Ο περιφέρεια είναι μια επίπεδη γεωμετρική μορφή που σχηματίζεται από ένωση ισοδύναμων σημείων, δηλαδή, έχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται κέντρο. Η μελέτη της περιφέρειας υπάρχει επίσης στο αναλυτική γεωμετρία, στην οποία είναι δυνατόν να συναχθεί μια εξίσωση που την αντιπροσωπεύει.
παρόλο που το κύκλος και περιφέρεια είναι επίπεδες γεωμετρικές μορφές με ορισμένα κοινά στοιχεία, κάτι που συνήθως οδηγεί σε αμφιβολίες, αυτά τα σχήματα παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές, ειδικά όσον αφορά τη διάσταση.
Διαβάστε επίσης: Απόσταση μεταξύ δύο σημείων - μια σημαντική έννοια της αναλυτικής γεωμετρίας
στοιχεία του κύκλου
Σημειώστε την περιφέρεια:
Το σημείο ΝΤΟ λέγεται κέντρο του κύκλουκαι σημειώστε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν σε αυτό. Το τμήμα που ενώνει τα άκρα του κύκλου που διέρχεται από το κέντρο ονομάζεται διάμετρος. Στην προηγούμενη περιφέρεια, τότε πρέπει η διάμετρος είναι το τμήμα AB.
Στο διαιρέστε τη διάμετρο στο μισό, ας πάρουμε την ακτίνα της περιφέρειας, δηλαδή το
ακτίνα (r) ενός κύκλου είναι το τμήμα που ενώνει το κέντρο και το τέλος. Σε αυτήν την περίπτωση, η ακτίνα είναι το τμήμα CB. Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μαθηματική σχέση μεταξύ αυτών των δύο στοιχείων, καθώς η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας.d = 2 · r
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Παράδειγμα
Προσδιορίστε την ακτίνα ενός κύκλου που έχει διάμετρο 40 cm.
Γνωρίζουμε ότι η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας, ως εξής:
μήκος περιφέρειας
Σκεφτείτε έναν κύκλο με ακτίνα μέτρησης r. Ο μήκος ή περίμετρο της περιφέρειας δίνεται από το προϊόν του ντοσταθερό pi (π) με διπλάσια ακτίνα.
Όταν υπολογίζουμε το μήκος ή την περίμετρο ενός κύκλου, καθορίζουμε το μέγεθος της γραμμής πράσινο στο προηγούμενο σχέδιο και για να το κάνετε αυτό, απλώς αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας στον τύπο στον οποίο προχωρά φιγούρα.
Παράδειγμα
Προσδιορίστε το μήκος της περιφέρειας της ακτίνας 5 cm.
Η ακτίνα του κύκλου ισούται με 5 cm, οπότε για να προσδιορίσουμε το μήκος του κύκλου, πρέπει να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στον τύπο.
C = 2πr
C = 2 (3.14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 εκ
Δείτε επίσης: Κατασκευή εγγεγραμμένων πολυγώνων
περιοχή περιφέρειας
Σκεφτείτε έναν κύκλο ακτίνας r. Για να υπολογίσουμε την περιοχή σας, πρέπει πολλαπλασιάστε το τετράγωνο της τιμής της ακτίνας με π.
Όταν υπολογίζουμε την περιοχή του κύκλου, προσδιορίζουμε το επιφανειακό μέτρο, δηλαδή ολόκληρη την περιοχή μέσα στον κύκλο.
- Παράδειγμα
Προσδιορίστε την περιοχή ενός κύκλου που έχει ακτίνα ίση με 4 cm.
Έχουμε ότι η ακτίνα της περιφέρειας είναι ίση με 4 cm, έτσι μπορούμε να αντικαταστήσουμε αυτό το μέτρο στον τύπο για την περιοχή. Κοίτα:
Α = π · r2
Α = 3,14 · (4)2
Α = 3,14 · 16
Υ = 50,24 εκ2
Μειωμένη εξίσωση περιφέρειας
Γνωρίζουμε ότι μπορεί να δημιουργηθεί ένας κύκλος συλλογή σημείων που έχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται προέλευση ή κέντρο. Λοιπόν, σκεφτείτε ένα σταθερό σημείο στο Καρτεσιανό αεροπλάνο Ο (α, β). Το σύνολο σημείων - που αντιπροσωπεύεται από P (x, y) - που είναι η ίδια απόσταση r από αυτό το σταθερό σημείο θα σχηματίσει έναν κύκλο ακτίνας r.
