Ομοιότητα των τριγώνων: Σχολιασμένες και επιλυμένες ασκήσεις

protection click fraud

Ο τριγωνικό σχήμα χρησιμοποιείται για την εύρεση του άγνωστου μέτρου ενός τριγώνου γνωρίζοντας τα μέτρα ενός άλλου τριγώνου.

Όταν δύο τρίγωνα είναι παρόμοια, οι μετρήσεις των αντίστοιχων πλευρών τους είναι ανάλογες. Αυτή η σχέση χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλημάτων γεωμετρίας.

Λοιπόν, επωφεληθείτε από τις ασκήσεις που σχολιάστηκαν και επιλύθηκαν για να ξεκαθαρίσετε όλες τις αμφιβολίες σας.

Τα προβλήματα επιλύθηκαν

1) Μαθητευόμενος Sailor's - 2017

Δείτε το παρακάτω σχήμα

Sailor Μαθητευόμενος Ερώτηση 2017 ομοιότητα των τριγώνων

Ένα κτίριο ρίχνει σκιά μήκους 30 μέτρων στο έδαφος την ίδια στιγμή που ένα άτομο ύψους 6 μέτρων ρίχνει σκιά 2,0 μέτρων. Μπορούμε να πούμε ότι αξίζει το ύψος του κτιρίου

α) 27 μ
β) 30 μ
γ) 33 μ
δ) 36 μ
ε) 40 μ

Δείτε την απάντηση

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το κτίριο, η προβαλλόμενη σκιά του και η ακτίνα του ήλιου σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Ομοίως, έχουμε επίσης ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από το άτομο, τη σκιά του και την ακτίνα του ήλιου.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι ακτίνες του ήλιου είναι παράλληλες και ότι η γωνία μεταξύ του κτιρίου και του εδάφους και του ατόμου είναι το έδαφος είναι ίσο με 90º, τα τρίγωνα, που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, είναι παρόμοια (δύο γωνίες ισούται με).

instagram story viewer

Δεδομένου ότι τα τρίγωνα είναι παρόμοια, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

H πάνω από 30 ισούται με τον αριθμητή 1 κόμμα 8 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος 2 H ισούται με 1 κόμμα 8,30 H ισούται με 54 πάνω από 2 ισούται με 27 διαστήματα m

Εναλλακτική λύση: α) 27 m

2) Fuvest - 2017

Στο σχήμα, το ορθογώνιο ABCD έχει πλευρές μήκους AB = 4 και BC = 2. Αφήστε το M να είναι το μεσαίο σημείο της πλευράς Το B C στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο και Ν το μεσαίο σημείο της πλευράς Το C D στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο . Τα τμήματα A M στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο και το διάστημα A C στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο αναχαίτιση του τμήματος B N στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο στα σημεία E και F, αντίστοιχα.

Fuvest 2017 ερώτηση ομοιότητα των τριγώνων

Η περιοχή του τριγώνου AEF είναι ίση με

ένας σωστός χώρος παρενθέσεων 24 άνω των 25 β δεξί χώρος παρενθέσεων 29 άνω των 30 c δεξί χώρος παρενθέσεων 61 πάνω από 60 d δεξί χώρος παρενθέσεων 16 άνω των 15 και δεξί χώρος παρενθέσεων 23 άνω των 20

Δείτε την απάντηση

Η περιοχή του τριγώνου AEF μπορεί να βρεθεί μειώνοντας την περιοχή του τριγώνου ABE από την περιοχή του τριγώνου AFB, όπως φαίνεται παρακάτω:

Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας την περιοχή του τριγώνου AFB. Για αυτό, πρέπει να μάθουμε την τιμή ύψους αυτού του τριγώνου, καθώς είναι γνωστή η βασική τιμή (AB = 4).

Σημειώστε ότι τα τρίγωνα AFB και CFN είναι παρόμοια στο ότι έχουν δύο ίσες γωνίες (περίπτωση AA), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Ας σχεδιάσουμε το ύψος H₁, σε σχέση με την πλευρά AB, στο τρίγωνο AFB. Δεδομένου ότι το μέτρο της πλευράς CB είναι ίσο με 2, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το σχετικό ύψος της πλευράς NC στο τρίγωνο FNC είναι ίσο με 2 - H₁.

Στη συνέχεια μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

4 πάνω από 2 ισούται με τον αριθμητή H με 1 συνδρομητή πάνω από τον παρονομαστή 2 μείον H με 1 τέλος συνδρομής του κλάσματος 2 αριστερά παρένθεση 2 μείον H με 1 συνδρομή δεξιά παρένθεση ίση με H με 1 συνδρομή 4 space μείον space 2 H με 1 subscript ίσο με H με 1 subscript 3 H με 1 subscript ίσο με 4 H με 1 συνδρομή ίσο με 4 άνω των 3

Γνωρίζοντας το ύψος του τριγώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε την έκτασή του:

A με προσαύξηση A F B τέλος συνδρομητή ίσο με τον αριθμητή b. h πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος Α με προσαύξηση τέλος F F συνδρομητή ίση με τον αριθμητή 4. έναρξη στυλ εμφάνιση 4 πάνω από 3 άκρο στυλ πάνω από παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος Α με αύξηση A F B τέλος συνδρομής συνδρομής ίσο με 16 πάνω από 3,1 μισό Α με προσαύξηση τέλος F συνδρομητή ίση με 8 περίπου 3

Για να βρείτε την περιοχή του τριγώνου ABE, θα πρέπει επίσης να υπολογίσετε την τιμή ύψους. Για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι τα τρίγωνα ABM και AOE, που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, είναι παρόμοια.

Επιπλέον, το τρίγωνο OEB είναι ένα ορθό τρίγωνο και οι άλλες δύο γωνίες είναι ίσες (45º), οπότε είναι ένα τρίγωνο ισοσκελών. Έτσι, τα δύο σκέλη αυτού του τριγώνου αξίζουν H₂, όπως η παρακάτω εικόνα:

Έτσι, το πλευρικό AO του τριγώνου AOE είναι ίσο με 4 - H_2. Με βάση αυτές τις πληροφορίες, μπορούμε να υποδείξουμε την ακόλουθη αναλογία:

αριθμητής 4 πάνω από τον παρονομαστή 4 μείον H με 2 δείκτη τέλος κλάσματος ίσο με 1 πάνω H με 2 δείκτη 4 H με 2 συνδρομή ίση με 4 μείον H με 2 συνδρομή ίση με 5 H με 2 συνδρομή ίση με 4 H με 2 συνδρομή ίση με 4 περίπου 5

Γνωρίζοντας την τιμή ύψους, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την περιοχή του τριγώνου ABE:

A με προσαύξηση A B E τέλος συνδρομητή ίση με τον αριθμητή 4. έναρξη στυλ εμφάνιση 4 πάνω από 5 τέλος στυλ πάνω από παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος Α με αύξηση Α Β Ε τέλος συνδρομής συνδρομής ίσο με 16 πάνω από 5,1 ημίχρονο Α με προσαύξηση τέλος Β συνδρομής συνδρομής ίσο με 8 περίπου 5

Έτσι, η περιοχή του τριγώνου AFE θα είναι ίση με:

A με προσαύξηση A F E συνδρομή τέλος συνδρομής ίσο με A με αύξηση A F B συνδρομητικό τέλος συνδρομής μείον A με αύξηση A B E συνδρομή τέλος της συνδρομής A με αύξηση A F E τέλος συνδρομής συνδρομητή ίσο με 8 πάνω από 3 μείον 8 πάνω από 5 A με προσαύξηση A F E τέλος εγγραφής συνδρομής ίσο με τον αριθμητή 40 μείον 24 πάνω από τον παρονομαστή 15 άκρο κλάσματος ίσο με 16 περίπου 15

