε αυτό, κρατήστε τη βάση και αφαιρέστε τους εκθέτες.
Πολυωνυμικό Factoring
Για την εκτέλεση του παραγοντοποίηση των πολυωνύμων έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
Κοινός παράγοντας αποδεικτικών στοιχείων
ax + bx = x (a + b)
Παράδειγμα
4x + 20 = 4 (x + 5)
ομαδοποίηση
ax + bx + ay + από = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (α + β)
Παράδειγμα
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + ε)
Perfect Square Trinomial (Προσθήκη)
ο2 + 2αμπ + β2 = (α + β)2
Παράδειγμα
Χ2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Perfect Square Trinomial (Διαφορά)
ο2 - 2ab + b2 = (α - β)2
Παράδειγμα
Χ2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Διαφορά δύο τετραγώνων
(α + β). (α - β) = α2 - Β2
Παράδειγμα
Χ2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Perfect Cube (Προσθήκη)
ο3 + 3ος2b + 3ab2 + β3 = (α + β)3
Παράδειγμα
Χ3 + 6χ2 + 12x + 8 = x3 + 3. Χ2. 2 + 3. Χ. 22 + 23 = (x + 2)3
Perfect Cube (Διαφορά)
ο3 - 3ος2b + 3ab2 - Β3 = (α - β)3
Παράδειγμα
ε3 - 9ε2 + 27y - 27 = ε3 - 3. ε2. 3 + 3. γ. 32 - 33 = (y - 3)3
Διαβάστε επίσης:
- Αξιοσημείωτα προϊόντα
- Αξιοσημείωτα προϊόντα - Ασκήσεις
- Πολυωνυμική λειτουργία
Λύσεις ασκήσεις
1) Ταξινομήστε τα ακόλουθα πολυώνυμα σε monomials, binomials και trinomials:
α) 3abcd2
β) 3α + bc - δ2
γ) 3ab - cd2
α) μονόμιο
β) τριανομικό
γ) διωνυμικός
2) Αναφέρετε τον βαθμό πολυωνύμων:
α) xy3 + 8xy + x2ε
β) 2x4 + 3
c) ab + 2b + α
δ) zk7 - 10z2κ3β6 + 2χ
α) βαθμός 4
β) βαθμός 4
γ) βαθμός 2
δ) βαθμός 11
3) Ποια είναι η περιμετρική τιμή του παρακάτω σχήματος:
Η περίμετρος του σχήματος βρίσκεται με την προσθήκη όλων των πλευρών.
2χ3 + 4 + 2χ3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8χ3 + 12
4) Βρείτε την περιοχή του σχήματος:
Η περιοχή του ορθογωνίου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Παράγοντας τα πολυώνυμα
α) 8ab + 2α2β - 4β2
β) 25 + 10y + y2
γ) 9 - κ2
α) Καθώς υπάρχουν συνηθισμένοι παράγοντες, αποδείξτε τους παράγοντες αυτούς: 2ab (4 + a - 2b)
β) Τέλειο τετράγωνο trinomial: (5 + y)2
γ) Διαφορά δύο τετραγώνων: (3 + k). (3 - k)
Δείτε επίσης: Αλγεβρικές εκφράσεις και Ασκήσεις σε αλγεβρικές εκφράσεις