Σημειώστε ότι τα σημεία της μορφής P (x, y) είναι όλα στην ίδια απόσταση από το σημείο O (a, b), δηλαδή, η απόσταση μεταξύ των σημείων O και P είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου, έτσι:
Στο μειωμένη εξίσωση, σημειώστε ότι οι αριθμοί ο και σι είναι οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου και αυτό ρ είναι το μέτρο της ακτίνας.
- Παράδειγμα
Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μέτρο της ακτίνας του κύκλου που έχει μια εξίσωση:
α) (x - 2)2 + (ε - 6)2 = 36
Συγκρίνοντας αυτήν την εξίσωση με τη μειωμένη εξίσωση, έχουμε:
(Χ - ο)2 + (ε - σι)2 = ρ2
(Χ - 2)2 + (ε -6)2 = 36
Δείτε ότι a = 2, b = 6 και r2 = 36. Η μόνη εξίσωση για επίλυση είναι:
ρ2 = 36
r = 6
Επομένως, η συντεταγμένη του κέντρου είναι: O (2, 6) και το μήκος της ακτίνας είναι 6.
β) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
Ομοίως, έχουμε:
(Χ - ο)2 + (ε - σι)2 = ρ2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
α = 5
- b = 3
b = –3
Ενώ η τιμή της ακτίνας δίνεται από:
ρ2 = 121
r = 11
γ) x2 + ε2 = 1
(Χ - ο)2 + (ε - σι)2 = ρ2
Χ2 + ε2 = 1
Σημειώστε ότι x2 = (x + 0)2 και γ2 = (y + 0)2 . Πρέπει λοιπόν:
(Χ - ο)2 + (ε - σι)2 = ρ2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Επομένως, η συντεταγμένη του κέντρου είναι O (0, 0) και η ακτίνα είναι ίση με 1.
Επίσης πρόσβαση: Πώς να βρείτε το κέντρο ενός κύκλου;
γενική εξίσωση του κύκλου
Για να προσδιορίσουμε τη γενική εξίσωση του κύκλου, πρέπει αναπτύξτε τη μειωμένη εξίσωση αυτήν. Έτσι, σκεφτείτε έναν κύκλο που έχει ένα κέντρο στις συντεταγμένες O (a, b) και ακτίνα r.
Αρχικά, θα αναπτύξουμε τους όρους τετράγωνο χρησιμοποιώντας το αξιοσημείωτα προϊόντα; τότε θα δώσουμε όλους τους αριθμούς στο πρώτο μέλος. και, τέλος, θα ενώσουμε τους όρους με τον ίδιο κυριολεκτικό συντελεστή, δηλαδή αυτούς με τα ίδια γράμματα. Κοίτα:
Παράδειγμα
Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του κέντρου και τη μέση ακτίνα του κύκλου που έχει μια εξίσωση:
α) x2 + ε2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
Για να προσδιορίσουμε την ακτίνα και τις συντεταγμένες του κύκλου που έχει αυτήν την εξίσωση, πρέπει να τη συγκρίνουμε με τη γενική εξίσωση. Κοίτα:
Χ2 + ε2 – 2οςΧ - 2βγ + ο2 + σι2 –ρ2 = 0
Χ2 + ε2 – 4Χ - 6γ + 4 + 9 – 49 = 0
Από τις συγκρίσεις στο πράσινο, πρέπει:
2ο = 4
α = 2
ή
ο2 = 4
α = 2
Από τις συγκρίσεις με κόκκινο χρώμα, έχουμε ότι:
2β = 6
b = 3
ή
σι2 = 9
β = 3
Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι το κέντρο έχει συντεταγμένη O (2, 3). Τώρα, συγκρίνοντας την τιμή του r, έχουμε:
ρ2 = 49
r = 7
Επομένως, η ακτίνα του κύκλου έχει μήκος ίσο με 7.
β) x2 + ε2 - 10x + 14y + 10 = 0
Με παρόμοιο τρόπο, ας συγκρίνουμε τις εξισώσεις:
Χ2 + ε2 – 2οςΧ - 2βγ + ο2 + β2 - r2 = 0
Χ2 + ε2 –10Χ + 14γ + 10 = 0
2ο = 10
α = 5
Προσδιορισμός της τιμής του b:
–2b = 14
b = - 7
Σημειώστε τώρα ότι:
ο2 + β2 - r2 = 10
Εφόσον γνωρίζουμε τις τιμές των a και b, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε στον τύπο. Κοίτα:
ο2 + β2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - σ2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
ρ2 = 64
r = 8
Επομένως, οι συντεταγμένες του κέντρου είναι O (5, –7) και η ακτίνα έχει μήκος ίσο με 8.
