Ο νόμιμος συνημίτονος είναι τριγωνομετρική σχέση χρησιμοποιείται για τη σχέση πλευρών και γωνίες σε ένα τρίγωνο οποιοδήποτε, δηλαδή, αυτό το τρίγωνο που δεν έχει απαραίτητα σωστή γωνία. Σημειώστε το ακόλουθο τρίγωνο ABC με τα μέτρα που επισημαίνονται:
Ο νόμοςΑπόσυνημίτονα μπορεί να δοθεί από ένα από τα ακόλουθα εκφράσεις:
ο2 = β2 + γ2 - 2 · b · c · cosα
σι2 = το2 + γ2 - 2 · α · c · cosβ
ντο2 = β2 + το2 - 2 · β · α · cosθ
Παρατήρηση: Δεν είναι απαραίτητο να απομνημονεύσετε αυτούς τους τρεις τύπους. Απλά ξέρετε ότι το νόμοςΑπόσυνημίτονα μπορεί πάντα να κατασκευαστεί. Σημειώστε, στην πρώτη έκφραση, ότι το α είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά της οποίας το μέτρο δίνεται από ο. Ξεκινάμε τον τύπο με το τετράγωνο στην αντίθετη πλευρά της γωνίας που θα χρησιμοποιηθεί στους υπολογισμούς. Θα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, μείον το διπλάσιο του προϊόντος των δύο πλευρών που δεν είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία από το συνημίτονο του α.
Με αυτόν τον τρόπο, οι τρεις παραπάνω τύποι μπορούν να μειωθούν σε:
ο2 = β2 + γ2 - 2 · b · c · cosα
Εφ 'όσον γνωρίζουμε ότι "Ο" είναι η μέτρηση στην αντίθετη πλευρά του "α" και ότι "b" και "c" είναι οι μετρήσεις των άλλων δύο πλευρών του τρίγωνο.
Επίδειξη
Δεδομένου του τρίγωνο Οποιοδήποτε ABC, με τα μέτρα που επισημαίνονται στο παρακάτω σχήμα:
Εξετάστε τα τρίγωνα ABD και BCD που σχηματίζονται από το ύψος BD του τριγώνου ABC. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABD, θα έχουμε:
ντο2 = x2 + ω2
Η2 = γ2 - Χ2
Χρησιμοποιώντας το ίδιο θεώρημα για το τρίγωνο BCD, θα έχουμε:
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
ο2 = ε2 + ω2
Η2 = το2 - ε2
Γνωρίζοντας ότι υπάρχει2 = γ2 - Χ2, θα έχουμε:
ντο2 - Χ2 = το2 - ε2
ντο2 - Χ2 + ε2 = το2
ο2 = γ2 - Χ2 + ε2
Σημείωση στην εικόνα του τρίγωνο όπου b = x + y, όπου y = b - x. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στο αποτέλεσμα που αποκτήθηκε προηγουμένως, θα έχουμε:
ο2 = γ2 - Χ2 + ε2
ο2 = γ2 - Χ2 + (β - x)2
ο2 = γ2 - Χ2 + β2 - 2bx + x2
ο2 = γ2 + β2 - 2bx
Ακόμα κοιτάζοντας το σχήμα, παρατηρήστε ότι:
cosα = Χ
ντο
c · cosα = x
x = c · cosα
Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην προηγούμενη έκφραση, θα έχουμε:
ο2 = γ2 + β2 - 2bx
ο2 = γ2 + β2 - 2b · c · cosα
Αυτή είναι ακριβώς η πρώτη από τις τρεις εκφράσεις που παρουσιάζονται παραπάνω. Τα άλλα δύο μπορούν να ληφθούν ανάλογα με αυτό.
Παράδειγμα - Στο τρίγωνο στη συνέχεια υπολογίστε το μέτρο του x.
Λύση:
Χρησιμοποιώντας το νόμοςΑπόσυνημίτονα, σημειώστε ότι το x είναι η μέτρηση της πλευράς απέναντι από τη γωνία 60 °. Επομένως, ο πρώτος "αριθμός" που εμφανίζεται στη λύση πρέπει να είναι:
Χ2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
Χ2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
Χ2 = 200 - 200 · cos60 °
Χ2 = 200 – 200·1
2
Χ2 = 200 – 100
Χ2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Καθώς δεν υπάρχουν αρνητικά μήκη, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μόνο η θετική τιμή, δηλαδή x = 10 cm.
από τον Luiz Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Τι είναι ο νόμος των συνημίτων;"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.
