Πρωταρχικοί αριθμοί: τι είναι και πώς να τα βρείτε;

καλούμε πρώτος αριθμός ένα φυσικός αριθμός τι έχει δύο διαχωριστικά: 1 και ο ίδιος. Για να βρεθούν πρώτοι αριθμοί, αναπτύχθηκε το κόσκινο του Ερατοσθένη. Όταν ένας αριθμός δεν είναι πρωταρχικός, μπορούμε να τον γράψουμε ως πολλαπλασιασμό των πρωταρχικών αριθμών, μια διαδικασία που ονομάζεται παραγοντοποίηση.

Διαβάστε επίσης: Ποια είναι η τιμή ενός ψηφίου;

Πώς ξέρετε εάν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός;

Η αναζήτηση πρώτων αριθμών είναι αρκετά συχνή στα Μαθηματικά. Όταν διαιρούμε έναν αριθμό με τον άλλο και το αποτέλεσμα είναι ακριβές, δηλαδή δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο, αυτός ο αριθμός ονομάζεται διαιρέτης. Για να προσδιορίσουμε εάν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός ή όχι, πρέπει να γνωρίζουμε ποιοι είναι οι διαιρέτες αυτού του αριθμού. Εάν αυτός ο αριθμός έχει ακριβώς δύο διαβήτης: 1 και ο ίδιος, είναι ξάδελφος. αλλιώς δεν είναι πρωταρχικό.

Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος όταν έχει ακριβώς δύο διαιρέτες, 1 και τον εαυτό του.

• Παράδειγμα

Ο αριθμός 12 δεν είναι πρωταρχικός, καθώς οι αριθμοί που διαιρούν το 12 είναι:

D (12) = 1,2,3,4,6 και 12

Ο αριθμός 17 είναι πρώτος, καθώς οι διαιρέτες των 17 είναι:

D (17) = 1,17.

Οι πρωταρχικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για διάφορους σκοπούς στα Μαθηματικά.

Κόσκινο του Ερατοσθένη

Η εύρεση πρώτων αριθμών δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση. Ο μέθοδος Το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο για αυτό το έργο είναι το κόσκινο του Ερατοσθένη, το οποίο σας επιτρέπει να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς μεταξύ δύο αριθμών.

Για παράδειγμα, ας βρούμε τους πρώτους αριθμούς από 1 έως 100 χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο.

Θα απαριθμήσουμε όλους τους αριθμούς από 1 έως 100 με οργανωμένο τρόπο. Κοίτα:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Γνωρίζουμε ότι 1 έχει μόνο 1 διαιρέτη, οπότε δεν είναι πρωταρχικός. Γνωρίζουμε επίσης ότι το 2 έχει 2 διαιρέτες, το 1 και το ίδιο, έτσι το 2 είναι πρωταρχικό. Τώρα οι άλλοι αριθμοί ζευγών είναι όλοι διαιρούμενοι με 2, οπότε δεν είναι prime. Ας επισημάνουμε λοιπόν όλους τους άλλους ζυγούς αριθμούς και τον αριθμό 1 στη λίστα.

Από τους αριθμούς που μένουν μαύρα, γνωρίζουμε ότι το 3 έχει μόνο δύο διαιρέτες, οπότε είναι πρωταρχικό. Ωστόσο, οι αριθμοί πολλαπλασιάζεται από 3, όπως τα 6,9,12,15…, δεν είναι prime. Τώρα θα επισημάνουμε όλους τους αριθμούς πολλαπλάσιο των 3 που παραμένουν στη λίστα.

Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός 5 είναι πρωταρχικός, αλλά τα πολλαπλάσια των 5 (που είναι αριθμοί που τελειώνουν σε 5 ή 0) δεν είναι, καθώς το 5 είναι διαιρέτης αυτών των αριθμών. Ας σημειώσουμε λοιπόν και αυτούς τους αριθμούς.

Ο αριθμός 7 είναι πρώτος. Χρησιμοποιώντας την ίδια συλλογιστική, θα επισημάνουμε τα πολλαπλάσια των 7 που δεν έχουν επισημανθεί ακόμη.

Τώρα γνωρίζοντας ότι το 11 είναι πρωταρχικό, ας ψάξουμε για τους αριθμούς πολλαπλάσιο των 11, καθώς δεν υπάρχει αριθμός πολλαπλάσιο των 11, ξέρουμε ότι έχουμε τελειώσει το κόσκινο.

Οι υπόλοιποι αριθμοί είναι prime, οπότε οι πρώτοι από το 1 έως το 100 είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 και 97.

Παρατήρηση: Αν θέλουμε να βρούμε τους πρώτους μεταξύ μεγαλύτερων αριθμών, όπως τους πρώτους από 1 έως 200 ή από 1 έως 500, το Η διαδικασία θα συνεχιστεί έως ότου βρούμε έναν πρωταρχικό αριθμό που δεν έχει πολλαπλά για να απεργήσει στο τραπέζι.

Δείτε επίσης: Κριτήρια διαιρετότητας - διαδικασίες που διευκολύνουν τη λειτουργία διαίρεσης

Παραγοντοποίηση

Ένας αριθμός που δεν είναι πρωταρχικός μπορεί να ληφθεί υπόψη, δηλαδή μπορούμε να εκτελέσουμε αυτό που ονομάζουμε πρωταρχική αποσύνθεση παράγοντα. Αυτή η διαδικασία είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό του MMC είναι το MDC.

Για να κάνουμε την αποσύνθεση, θα κάνουμε διαδοχικές διαιρέσεις του αριθμού μέχρι να πάρουμε 1.

• Παράδειγμα

Έτσι, η αποσύνθεση των 72 σε πρωταρχικούς παράγοντες είναι 2³.32.

Πρωταρχικοί αριθμοί από 1 έως 1000

Γνωρίστε όλους τους πρώτους αριθμούς που υπάρχουν μεταξύ 1 και 1000.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43
47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107
109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521
523	541	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887
907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

λύσεις ασκήσεις

Ερώτηση 1 - Είναι η πρωταρχική αποσύνθεση του παράγοντα του αριθμού 720 ίση με;

Α) 2³. 3². 5

Β) 2². 3³. 5

Γ) 2. 3. 5

Δ) 2². 3. 5³

Ανάλυση

Εναλλακτική Α.

Εκτελώντας την παραγοντοποίηση, πρέπει:

Ερώτηση 2 -Ελέγξτε τη σωστή δήλωση:

Α) Κάθε περίεργος αριθμός είναι πρώτος.

Β) Κάθε ζυγός αριθμός δεν είναι πρώτος.

C) 2 είναι ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος.

D) 9 είναι ο μόνος περίεργος αριθμός που δεν είναι πρώτος.

Ανάλυση

Εναλλακτική Γ.
α) Ψευδές, καθώς υπάρχουν περίεργοι αριθμοί και μη αριθμοί πρώτων. Για παράδειγμα, το 3 είναι πρωταρχικό, αλλά το 15 δεν είναι.

β) Λάθος, καθώς υπάρχει ένας ενιαίος ζυγός αριθμός που είναι πρωταρχικός, ο αριθμός 2.

γ) Είναι αλήθεια, καθώς το 2 είναι ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος.

δ) Λάθος, καθώς υπάρχουν πολλοί άλλοι περίεργοι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι, όπως 15, 21, 39, μεταξύ άλλων.