Η τριγωνομετρία είναι ένα σημαντικό θέμα στα Μαθηματικά που καθιστά δυνατή τη γνώση πλευρών και γωνιών σε ένα σωστό τρίγωνο, μέσω του ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου, εκτός από άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Για να βελτιώσετε τις σπουδές σας και να επεκτείνετε τις γνώσεις σας, ακολουθήστε τη λίστα με 8 ασκήσεις, καθώς και 4 ερωτήσεις για τις εισαγωγικές εξετάσεις, όλες λύθηκαν βήμα προς βήμα.
Ασκηση 1
Παρατηρώντας το πρωί τη σκιά ενός κτηρίου στο έδαφος, ένα άτομο διαπίστωσε ότι μετρήθηκε 63 μέτρα όταν οι ακτίνες του ήλιου έκαναν γωνία 30 ° με την επιφάνεια. Με βάση αυτές τις πληροφορίες, υπολογίστε το ύψος του κτιρίου.
Σωστή απάντηση: Περίπου 36,37 μ.
Το κτίριο, η σκιά και η ακτίνα του ήλιου καθορίζουν ένα σωστό τρίγωνο. Χρησιμοποιώντας τη γωνία 30 ° και την εφαπτομένη, μπορούμε να προσδιορίσουμε το ύψος του κτιρίου.
Δεδομένου ότι το ύψος του κτιρίου είναι h, έχουμε:
Άσκηση 2
Σε μια περιφέρεια με διάμετρο 3, ένα τμήμα AC, που ονομάζεται χορδή, σχηματίζει μια γωνία 90 ° με μια άλλη χορδή CB του ίδιου μήκους. Ποιο είναι το μέτρο των χορδών;
Σωστή απάντηση: Το μήκος του σχοινιού είναι 2,12 cm.
Καθώς τα τμήματα AC και CB σχηματίζουν γωνία 90 ° και έχουν το ίδιο μήκος, το τρίγωνο που σχηματίζεται είναι ισοσκελές και οι γωνίες βάσης είναι ίσες.
Δεδομένου ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180 ° και έχουμε ήδη μια γωνία 90 °, υπάρχουν ακόμη 90 ° αριστερά για να διαιρεθούν εξίσου μεταξύ των δύο βασικών γωνιών. Έτσι, η τιμή αυτών ισούται με 45º το καθένα.
Δεδομένου ότι η διάμετρος είναι ίση με 3 cm, η ακτίνα είναι 1,5 cm και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο των 45 ° για να προσδιορίσουμε το μήκος της χορδής.
Άσκηση 3
Ένας ποδηλάτης που συμμετέχει σε ένα πρωτάθλημα πλησιάζει τη γραμμή τερματισμού στην κορυφή μιας πλαγιάς. Το συνολικό μήκος αυτού του τελευταίου μέρους της δοκιμής είναι 60 m και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της ράμπας και της οριζόντιας είναι 30 °. Γνωρίζοντας αυτό, υπολογίστε το κατακόρυφο ύψος που πρέπει να ανέβει ο ποδηλάτης.
Σωστή απάντηση: Το ύψος θα είναι 30 m.
Καλώντας το ύψος h, έχουμε:
Άσκηση 4
Το ακόλουθο σχήμα σχηματίζεται από τρία τρίγωνα όπου το ύψος h καθορίζει δύο ορθές γωνίες. Οι τιμές των στοιχείων είναι:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Βρείτε την τιμή του a + b.
Σωστή απάντηση:
Μπορούμε να προσδιορίσουμε τις μετρήσεις των τμημάτων a και b χρησιμοποιώντας τις εφαπτομενικές γωνίες.
Υπολογισμός:
Υπολογισμός b:
Ετσι,
Άσκηση 5
Ένα αεροπλάνο απογειώθηκε από την πόλη Α και πέταξε 50 χλμ. Σε ευθεία γραμμή μέχρι να προσγειωθεί στην πόλη Β. Στη συνέχεια, πέταξε άλλα 40 χιλιόμετρα, αυτή τη φορά κατευθύνοντας προς την πόλη Δ. Αυτές οι δύο διαδρομές βρίσκονται σε γωνία 90 ° μεταξύ τους. Ωστόσο, λόγω των δυσμενών καιρικών συνθηκών, ο πιλότος έλαβε μια επικοινωνία από τον πύργο ελέγχου που τον ενημέρωνε ότι δεν μπορούσε να προσγειωθεί στην πόλη Δ και ότι θα έπρεπε να επιστρέψει στην πόλη Α.
Για να κάνει τη στροφή U από το σημείο Γ, ο χειριστής θα πρέπει να κάνει μια στροφή πόσων βαθμών προς τα δεξιά;
Σκεφτείτε:
αμαρτία 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
μαύρισμα 51 ° = 1,25
Σωστή απάντηση: Ο χειριστής πρέπει να κάνει μια στροφή 129 ° προς τα δεξιά.
Αναλύοντας το σχήμα, βλέπουμε ότι η διαδρομή σχηματίζει ένα σωστό τρίγωνο.
