Βήμα προς βήμα κατασκευή του γραφήματος της λειτουργίας δεύτερου βαθμού

Στο δημοτικό σχολείο, λειτουργίες είναι μαθηματικοί τύποι που συσχετίζουν κάθε αριθμό σε ένα αριθμητικό σύνολο (ο τομέας) με έναν μόνο αριθμό που ανήκει σε ένα άλλο σύνολο (ο αντίθετος τομέας). Όταν αυτός ο τύπος είναι α εξίσωση δεύτερου βαθμού, έχουμε ένα Λειτουργία γυμνασίου.

Οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν από γεωμετρικά σχήματα των οποίων οι ορισμοί συμπίπτουν με τους μαθηματικούς τους τύπους. Αυτή είναι η περίπτωση της ευθείας γραμμής, που αντιπροσωπεύει συναρτήσεις του πρώτου βαθμού, και το παραβολή, που αντιπροσωπεύει συναρτήσεις του δεύτερου βαθμού. Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα ονομάζονται γραφικά.

Η κεντρική ιδέα της αναπαράστασης της συνάρτησης από ένα γράφημα

Για γράφετε μια συνάρτηση, είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί ποιο στοιχείο του τομέα αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του τομέα και να τα επισημάνετε, ένα προς ένα, σε καρτεσιανό επίπεδο. Όταν σημειωθούν όλοι αυτοί οι βαθμοί, το αποτέλεσμα θα είναι μόνο το γράφημα μιας συνάρτησης.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το λειτουργίες γυμνασίου

, ορίζονται συνήθως σε έναν τομέα ίσο με ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Αυτό το σετ είναι άπειρο και, επομένως, είναι αδύνατο να επισημάνετε όλα τα σημεία του σε ένα καρτεσιανό επίπεδο. Έτσι, η εναλλακτική λύση είναι να σχεδιάσετε ένα γράφημα που μπορεί να αντιπροσωπεύει εν μέρει την αξιολογημένη συνάρτηση.

Πρώτα απ 'όλα, να θυμάστε ότι οι λειτουργίες δεύτερου βαθμού έχουν την ακόλουθη μορφή:

y = τσεκούρι² + bx + γ

Επομένως, παρουσιάζουμε πέντε βήματα που καθιστούν δυνατή τη δημιουργία ενός γραφήματος λειτουργίας δεύτερου βαθμού, ακριβώς όπως αυτά που απαιτούνται στο Γυμνάσιο.

Βήμα 1 - Συνολική αξιολόγηση εργασίας

Υπάρχουν μερικοί δείκτες που σας βοηθούν να μάθετε εάν ακολουθείται η σωστή διαδρομή κατά την κατασκευή του γράφημα λειτουργίας γυμνασίου.

I - Ο συντελεστής "a" του α Λειτουργία γυμνασίου δηλώνει την κοιλότητά του, δηλαδή εάν> 0, η παραβολή θα είναι προς τα πάνω και θα έχει ένα ελάχιστο σημείο. Εάν ένα <0, η παραβολή θα είναι κάτω και θα έχει ένα μέγιστο σημείο.

II) Το πρώτο σημείο Α του γράφημα μιας παραβολής μπορεί να ληφθεί εύκολα μόνο αν κοιτάξουμε την τιμή του συντελεστή «c». Έτσι, A = (0, c). Αυτό συμβαίνει όταν x = 0. Παρακολουθώ:

y = τσεκούρι² + bx + γ

y = α · 0² + β · 0 + γ

y = γ

Βήμα 2 - Βρείτε τις συντεταγμένες κορυφών

η κορυφή του α παραβολή είναι το μέγιστο (αν είναι <0) ή το ελάχιστο (αν είναι> 0) σημείο. Μπορεί να βρεθεί αντικαθιστώντας τις τιμές των συντελεστών "a", "b" και "c" στους τύπους:

Χ_β = - Β
2ος

γ_β = –∆
4ος

Έτσι, η κορυφή V δίνεται από τις αριθμητικές τιμές του x_β και γ_β και μπορεί να γραφτεί ως εξής: V = (x_βεε_β).

