Ο σύνολο παράλογων αριθμών σχηματίζεται από τους αριθμούς που δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσματα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το σύνολο των λογικών αριθμών δεν ήταν αρκετό για την επίλυση προβλημάτων, τότε παρατηρήθηκε η ύπαρξη παράλογων αριθμών, όπως τις ανακριβείς ρίζες, τα μη περιοδικά δέκατα,το π, μεταξύ άλλων.
Διαβάστε επίσης: Ποια είναι η τιμή ενός ψηφίου;
Σύνολο παράλογων αριθμών
Σε όλη την ιστορία, στην εφαρμογή του Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα δεξί τρίγωνο πλευρών διαμέτρου 1, η απάντηση βρέθηκε να είναι ίση με τη ρίζα του αριθμού 2.
Αποδεικνύεται ότι αυτή η φαινομενικά απλή απάντηση κατέστησε δυνατή την ανακάλυψη μιας νέας αριθμητικό σύνολο. Σε μια προσπάθεια να βρούμε την απάντηση σε αυτό πηγή τετράγωνο από 2, βρήκε ένα δεκαδικός αριθμός γνωστός ως μη περιοδικό δέκατο, τι είναι αδύνατο να εκπροσωπηθεί ως κλάσμα. Αυτό κατέστησε απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα νέο σύνολο, οι παράλογοι, καθώς, μέχρι εκείνη τη στιγμή, όλοι οι αριθμοί ήταν λογικοί (που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα).
Το σύνολο των παράλογων αριθμών αποτελείται από όλους τους αριθμούς που όχι μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος. |
Τι είναι οι παράλογοι αριθμοί;
Για να θεωρηθεί ένας αριθμός παράλογος, πρέπει να σέβεται τον ορισμό, δηλαδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Αυτοί οι αριθμοί είναι οι ανακριβείς ρίζες, στις μη περιοδικά δέκατα και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, όπως η σταθερά π (read: pi) ή ο αριθμός ɸ (read: fi), μεταξύ άλλων.
Οι ρίζες δεν είναι ακριβείς
Όταν ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο, είναι γνωστός ως μη ακριβής ρίζα. Δείτε μερικά παραδείγματα:
μη περιοδικά δέκατα
Κατά την επίλυση αυτών των ριζών, η απάντηση θα είναι πάντα μια προσέγγιση, αυτό που ονομάζουμε μη περιοδικά δέκατα.
Σημειώστε ότι το δεκαδικό μέρος είναι άπειρο και ότι δεν υπάρχει περίοδος, δηλαδή, μια ακολουθία που προκαλεί το μπορούμε να προβλέψουμε τον επόμενο αριθμό στο δεκαδικό μέρος και γι 'αυτό ονομάζουμε αυτόν τον αριθμό δεκαδικό όχι περιοδικός. Όχι μόνο τα δεκαδικά ψηφία που δημιουργούνται από ανακριβείς ρίζες, αλλά οποιοδήποτε μη περιοδικό δεκαδικό είναι ένας παράλογος αριθμός.
άλλους παράλογους αριθμούς
• Αριθμός π: είναι αρκετά κοινό για υπολογισμούς που περιλαμβάνουν καμπύλες όπως η περιοχή και το μήκος του περιφέρεια ή όγκος κυλίνδρων και κώνους, και είναι ένας από τους πιο γνωστούς παράλογους αριθμούς. Επειδή είναι παράλογο, χρησιμοποιούμε ένα σύμβολο για να το αντιπροσωπεύσουμε, αλλά το π είναι ένα μη περιοδικό δεκαδικό, είναι δικό σας αξία ισούται με 3.14159265358979323846… Είναι γνωστά πολλά μέρη αυτού του αριθμού, αλλά συνήθως χρησιμοποιούμε μια προσέγγιση, με την τιμή 3,14.
• Αριθμός ɸ: είναι επίσης γνωστό ως χρυσός αριθμός και έχει μελετηθεί από την Αρχαιότητα, περιγράφοντας διάφορα φυσικά φαινόμενα, όπως η αναπαραγωγή πληθυσμών κουνελιών. Υπάρχει επίσης μια έκθεση σχετικά με τη χρήση αυτής της αναλογίας σε καλλιτεχνικά έργα. Είναι επίσης ένας παράλογος αριθμός και έτσι αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ɸ, η αξία του είναι: 1,61803398875…
• Σταθερά του Euler: χρησιμοποιείται για φαινόμενα που αφορούν οικονομικά μαθηματικά, και στους τομείς της βιολογίας, της αστρονομίας, μεταξύ άλλων. Είναι επίσης ένας παράλογος αριθμός και ως εκ τούτου αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο και, με τιμή: 2.718281828459045235360…
Δείτε επίσης: Πρωταρχικοί αριθμοί - φυσικός αριθμός που έχει μόνο δύο διαχωριστικά
λογικός και παράλογος αριθμός
Αποδεικνύεται ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να ταξινομηθεί ως λογικός ή παράλογος. Κατευθείαν, Ο ρητός αριθμός είναι κάθε αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Ακριβώς δεκαδικά, περιοδικά δεκαδικά, ακέραιοι αριθμοί είναι λογικοί αριθμοί. Οι παράλογοι αριθμοί, από την άλλη πλευρά, είναι το αντίθετο από αυτό, δηλαδή είναι αυτοί που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα, όπως αναφέραμε, είναι μη περιοδικά δεκαδικά και μη ακριβείς ρίζες.
- Παράδειγμα
Το δεκάτο 3.12121212... είναι περιοδικό, σημειώστε ότι στο δεκαδικό του μέρος υπάρχει μια τελεία, η οποία είναι ο αριθμός 12, η οποία επαναλαμβάνεται πάντα, επομένως, αυτός ο αριθμός είναι λογικός.
Το 6.149375 δέκατο…. είναι μη περιοδικός, σημειώστε ότι δεν υπάρχει τελεία στο δεκαδικό μέρος της, που κάνει αυτόν τον αριθμό παράλογος.
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς μπορούν να ταξινομηθούν ως παράλογοι;
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
α) Γνωρίζουμε ότι το 25 είναι ένα τέλειο τετράγωνο, δηλαδή, η τετραγωνική του ρίζα είναι ακριβώς ίση με το 5, οπότε αυτός είναι ένας λογικός αριθμός.
β) Κατά τον υπολογισμό της ρίζας του 81, γνωρίζουμε ότι το αποτέλεσμα είναι 9, γεγονός που καθιστά τον αριθμό λογικό.
γ) Το 10 δεν έχει ακριβή τετραγωνική ρίζα, δηλαδή είναι παράλογος αριθμός, ο οποίος κάνει την εναλλακτική Γ σωστή.
δ) Το 5.1888 είναι ένας ακριβής δεκαδικός αριθμός, οπότε είναι λογικός.
ε) 1.2323… είναι το δέκατο με περίοδο ίση με 23, οπότε είναι λογικός αριθμός.
Ερώτηση 2 - Σχετικά με τους παράλογους αριθμούς, κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις ως αληθείς ή ψευδείς:
I - Κάθε τετραγωνική ρίζα είναι ένας παράλογος αριθμός.
II - Κάθε μη περιοδικό δεκαδικό είναι παράλογος αριθμός.
III - Ο αριθμός ɸ και ο αριθμός π είναι παραδείγματα παράλογων αριθμών.
Σύμφωνα με την κρίση των ποινών, είναι σωστό να δηλώνεται ότι:
α) Μόνο η δήλωση I είναι αλήθεια.
β) Αληθεύει μόνο η δήλωση II.
γ) Μόνο οι δηλώσεις II και III είναι αληθείς.
δ) Μόνο οι δηλώσεις I και II είναι αληθείς.
ε) Όλες οι δηλώσεις είναι αληθείς.
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Εγώ - Λάθος, καθώς μόνο η μη ακριβής τετραγωνική ρίζα είναι ένας παράλογος αριθμός.
II - Αλήθεια. Τα μη περιοδικά δεκαδικά είναι παράλογοι αριθμοί.
III - Αλήθεια, δεδομένου ότι οι αριθμοί ɸ και π είναι μη περιοδικά δεκαδικά, επομένως, είναι παράλογοι αριθμοί.