Ας καλέσουμε τη γωνία που ψάχνουμε για W. Οι γωνίες W και Z είναι συμπληρωματικές, δηλαδή σχηματίζουν ρηχή γωνία 180 °.
Έτσι, W + Z = 180 °.
W = 180 - Ζ (εξίσωση 1)
Το καθήκον μας τώρα είναι να προσδιορίσουμε τη γωνία Z και, για αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη της.
Πρέπει να αναρωτηθούμε: Ποια είναι η γωνία της οποίας η εφαπτομένη είναι 1,25;
Το πρόβλημα μας δίνει αυτά τα δεδομένα, μαύρισμα 51 ° = 1,25.
Αυτή η τιμή μπορεί επίσης να βρεθεί σε έναν τριγωνομετρικό πίνακα ή με μια επιστημονική αριθμομηχανή, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση:
Αντικαθιστώντας την τιμή του Ζ στην εξίσωση 1, έχουμε:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Άσκηση 6
Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός όταν περνά από το ένα μέσο στο άλλο, υποφέρει απόκλιση προς αυτό. Αυτή η αλλαγή στη διάδοσή της σχετίζεται με τους δείκτες διάθλασης των μέσων, όπως φαίνεται στην ακόλουθη σχέση:
Ο νόμος του Snell - Descartes
Όπου i και r είναι οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης και, n1 και n2, οι διαθλαστικοί δείκτες των μέσων 1 και 2.
Όταν χτυπάτε την επιφάνεια διαχωρισμού μεταξύ αέρα και γυαλιού, μια ακτίνα φωτός αλλάζει την κατεύθυνσή της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιος είναι ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού;
Δεδομένα: Δείκτης διάθλασης αέρα ίσος με 1.
Σωστή απάντηση: Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι ίσος με .
Αντικαθιστώντας τις τιμές που έχουμε:
Άσκηση 7
Για να σύρει ένα ξύλινο κορμό στο εργαστήριό του, ένας κλειδαράς έδεσε ένα σχοινί στο κορμό και το τράβηξε δέκα πόδια σε μια οριζόντια επιφάνεια. Μια δύναμη 40 Ν μέσω του νήματος έφτιαξε μια γωνία 45 ° με την κατεύθυνση της διαδρομής. Υπολογίστε την εργασία της εφαρμοζόμενης δύναμης.
Σωστή απάντηση: Η εργασία που εκτελείται είναι περίπου 84,85 J.
Η εργασία είναι μια βαθμιαία ποσότητα που λαμβάνεται από το προϊόν της δύναμης και της μετατόπισης. Εάν η δύναμη δεν έχει την ίδια κατεύθυνση με την μετατόπιση, πρέπει να αποσυνθέσουμε αυτήν τη δύναμη και να λάβουμε υπόψη μόνο το εξάρτημα προς αυτήν την κατεύθυνση.
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το μέγεθος της δύναμης με το συνημίτονο της γωνίας.
Έτσι έχουμε:
Άσκηση 8
Μεταξύ δύο βουνών, οι κάτοικοι δύο χωριών έπρεπε να ταξιδέψουν σκληρά πάνω και κάτω. Για την επίλυση της κατάστασης, αποφασίστηκε ότι θα κατασκευαζόταν μια καλωδιακή γέφυρα μεταξύ των χωριών Α και Β.
Θα ήταν απαραίτητο να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ των δύο χωριών με την ευθεία γραμμή στην οποία θα τεντώνεται η γέφυρα. Καθώς οι κάτοικοι γνώριζαν ήδη το ύψος των πόλεων και τις γωνίες ανάβασης, αυτή η απόσταση θα μπορούσε να υπολογιστεί.
Με βάση το παρακάτω διάγραμμα και γνωρίζοντας ότι το ύψος των πόλεων ήταν 100 μέτρα, υπολογίστε το μήκος της γέφυρας.
Σωστή απάντηση: Η γέφυρα πρέπει να έχει μήκος περίπου 157,73 μέτρα.
Το μήκος της γέφυρας είναι το άθροισμα των πλευρών που γειτνιάζουν με τις δεδομένες γωνίες. Καλώντας το ύψος h, έχουμε:
Υπολογισμός με γωνία 45 °
Υπολογισμός με γωνία 60 °
Για να προσδιορίσουμε το μήκος της γέφυρας, αθροίζουμε τις ληφθείσες τιμές.
ερώτηση 1
Cefet - SP
Στο τρίγωνο ABC παρακάτω, CF = 20 cm και BC = 60 cm. Σημειώστε τις μετρήσεις των τμημάτων AF και BE αντίστοιχα.
α) 5, 15
β) 10, 20
γ) 15, 25
δ) 20, 10
ε) 10, 5
Απάντηση: β) 10, 20
Για τον προσδιορισμό AF
Σημειώνουμε ότι AC = AF + CF, οπότε πρέπει:
AF = AC - CF (εξίσωση 1)
Το CF δίνεται από το πρόβλημα, που είναι ίσο με 20 cm.
Το AC μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ημίτονο 30 °.
Το BC παρέχεται από το πρόβλημα, που είναι ίσο με 60 cm.