Βήμα 3 - Τυχαία σημεία στο γράφημα

Είναι πάντα καλό να υποδεικνύετε ορισμένα τυχαία σημεία των οποίων οι τιμές που αποδίδονται στη μεταβλητή x είναι μεγαλύτερες και μικρότερες από x_β. Αυτό θα σας δώσει σημεία πριν και μετά την κορυφή και θα διευκολύνει τη σχεδίαση του γραφήματος.

Βήμα 4 - Εάν είναι δυνατόν, προσδιορίστε τις ρίζες

Όταν υπάρχουν, οι ρίζες μπορούν (και πρέπει) να συμπεριληφθούν στο σχεδιασμό του γράφημα συνάρτησης του δεύτερου βαθμού. Για να τα βρείτε, ορίστε y = 0 για να πάρετε μια τετραγωνική εξίσωση που μπορεί να λυθεί με τον τύπο του Bhaskara. να θυμάστε ότι λύσει μια τετραγωνική εξίσωση είναι ίδια με την εύρεση των ριζών της.

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

Ο Φόρμουλα Bhaskara εξαρτάται από τον τύπο του διακριτικού. Είναι αυτοί:

x = - β ± √Δ
2ος

Δ = β² - 4ac

Βήμα 5 - Σημειώστε όλα τα σημεία που αποκτήθηκαν στο καρτεσιανό επίπεδο και συνδέστε τα μαζί, για να δημιουργήσετε μια παραβολή

Να θυμάστε ότι το καρτεσιανό επίπεδο αποτελείται από δύο κάθετες γραμμές αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι, εκτός από το να περιέχουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς, αυτές οι γραμμές σχηματίζουν γωνία 90 °.

Παράδειγμα καρτεσιανού σχεδίου και παράδειγμα παραβολής.

Παράδειγμα

Σχεδιάστε τη συνάρτηση δεύτερου βαθμού y = 2x² - 6x.

Λύση: Σημειώστε ότι οι συντελεστές αυτής της παραβολής είναι a = 2, b = - 6 και c = 0. Με αυτόν τον τρόπο, από το βήμα 1, μπορούμε να πούμε ότι:

1 - Η παραβολή θα είναι επάνω, ως 2 = a> 0.

2 - Ένα από τα σημεία αυτής της παραβολής, που αντιπροσωπεύεται από το γράμμα Α, δίνεται από τον συντελεστή γ. Σύντομα, Α = (0,0).

με το βήμα 2, παρατηρούμε ότι η κορυφή αυτής της παραβολής είναι:

Χ_β = - Β
2ος

Χ_β = – (– 6)
2·2

Χ_β = 6
4

Χ_β = 1,5

γ_β = – ∆
4ος

γ_β = – (ΣΙ² - 4 · α · γ)
4ος

γ_β = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

γ_β = – (36)
8

γ_β = – 36
8

γ_β = – 4,5

Επομένως, οι συντεταγμένες κορυφών είναι: V = (1,5, - 4,5)

Χρησιμοποιώντας το βήμα 3, θα επιλέξουμε μόνο δύο τιμές για τη μεταβλητή x, μία μεγαλύτερη και μία μικρότερη από x_β.

Εάν x = 1,

y = 2χ² - 6x

y = 2 · 1² – 6·1

y = 2 · 1 - 6

y = 2 - 6

y = - 4

Εάν x = 2,

y = 2χ² - 6x

y = 2 · 2² – 6·2

y = 2 · 4 - 12

y = 8 - 12

y = - 4

Επομένως, τα δύο σημεία που λαμβάνονται είναι B = (1, - 4) και C = (2, - 4)

Γούνα βήμα 4, το οποίο δεν χρειάζεται να γίνει εάν η συνάρτηση δεν έχει ρίζες, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Δ = β² - 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = - β ± √Δ
2ος

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x '= 12
4

x '= 3

x "= 6 – 6
4

x "= 0

Επομένως, τα σημεία που λαμβάνονται μέσω των ριζών, λαμβάνοντας υπόψη ότι, για να ληφθούν x = 0 και x = 3, ήταν απαραίτητο να οριστεί το y = 0, είναι: A = (0, 0) και D = (3, 0).

Με αυτό, έχουμε έξι βαθμούς για να σχεδιάσουμε το γράφημα της συνάρτησης y = 2x² - 6x. Τώρα απλώς εκπληρώστε το βήμα 5 για να το χτίσετε σίγουρα.

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά