Στα Μαθηματικά, τα σύνολα αντιπροσωπεύουν τη συγκέντρωση διαφόρων αντικειμένων και οι λειτουργίες που εκτελούνται με σύνολα είναι: ένωση, διασταύρωση και διαφορά.
Χρησιμοποιήστε τις 10 παρακάτω ερωτήσεις για να δοκιμάσετε τις γνώσεις σας. Χρησιμοποιήστε τα σχόλια που σχολιάστηκαν για να καθαρίσετε τις αμφιβολίες σας.
ερώτηση 1
Εξετάστε τα σετ
Α = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Είναι σωστό να πούμε ότι:
α) Α σι
β) Το σι
γ) Β Ο
δ) Β Ο
Σωστή εναλλακτική λύση: β) Α ΣΙ.
Α) ΛΑΘΟΣ. Υπάρχουν στοιχεία του Β που δεν ανήκουν στο σύνολο Α. Επομένως, δεν μπορούμε να πούμε ότι το Α περιέχει Β. Η σωστή δήλωση θα ήταν Β Ο.
β) ΣΩΣΤΗ. Σημειώστε ότι όλα τα στοιχεία του Α είναι επίσης στοιχεία του Β. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι το Α περιέχεται στο Β, το Α είναι μέρος του Β ή ότι το Α είναι ένα υποσύνολο του Β.
γ) ΛΑΘΟΣ. Δεν υπάρχει στοιχείο του Α που δεν ανήκει στο σύνολο Β. Επομένως, δεν μπορούμε να πούμε ότι το Β δεν περιέχει Α.
δ) ΛΑΘΟΣ. Εφόσον το Α είναι υποσύνολο του Β, τότε η τομή των συνόλων Α και Β είναι το ίδιο το Α: Β Α = Α
Ερώτηση 2
Κοιτάξτε τα ακόλουθα σύνολα και σημειώστε τη σωστή εναλλακτική.
A = {x | x είναι ένα θετικό πολλαπλάσιο του 4}
B = {x | x είναι ένας ζυγός αριθμός και 4 Χ
16}
α) 145 Ο
β) 26 Α και Β
γ) 11 σι
δ) 12 Α και Β
Σωστή εναλλακτική λύση: δ) 12 Α και Β
Τα σύνολα της ερώτησης αντιπροσωπεύονται από τους νόμους σχηματισμού τους. Έτσι, το σετ Α σχηματίζεται από θετικά πολλαπλάσια των 4, δηλαδή, A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} και το σύνολο B συγκεντρώνει ακόμη και αριθμούς μεγαλύτερους ή ίσους με 4 και μικρότερους από 16. Επομένως, B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Αναλύοντας τις εναλλακτικές λύσεις, έχουμε:
Α) ΛΑΘΟΣ. Το 145 είναι ένας αριθμός που τελειώνει σε 5 και ως εκ τούτου είναι πολλαπλάσιο του 5.
β) ΛΑΘΟΣ. 26, παρά το γεγονός ότι είναι ένας ζυγός αριθμός, είναι μεγαλύτερος από 16 και, επομένως, δεν αποτελεί μέρος του συνόλου Β.
γ) ΛΑΘΟΣ. Το 11 δεν είναι ζυγό, αλλά πρωταρχικός αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο από το 1 και από μόνο του.
δ) ΣΩΣΤΗ. 12 ανήκει στα σύνολα Α και Β καθώς είναι πολλαπλάσιο του 4 και είναι ένας ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από 4 και μικρότερος από 16.
ερώτηση 3
Ποιος είναι ο πιθανός νόμος σχηματισμού του συνόλου A = {2, 3, 5, 7, 11};
a) A = {x | x είναι ένας συμμετρικός αριθμός και 2 b) A = {x | x είναι ένας πρώτος αριθμός και 1 c) A = {x | x είναι ένας θετικός μονός αριθμός και 1 d) A = {x | x είναι ένας φυσικός αριθμός μικρότερος από 10}
Σωστή εναλλακτική λύση: b) A = {x | x είναι ένας πρώτος αριθμός και 1
Α) ΛΑΘΟΣ. Οι συμμετρικοί αριθμοί, που ονομάζονται επίσης αντίθετα, εμφανίζονται στην ίδια απόσταση στη γραμμή αριθμών. Για παράδειγμα, τα 2 και - 2 είναι συμμετρικά.