Εναλλακτική: δ) 16 άνω των 15

3) Cefet / MG - 2015

Η παρακάτω εικόνα αντιπροσωπεύει ένα ορθογώνιο τραπέζι μπιλιάρδου, με πλάτος και μήκος ίσο με 1,5 και 2,0 m, αντίστοιχα. Ένας παίκτης πρέπει να ρίξει τη λευκή μπάλα από το σημείο Β και να χτυπήσει τη μαύρη μπάλα στο σημείο P, χωρίς να χτυπήσει πρώτα κάποια από τις άλλες. Καθώς η κίτρινη είναι στο σημείο Α, αυτός ο παίκτης θα ρίξει τη λευκή μπάλα στο σημείο L, έτσι ώστε να μπορεί να αναπηδήσει και να συγκρουστεί με τη μαύρη.

Ερώτηση Cefet-mg 2015 ομοιότητα των τριγώνων

Εάν η γωνία της διαδρομής πρόσπτωσης της μπάλας στο πλάι του τραπεζιού και η γωνία αναπήδησης είναι ίση, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε η απόσταση από το P έως το Q, σε cm, είναι περίπου

α) 67
β) 70
γ) 74
δ) 81

Δείτε την απάντηση

Τα τρίγωνα, που σημειώνονται με κόκκινο χρώμα στην παρακάτω εικόνα, είναι παρόμοια, καθώς έχουν δύο ίσες γωνίες (γωνία ίση με α και γωνία ίση με 90º).

Cefet-MG 2015 ερώτηση ομοιότητα των τριγώνων

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

αριθμητής x πάνω από τον παρονομαστή 0 κόμμα 8 άκρο του κλάσματος ισούται με τον αριθμητή 1 πάνω από τον παρονομαστή 1 κόμμα 2 τέλος του κλάσματος 1 κόμμα 2 x ισούται με 1,0 κόμμα 8 x ισούται με τον αριθμητή 0 κόμμα 8 πάνω από τον παρονομαστή 1 κόμμα 2 άκρο του κλάσματος ισούται με 0 κόμμα 66... x περίπου ίσο με 0 κόμμα 67 m χώρο ή u διάστημα 67 διάστημα c m

Εναλλακτική λύση: α) 67

4) Στρατιωτικό Κολλέγιο / RJ - 2015

Σε ένα τρίγωνο ABC, τα σημεία D και E ανήκουν αντίστοιχα στις πλευρές AB και AC και είναι τέτοια που DE / / BC. Εάν το F είναι ένα σημείο AB έτσι ώστε EF / / CD και οι μετρήσεις AF και FD e είναι, αντίστοιχα, 4 και 6, η μέτρηση του τμήματος DB είναι:

α) 15.
β) 10.
γ) 20.
δ) 16.
ε) 36.

Δείτε την απάντηση

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το τρίγωνο ABC, όπως φαίνεται παρακάτω:

Στρατιωτικό κολέγιο Ερώτηση 2015 ομοιότητα των τριγώνων

Δεδομένου ότι το τμήμα DE είναι παράλληλο με το BC, τότε τα τρίγωνα ADE και ABC είναι παρόμοια στο ότι οι γωνίες τους είναι σύμφωνες.

Στη συνέχεια μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

ο αριθμητής 10 πάνω από τον παρονομαστή 10 συν x το τέλος του κλάσματος ισούται με το y στο z

Τα τρίγωνα FED και DBC είναι επίσης παρόμοια, καθώς τα τμήματα FE και DC είναι παράλληλα. Έτσι, ισχύει και το ακόλουθο ποσοστό:

Απομονώνοντας το y σε αυτό το ποσοστό, έχουμε:

y ισούται με τον αριθμητή 6 z πάνω από τον παρονομαστή x τέλος του κλάσματος

Αντικατάσταση της τιμής y στην πρώτη ισότητα:

αριθμητής 10 πάνω από τον παρονομαστή 10 συν x τέλος του κλάσματος ισούται με τον αριθμητή αρχικό στυλ εμφάνιση αριθμητή 6 z πάνω από τον παρονομαστή x τέλος του κλάσμα άκρο στυλ πάνω από τον παρονομαστή z άκρο του κλάσμα αριθμητή 10 πάνω από παρονομαστή 10 συν x τέλος του κλάσματος ισούται με τον αριθμητή 6 z πάνω παρονομαστής x άκρο κλάσματος. 1 πάνω από z 10 x ίσο με 60 συν 6 x 10 x μείον 6 x ίσο με 60 4 x ίσο με 60 x ίσο με 60 πάνω από 4 x ίσο με 15 διάστημα cm

Εναλλακτική λύση: α) 15

5) Epcar - 2016

Μια γη σε σχήμα ορθού τριγώνου θα χωριστεί σε δύο παρτίδες από ένα φράχτη φτιαγμένο στον διχοτόμο της υποτενούς χρήσης, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ερωτήσεις ομοιότητα των τριγώνων Epcar 2016

Είναι γνωστό ότι οι πλευρές AB και BC αυτού του εδάφους μετρά, αντίστοιχα, 80 m και 100 m. Έτσι, η αναλογία μεταξύ της περιμέτρου της παρτίδας Ι και της περιμέτρου της παρτίδας II, με αυτή τη σειρά, είναι

δεξιά παρένθεση 5 άνω των 3 β δεξιά παρένθεση 10 άνω των 11 c δεξιά παρένθεση 3 άνω των 5 d δεξιά παρένθεση 11 άνω των 10

Δείτε την απάντηση

Για να μάθουμε την αναλογία μεταξύ των περιμέτρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή όλων των πλευρών του σχήματος I και του σχήματος II.

Σημειώστε ότι ο διαιρέτης της υποτενούς διάσπασης χωρίζει την πλευρά BC σε δύο αντίστοιχα τμήματα, οπότε τα τμήματα CM και MB έχουν διαστάσεις 50 m.

Δεδομένου ότι το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο, μπορούμε να υπολογίσουμε το πλευρικό AC, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ωστόσο, σημειώστε ότι αυτό το τρίγωνο είναι ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο.

Έτσι, η υποτείνουσα είναι ίση με 100 (5. 20) και ένα δύο πόδια ίσο με 80 (4.20), τότε το άλλο πόδι μπορεί να είναι μόνο ίσο με 60 (3.20).

Προσδιορίσαμε επίσης ότι τα τρίγωνα ABC και MBP είναι παρόμοια (περίπτωση AA), καθώς έχουν κοινή γωνία και η άλλη ισούται με 90º.

Έτσι, για να βρούμε την τιμή του x μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

100 πάνω από 80 ίσο με x πάνω από 50 x ίσο με 5000 πάνω από 80 x ίσο με 250 πάνω από 4 ίσο με 125 πάνω από 2

Η τιμή του z μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη την αναλογία:

$60 over z ισούται με 100 over x 60 over z ισούται με τον αριθμητή 100 over denominator start style show 125 over 2 end style end fraction 60 πάνω από z ίσο με 100,2 πάνω από 125 z ίσο με τον αριθμητή 60,125 πάνω από τον παρονομαστή 100,2 άκρο του κλάσματος z ίσο με 7500 πάνω από 200 z ίσο με 75 πάνω από 2$

Μπορούμε επίσης να βρούμε την τιμή του y κάνοντας:

y ισούται με 80 μείον x y ισούται με 80 μείον 125 πάνω από 2 y ισούται με τον αριθμητή 160 μείον 125 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος y ισούται με 35 πάνω από 2

Τώρα που γνωρίζουμε όλες τις πλευρές, μπορούμε να υπολογίσουμε τις περιμέτρους.

Περίμετρος του σχήματος I:

60 συν 50 συν 75 άνω των 2 συν 35 άνω των 2 ίσο με τον αριθμητή 120 συν 100 συν 75 συν 35 άνω του παρονομαστή 2 άκρο κλάσματος ίσο με 330 άνω των 2 ίσο με 165

Περίμετρος του σχήματος II:

50 συν 75 άνω των 2 συν 125 άνω των 2 ίσο με τον αριθμητή 100 συν 75 συν 125 άνω του παρονομαστή 2 άκρο κλάσματος ίσο με 300 άνω των 2 ίσο με 150

Επομένως, η αναλογία μεταξύ των περιμέτρων θα είναι ίση με:

Εγγραφή P με I πάνω από P με I I τελικό συνδρομής ίσο με 165 πάνω από 150 ίσο με 11 πάνω από 10

Εναλλακτική: δ) 11 πάνω από 10

6) Enem - 2013

Ο ιδιοκτήτης μιας φάρμας θέλει να βάλει μια ράβδο στήριξης για να ασφαλίσει καλύτερα δύο στύλους με μήκη ίσο με 6 m και 4 m. Το σχήμα αντιπροσωπεύει την πραγματική κατάσταση στην οποία οι θέσεις περιγράφονται από τα τμήματα AC και BD και τη ράβδο αντιπροσωπεύεται από το τμήμα EF, κάθετα προς το έδαφος, το οποίο υποδεικνύεται από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Τα τμήματα AD και BC αντιπροσωπεύουν χαλύβδινα καλώδια που θα εγκατασταθούν.

Ερώτηση Enem 2013 ομοιότητα των τριγώνων

Ποια πρέπει να είναι η τιμή του μήκους ράβδου EF;

α) 1 μ
β) 2 μ
γ) 2,4 μ
δ) 3 μ
ε) 2 τετραγωνική ρίζα 6 Μ

Δείτε την απάντηση

Για να λύσουμε το πρόβλημα, ας ονομάσουμε το ύψος του στελέχους ως ζ και τις μετρήσεις των τμημάτων AF και FB του Χ και γ, αντίστοιχα, όπως φαίνεται παρακάτω:

Το τρίγωνο ADB είναι παρόμοιο με το τρίγωνο AEF στο ότι και οι δύο έχουν γωνία ίση με 90 ° και κοινή γωνία, οπότε είναι παρόμοιες στην περίπτωση AA.

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

ο αριθμητής 6 πάνω από τον παρονομαστή x συν y το τέλος του κλάσματος ισούται με h πάνω από το x

Πολλαπλασιάζοντας "σε σταυρό", έχουμε την ισότητα:

6x = h (x + y) (Ι)

Από την άλλη πλευρά, τα τρίγωνα ACB και FEB θα είναι επίσης παρόμοια, για τους ίδιους λόγους που παρουσιάζονται παραπάνω. Έχουμε λοιπόν την αναλογία:

ο αριθμητής 4 πάνω από τον παρονομαστή x συν y το τέλος του κλάσματος ισούται με h πάνω από το y

Επίλυση με τον ίδιο τρόπο:

4y = h (x + y) (II)

Σημειώστε ότι οι εξισώσεις (I) και (II) έχουν την ίδια έκφραση μετά το σύμβολο ίσου, έτσι μπορούμε να πούμε ότι:

6x = 4y
x ισούται με 4 πάνω από 6 y S i m p l i fi c a nd comma space t e m o s κόλον x ισούται με 2 πάνω από 3 y

Αντικαθιστώντας την τιμή του x στη δεύτερη εξίσωση:

4 y ισούται με h αριστερή παρένθεση 2 πάνω από 3 y συν y δεξιά παρένθεση 4 y ισούται με h αριστερή παρένθεση 5 πάνω από 3 h δεξιά παρένθεση h ισούται με τον αριθμητή 4.3 διαγώνια διαγράμμιση πάνω από το y άκρο διαστήματος απεργίας πάνω από τον παρονομαστή 5 διαγώνια απεργία πάνω από το διάστημα y τέλος απεργίας άκρο του κλάσματος h ισούται με 12 πάνω από 5 ισούται με 2 κόμμα 4 m χώρο

Εναλλακτική λύση: γ) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Στο σχήμα, το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο με πλευρές BC = 3 και AB = 4. Επιπλέον, το σημείο D ανήκει στο λαιμό. Το Β στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο , το σημείο Ε που ανήκει στο λαιμό Το B C στο πάνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο και το σημείο F ανήκει στην υποτείνουσα Το C στο άνω πλαίσιο κλείνει το πλαίσιο , έτσι ώστε το DECF να είναι παραλληλόγραμμο. αν D E ίσο με 3 πάνω από 2 , άρα αξίζει η περιοχή του παραλληλόγραμμου DECF

Fuvest 2010 ερώτηση ομοιότητα των τριγώνων

δεξιά παρένθεση 63 άνω των 25 β δεξιά παρένθεση 12 άνω των 5 c δεξιά παρένθεση 58 άνω των 25 d δεξιά παρένθεση 56 άνω των 25 και δεξιά παρένθεση 11 άνω των 5

Δείτε την απάντηση

Η περιοχή παραλληλογράμματος βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τη βασική τιμή με το ύψος. Ας καλέσουμε h το ύψος και το βασικό μέτρο, όπως φαίνεται παρακάτω:

Δεδομένου ότι το DECF είναι παραλληλόγραμμο, οι πλευρές του είναι παράλληλες δύο προς δύο. Με αυτόν τον τρόπο, οι πλευρές AC και DE είναι παράλληλες. Έτσι οι γωνίες A C με λογικό συνδυασμό B superscript και διάστημα D E με λογικό συνδυασμό B superscript ειναι ιδιοι.

Στη συνέχεια μπορούμε να αναγνωρίσουμε ότι τα τρίγωνα ABC και DBE είναι παρόμοια (περίπτωση AA). Έχουμε επίσης ότι η υπόταση του τριγώνου ABC είναι ίση με 5 (τρίγωνο 3,4 και 5).

Με αυτόν τον τρόπο, ας γράψουμε την ακόλουθη αναλογία:

4 πάνω h ισούται με αριθμητή 5 πάνω από παρονομαστή στυλ έναρξης εμφάνιση 3 πάνω από 2 τελικό στυλ στυλ κλάσμα 5 ώρες ισούται με 4.3 πάνω από 2 ώρες ισούται με 6 πάνω από 5

Για να βρούμε το μέτρο x της βάσης, θα λάβουμε υπόψη την ακόλουθη αναλογία:

αριθμητής 3 πάνω από παρονομαστή 3 μείον x τέλος κλάσματος ισούται με αριθμητής 4 πάνω παρονομαστής στυλ έναρξης εμφάνιση 6 πάνω από 5 τελικό στυλ τέλος του κλάσματος 4 αριστερή παρένθεση 3 μείον x δεξιά παρένθεση ίση με 3,6 άνω των 5 3 μείον x ίση με τον αριθμητή 3,6 πάνω του παρονομαστή 4,5 άκρο του κλάσματος 3 μείον x ίσο με 18 πάνω από 20 x ίσο με το διάστημα 3 μείον 18 πάνω από 20 x ίσο με τον αριθμητή 60 μείον 18 πάνω από τον παρονομαστή 20 άκρο του κλάσματος x ίσο με 42 πάνω από 20 ίσο με 21 πάνω από 10

Υπολογίζοντας την περιοχή του παραλληλόγραμμου, έχουμε:

Ένα ισούται με 21 πάνω από 10,6 πάνω από 5 ισούται με 63 πάνω από 25

Εναλλακτική: α) 63 άνω των 25

Teachs.ru

Ομοιότητα των τριγώνων: Σχολιασμένες και επιλυμένες ασκήσεις

Τα προβλήματα επιλύθηκαν

Ασκήσεις συντακτικής ανάλυσης (με σχολιασμένο πρότυπο)

Ασκήσεις για το απεκκριτικό σύστημα (με σχολιασμένη ανατροφοδότηση)

Ασκήσεις για ουσίες και μείγματα (με σχολιασμένο πρότυπο)