Ποιος είναι ο νόμος των ημιτονοειδών;

Όταν είναι απαραίτητο να συσχετιστεί μια πλευρά με ένα γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο για να βρούμε τις μετρήσεις μιας από τις πλευρές του ή μιας από τις γωνίες του, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τριγωνομετρικές σχέσεις: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένος. Είναι επίσης δυνατό να υπολογιστεί το μέτρο μιας από τις πλευρές ή μιας από τις γωνίες του a τρίγωνοόποιος, δηλαδή, όχι απαραίτητα από ένα σωστό τρίγωνο. Για αυτό, μία από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται είναι η νόμος για τις αμαρτίες.

νόμος για τις αμαρτίες

Πάρτε για παράδειγμα το τρίγωνο ABC, εγγεγραμμένος σε ένα περιφέρεια ακτίνας r.

Σε μια τέτοια περίπτωση, οι πλευρές και γωνίες έχουν οποιαδήποτε μέτρα. Έτσι έχουμε:

ο = σι = ντο = 2r
sinα sinβ sinθ

Σε αυτό το τρίγωνο, a, b, και c είναι οι μετρήσεις των πλευρών του. Τα α, β και θ είναι οι εσωτερικές τους γωνίες και το ημι από αυτές τις γωνίες έχουν τις ίδιες τιμές με τα ημίτονα που βρίσκονται στο τραπέζιατριγωνομετρικό.

αρχικά κλάσμα, a είναι το μέτρο στην αντίθετη πλευρά του sinα. στο δεύτερο κλάσμα, το b είναι το μέτρο απέναντι από το sinβ, και στο τρίτο κλάσμα, σημειώστε ότι το c είναι το μέτρο απέναντι από το sinθ. Υπάρχει λοιπόν ένα

ποσοστό μεταξύ των αναλογιών που σχηματίζονται από το μέτρο μιας πλευράς και του ημιτονοειδούς του γωνία αντίθετο με αυτό το μέτρο.

Σημειώστε επίσης ότι καθεμία από αυτές τις αναλογίες ισούται με τη διάμετρο του κύκλου που περιγράφει το τρίγωνο.

Τις περισσότερες φορές είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το μέτρο μιας πλευράς ενός τριγώνου, γνωρίζοντας τις μετρήσεις από μια γωνία απέναντι από αυτήν, από την άλλη πλευρά και από τη γωνία απέναντι από αυτήν την άλλη πλευρά, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ο νόμος για τις αμαρτίες. Αυτός ο νόμος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να βρει το μέτρο μιας από τις γωνίες του α τρίγωνο, εάν γνωρίζουμε τις μετρήσεις από άλλη γωνία και από τις αντίθετες πλευρές αυτών των δύο γωνιών.

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)

Παραδείγματα

1 – Υπολογίστε το μέτρο της πλευράς ΑΒ στο τρίγωνο Επόμενο.

Σημειώστε ότι η πλευρά AB, που αντιπροσωπεύεται από το x, είναι αντίθετη από το γωνία 45 ° και η πλευρά CB, η οποία μετρά 10 cm, είναι απέναντι από τη γωνία 30 °. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμοςΑπόημι:

ο = σι
sinα sinβ

Χ =  10
sen45 sen30

Χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη ιδιότητα των αναλογιών, έχουμε:

x · sen30 = 10 · sen45

Στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικό αξιοσημείωτο, sen45 = √2 / 2 και sen30 = 1/2. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, έχουμε:

Χ = 10√2
22

x = 10√2 εκ

2 – Υπολογίστε την πλευρική μέτρηση CB στο τρίγωνο Επόμενο.

Η πλευρά CB, που αντιπροσωπεύεται από το x, είναι απέναντι από τη γωνία 45 °. Σημειώστε επίσης ότι η πλευρά AB, η οποία έχει διαστάσεις 10 cm, είναι απέναντι από τη γωνία 120 °. Χρησιμοποιώντας το νόμοςΑπόημι, μπορούμε να γράψουμε:

ο = σι
sinα sinβ

Χ = 10
sen45 sen120

x · sen120 = 10 · sen45

Για να συνεχίσετε, θυμηθείτε ότι senx = sin (180 - x), επομένως: sin120 = sin (180 - 120) = sen60. Αντικαθιστώντας την τιμή, έχουμε:

x · sen60 = 10 · sen45

Χ·√3 = 10·√2
22

x · √3 = 10 · √2

x = 10·√2
√3

x = 10√3√2
3

x = 10√6
3

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Ποιος είναι ο νόμος των ημιτονοειδών;"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-lei-dos-senos.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.