β) ΣΩΣΤΗ. Το σετ που παρουσιάζεται είναι πρωταρχικών αριθμών, με το 2 να είναι ο μικρότερος υπάρχων πρωταρχικός αριθμός και επίσης το μόνο που είναι ζυγό.
γ) ΛΑΘΟΣ. Αν και οι περισσότεροι αριθμοί είναι περίεργοι, υπάρχει ο αριθμός 2 στο σετ, που είναι ζυγό.
δ) ΛΑΘΟΣ. Αν και όλοι οι αριθμοί είναι φυσικοί, το σετ περιέχει τον αριθμό 11, ο οποίος είναι μεγαλύτερος από 10.
ερώτηση 4
Η ένωση των συνόλων A = {x | x είναι ένας πρώτος αριθμός και 1
α) Α Β = {1,2,3,5,7}
β) Το Β = {1,2,3,5,7}
γ) Το Β = {1,2,3,5,7}
δίνει Β = {1,2,3,5,7}
Σωστή εναλλακτική λύση: δ) Α B = {1, 2, 3, 5, 7}
Για το σετ A = {x | x είναι ένας πρώτος αριθμός και 1
Α = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
Α) ΛΑΘΟΣ. Το Α δεν περιέχει το Β, καθώς το στοιχείο 1 δεν είναι μέρος του Α.
β) ΛΑΘΟΣ. Το Α δεν περιέχεται στο Β, καθώς το στοιχείο 2 δεν είναι μέρος του Β.
γ) ΛΑΘΟΣ. Το Α δεν ανήκει στο Β, καθώς τα σύνολα έχουν ένα ξεχωριστό στοιχείο.
δ) ΣΩΣΤΗ. Η ένωση των συνόλων αντιστοιχεί στη σύνδεση των στοιχείων που τα συνθέτουν και αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο .
Επομένως, η ένωση των A = {2, 3, 5, 7} και B = {1, 3, 5, 7} είναι A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
ερώτηση 5
Σχεδιάστε τα σύνολα A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} και C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} στο διάγραμμα Venn και, στη συνέχεια, προσδιορίστε:
α) Α σι
προ ΧΡΙΣΤΟΥ σι
γ) Γ - Α
δ) Β (Ο
ΝΤΟ)
Σωστή απάντηση:
α) {1, 6, 7} ·
β) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
γ) {-5, 2, 3, 5} και
δ) {1, 3, 5, 6, 7}.
Διανέμοντας τα στοιχεία των σετ στο διάγραμμα Venn, έχουμε:
Κατά την εκτέλεση λειτουργιών με τα συγκεκριμένα σύνολα, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
α) Α B = {1, 6, 7}
προ ΧΡΙΣΤΟΥ B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
γ) C - A = {-5, 2, 3, 5}
δ) Β (Ο
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
ερώτηση 6
Σημειώστε την εκκολαμμένη περιοχή του σχήματος και σημειώστε την εναλλακτική που την αντιπροσωπεύει.
μετα Χριστον (Ο
ΣΙ)
β) Γ - (Α ΣΙ)
γ) Γ (Α - Β)
δ) Γ (Ο
ΣΙ)
Σωστή απάντηση: β) C - (A ΣΙ)
Σημειώστε ότι η εκκολαφθείσα περιοχή αντιπροσωπεύει στοιχεία που δεν ανήκουν στα σύνολα Α και Β. Επομένως, είναι μια διαφορά μεταξύ των συνόλων, την οποία υποδεικνύουμε με (-).
Καθώς τα σύνολα Α και Β έχουν το ίδιο χρώμα, μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει μια αναπαράσταση της ένωσης των συνόλων, δηλαδή, η ένωση των στοιχείων των Α και Β, που αντιπροσωπεύεται από τον Α ΣΙ.
Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι η εκκολαμμένη περιοχή είναι η διαφορά του C από την ένωση των A και B, δηλαδή, C - (A ΣΙ).
ερώτηση 7
Σε ένα προ-πανεπιστημιακό μάθημα υπάρχουν 600 φοιτητές εγγεγραμμένοι σε απομονωμένα μαθήματα. 300 μαθητές παρακολουθούν Μαθηματικά, 200 μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Πορτογαλίας και 150 μαθητές δεν παρακολουθούν αυτά τα μαθήματα.
Λαμβάνοντας υπόψη τους μαθητές που εγγράφονται στο μάθημα (U), οι μαθητές που παίρνουν μαθηματικά (M) και οι μαθητές που παίρνουν πορτογαλικά (P), καθορίζουν:
α) τον αριθμό μαθηματικών ή μαθητών Πορτογαλίας
β) τον αριθμό μαθητών Μαθηματικών και Πορτογαλικών
Σωστή απάντηση:
α) n (Μ Ρ) = 450
b) n (Μ Ρ) = 50
α) ο αριθμός των μαθητών που ζητούνται περιλαμβάνει μαθητές Μαθηματικών και Πορτογαλικών. Επομένως, πρέπει να βρούμε την ένωση των δύο συνόλων.
Το αποτέλεσμα μπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας τον συνολικό αριθμό μαθητών στο σχολείο με τον αριθμό των μαθητών που δεν λαμβάνουν αυτά τα μαθήματα.
n (Μ P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
β) δεδομένου ότι το ζητούμενο αποτέλεσμα είναι από μαθητές που σπουδάζουν Μαθηματικά και Πορτογαλικά, πρέπει να βρούμε τη διασταύρωση των συνόλων, δηλαδή, τα κοινά στοιχεία και για τα δύο σύνολα.
Μπορούμε να υπολογίσουμε τη διασταύρωση των δύο συνόλων προσθέτοντας τον αριθμό των μαθητών που εγγράφηκαν στα μαθήματα του Πορτογαλικά και Μαθηματικά και στη συνέχεια αφαιρώντας τον αριθμό των μαθητών που μελετούν αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα χρόνος.
n (Μ P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
ερώτηση 8
Τα αριθμητικά σύνολα περιλαμβάνουν τα ακόλουθα σύνολα: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) και Complexes (ℂ). Στα προαναφερθέντα σύνολα, σημειώστε τον ορισμό που αντιστοιχεί σε καθένα από αυτά.
1. φυσικοί αριθμοί |
() καλύπτει όλους τους αριθμούς που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα, με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή. |
| 2. ακέραιοι | () αντιστοιχεί στην ένωση των λογικών με τις παράλογες. |
| 3. ρητοί αριθμοί | () είναι δεκαδικοί, άπειροι και μη περιοδικοί αριθμοί και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από μη μειωμένα κλάσματα. |
| 4. παράλογοι αριθμοί | () σχηματίζεται από τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε στις μετρήσεις {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...} |
| 5. πραγματικοί αριθμοί | () περιλαμβάνει ρίζες τύπου √-n. |
| 6. Σύνθετοι αριθμοί | () συγκεντρώνει όλα τα στοιχεία των φυσικών αριθμών και τα αντίθετά τους. |
Σωστή απάντηση: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) Το ρητοί αριθμοί καλύπτει όλους τους αριθμούς που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα, με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή. Αυτό το σετ περιλαμβάνει μη ακριβείς διαιρέσεις. ℚ = {x = a / b, με ∈ ℤ, b ∈ ℤ και b ≠ 0}
(5) Το πραγματικοί αριθμοί αντιστοιχούν στην ένωση των λογικών με τους παράλογους, δηλαδή = ℚ ℚ Ι.
(4) Το παράλογοι αριθμοί Είναι δεκαδικοί, άπειροι και μη περιοδικοί αριθμοί και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν από μη αναγώγιμα κλάσματα. Οι αριθμοί σε αυτήν την ομάδα προκύπτουν από λειτουργίες, το αποτέλεσμα των οποίων δεν μπορούσε να γραφτεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα στο √ 2.