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση 1, έχουμε:
Για να προσδιορίσετε το BE
Πρώτη παρατήρηση:
Επαληθεύουμε ότι το σχήμα μέσα στο τρίγωνο είναι ορθογώνιο, λόγω των ορθών γωνιών που καθορίζονται στο σχήμα.
Επομένως, οι πλευρές τους είναι παράλληλες.
Δεύτερη παρατήρηση:
Το τμήμα BE σχηματίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30 ° όπου: το ύψος είναι ίσο με το AF, το οποίο μόλις προσδιορίσαμε και το BE είναι η υποτείνουσα.
Πραγματοποίηση του υπολογισμού:
Χρησιμοποιούμε 30 ° ημίτονο για τον προσδιορισμό του BE
Ερώτηση 2
EPCAR-MG
Ένα αεροπλάνο απογειώνεται από το σημείο Β υπό σταθερή κλίση 15 ° προς την οριζόντια. 2 χλμ. Από το Β είναι η κατακόρυφη προβολή C του υψηλότερου σημείου D μιας οροσειράς ύψους 600 μέτρων, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Δεδομένα: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Είναι σωστό να πούμε ότι:
α) Το αεροπλάνο δεν θα συγκρουστεί με το πριόνι πριν φτάσει σε ύψος 540 μ.
β) Θα υπάρξει σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του πριονιού σε ύψος 540 μ.
γ) Το αεροπλάνο θα συγκρουστεί με το πριόνι στο D.
δ) Εάν το επίπεδο απογειωθεί 220 μέτρα πριν από το Β, διατηρώντας την ίδια κλίση, δεν θα υπάρξει σύγκρουση του επιπέδου με το πριόνι.
Απάντηση: β) Θα υπάρξει σύγκρουση μεταξύ του επιπέδου και του πριονιού σε ύψος 540 μ.
Πρώτον, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε το ίδιο πολλαπλάσιο της μονάδας μέτρησης μήκους. Επομένως, θα διανύσουμε 2 χλμ. Έως 2000 μ.
Ακολουθώντας τις ίδιες αρχικές συνθήκες πτήσης, μπορούμε να προβλέψουμε το ύψος στο οποίο το αεροπλάνο θα βρίσκεται στην κατακόρυφη προβολή του σημείου Γ.
Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη 15 ° και ορίζοντας το ύψος ως h, έχουμε:
ερώτηση 3
ΕΝΕΜ 2018
Για να διακοσμήσετε έναν ευθύ κυκλικό κύλινδρο, θα χρησιμοποιηθεί μια ορθογώνια λωρίδα από διαφανές χαρτί, στην οποία μια διαγώνια που σχηματίζει 30 ° με το κάτω άκρο σχεδιάζεται με έντονη γραφή. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου μετρά 6 / π cm, και όταν τυλίγεται η λωρίδα, λαμβάνεται μια γραμμή σε σχήμα έλικα, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Η τιμή της μέτρησης του ύψους του κυλίνδρου, σε εκατοστά, είναι:
α) 36√3
β) 24√3
γ) 4√3
δ) 36
ε) 72
Απάντηση: β) 24√3
Παρατηρώντας το σχήμα παρατηρούμε ότι έγιναν 6 στροφές γύρω από τον κύλινδρο. Δεδομένου ότι είναι ένας ευθείος κύλινδρος, οπουδήποτε στο ύψος του θα έχουμε έναν κύκλο ως βάση.
Για τον υπολογισμό του μέτρου της βάσης του τριγώνου.
Το μήκος ενός κύκλου μπορεί να ληφθεί από τον τύπο:
Όπου r είναι η ακτίνα e, ίση με ,έχουμε:
Πώς είναι 6 γύροι:
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μαύρισμα 30 ° για να υπολογίσουμε το ύψος.
ερώτηση 4
ΕΝΕΜ 2017
Οι ακτίνες του ήλιου φτάνουν στην επιφάνεια μιας λίμνης σε γωνία Χ με την επιφάνειά της, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Υπό ορισμένες συνθήκες, μπορεί να υποτεθεί ότι η φωτεινή ένταση αυτών των ακτίνων, στην επιφάνεια της λίμνης, δίνεται περίπου από το I (x) = k. sin (x), k είναι σταθερά και υποθέτοντας ότι το Χ είναι μεταξύ 0 ° και 90 °.
Όταν x = 30º, η φωτεινή ένταση μειώνεται σε ποιο ποσοστό της μέγιστης τιμής του;
Α) 33%
Β) 50%
Γ) 57%
Δ) 70%
Ε) 86%
Απάντηση: B) 50%
Αντικαθιστώντας την τιμή ημιτονοειδούς 30 ° στη συνάρτηση, λαμβάνουμε:
Έχοντας μειώσει την τιμή του k κατά το ήμισυ, η ένταση είναι 50%.
Εξασκηθείτε σε περισσότερες ασκήσεις σε:
Ασκήσεις τριγωνομετρίας
Επεκτείνετε τις γνώσεις σας με:
Τριγωνομετρία στο σωστό τρίγωνο
Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο
Τριγωνομετρία