(1) Το φυσικοί αριθμοί σχηματίζονται από τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε στις μετρήσεις ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.
(6) Το σύνθετοι αριθμοί περιλαμβάνουν ρίζες τύπου √-n και έτσι είναι μια επέκταση πραγματικών αριθμών.
(2) Το ολόκληροι αριθμοί συγκεντρώνουν όλα τα στοιχεία των φυσικών αριθμών και των αντιθέτων τους. Για να είναι σε θέση να επιλύσει όλη την αφαίρεση, όπως 7 - 10, το σύνολο των φυσικών επεκτάθηκε, εμφανίζοντας έτσι το σύνολο των ακεραίων. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
ερώτηση 9
(Προσαρμοσμένο από το UNB) Από 200 άτομα που ρωτήθηκαν σχετικά με τις προτιμήσεις τους στην παρακολούθηση αγώνων αγώνων στην τηλεόραση, συλλέχθηκαν τα ακόλουθα δεδομένα:
- 55 από τους ερωτηθέντες δεν παρακολουθούν.
- 101 αγώνες αγώνων Formula 1.
- 27 παρακολουθήστε τους αγώνες Formula 1 και μοτοσυκλέτας.
Πόσα από τα άτομα που πήραν συνέντευξη παρακολουθούσαν αποκλειστικά αγώνες μοτοσυκλέτας;
α) 32
β) 44
γ) 56
δ) 28
Σωστή απάντηση: β) 44.
Βήμα 1: Προσδιορίστε τον συνολικό αριθμό των ατόμων που παρακολουθούν τους αγώνες
Για αυτό, πρέπει απλώς να αφαιρέσουμε τον συνολικό αριθμό των ερωτηθέντων από εκείνους που δήλωσαν ότι δεν θα παρευρεθούν στα πρωταθλήματα αγώνων.
200 - 55 = 145 άτομα
2ο βήμα: υπολογίστε τον αριθμό των ατόμων που παρακολουθούν μόνο αγώνες μοτοσυκλέτας
74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Αφαιρώντας την τιμή του x από τη διασταύρωση των δύο σετ, βρίσκουμε τον αριθμό των ερωτηθέντων που παρακολουθούν μόνο αγώνες ταχύτητας μοτοσικλέτας.
71 - 27 = 44
ερώτηση 10
(UEL-PR) Σε μια δεδομένη στιγμή, τρία τηλεοπτικά κανάλια είχαν, στον προγραμματισμό τους, σαπουνόπερες στον πρώτο τους χρόνο: σαπουνόπερα A στο κανάλι A, σαπουνόπερα B στο κανάλι B και σαπουνόπερα C στο κανάλι C. Σε μια έρευνα 3000 ατόμων, ρωτήθηκε ποιες σαπουνόπερες τους άρεσαν. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον αριθμό των θεατών που χαρακτήρισαν τις σαπουνόπερες ως ευχάριστες.
| Σαπουνόπερες | Αριθμός θεατών |
| Ο | 1450 |
| σι | 1150 |
| ΝΤΟ | 900 |
| Α και Β | 350 |
| Α και Γ | 400 |
| Β και Γ | 300 |
| Α, Β και Γ | 100 |
Πόσοι ερωτηθέντες θεατές δεν θεωρούν ευχάριστη καμία από τις τρεις σαπουνόπερες;
α) 300 θεατές.
β) 370 θεατές.
γ) 450 θεατές.
δ) 470 θεατές.
ε) 500 θεατές.
Σωστή απάντηση: γ) 450 θεατές.
Υπάρχουν 450 θεατές που δεν θεωρούν ευχάριστο κανένα από τα τρία telenovelas.
Μάθετε περισσότερα ανατρέχοντας στα ακόλουθα κείμενα:
- Ορισμός θεωρίας
- Λειτουργίες με σύνολα
- Αριθμητικά σύνολα
- Ασκήσεις σε αριθμητικά σύνολα