Διαφορές μεταξύ περιφέρειας και κύκλου
Η διαφορά μεταξύ ενός κύκλου και ενός κύκλου αφορά το αριθμός διαστάσεων κάθε στοιχείου. Ενώ ο κύκλος έχει μια διάσταση, ο κύκλος έχει δύο.
Ένας κύκλος είναι μια περιοχή στο επίπεδο που σχηματίζεται από σημεία όλα ίσα από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται προέλευση. Ο κύκλος αποτελείται από κάθε περιοχή του κύκλου. Δείτε τη διαφορά στις εικόνες:
Δείτε επίσης:μήκος περιφέρειας και περιοχή κύκλου
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Η περιφέρεια έχει περίμετρο ίσο με 628 cm. Προσδιορίστε τη διάμετρο αυτού του κύκλου (υιοθετήστε π = 3.14).
Ανάλυση
Δεδομένου ότι η περίμετρος είναι ίση με 628 cm, μπορούμε να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στην έκφραση μήκους περιφέρειας.
Ερώτηση 2 - Δύο κύκλοι είναι ομόκεντροι εάν έχουν το ίδιο κέντρο. Γνωρίζοντας αυτό, προσδιορίστε την περιοχή του κενού σχήματος.
Ανάλυση
Σημειώστε ότι για να προσδιορίσετε την περιοχή της περιοχής σε λευκό, πρέπει να προσδιορίσουμε την περιοχή του μεγαλύτερου κύκλου και στη συνέχεια αυτή του μικρότερου κύκλου με μπλε χρώμα. Σημειώστε επίσης ότι εάν αφαιρέσουμε τον μπλε κύκλο, απομένει μόνο η περιοχή που θέλουμε, επομένως πρέπει να αφαιρέσουμε αυτές τις περιοχές. Κοίτα:
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = r2
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = (3,14) · (9)2
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = (3,14) · 81
ΟΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ = 254,34 εκ2
Ας υπολογίσουμε τώρα την περιοχή του μπλε κύκλου:
ΟΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ = r2
ΟΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ = (3,14) · (5)2
ΟΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ = (3,14) · 25
ΟΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ = 78,5 εκ2
Έτσι, η κενή περιοχή δίνεται από τη διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης περιοχής και της μικρότερης περιοχής.
ΟΛΕΥΚΟ = 254,34 – 78,5
ΟΛΕΥΚΟ = 175,84 εκ2
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Όσον αφορά τον βασικό ορισμό των κύκλων και τις ιδιότητές τους, σημειώστε τη σωστή εναλλακτική λύση.
α) Ένας κύκλος είναι μια επίπεδη περιοχή που οριοθετείται από έναν κύκλο.
β) Ένας κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων των οποίων η απόσταση από το κέντρο είναι πάντα μικρότερη από τη σταθερά r.
γ) Ένας κύκλος έχει μόνο δύο ακτίνες και το άθροισμα αυτών των δύο στοιχείων ισούται με τη διάμετρο.
δ) Ένας κύκλος με κέντρο O και ακτίνα r είναι ένα σύνολο όλων των σημείων των οποίων η απόσταση από το O είναι ίση με r.
ε) Ο κύκλος είναι η περιοχή του επιπέδου που περιορίζεται από μια διάμετρο.
α) Δεδομένου του σημείου Α, έξω από την περιφέρεια, το τμήμα OA είναι μικρότερο ή ίσο με r.
β) Γνωρίζοντας ότι το τμήμα ΟΑ έχει μήκος μικρότερο από το r, μπορεί να ειπωθεί ότι το Α ανήκει στον κύκλο που περιορίζεται από αυτήν την περιφέρεια.
γ) Γνωρίζοντας ότι το τμήμα ΟΑ έχει μήκος μεγαλύτερο από το r, μπορεί να δηλωθεί ότι το Α ανήκει στον κύκλο.
δ) Η διάμετρος του κύκλου που οριοθετείται από αυτήν την περιφέρεια είναι ίση με 3r.
ε) Για να ανήκει το σημείο Α στον κύκλο, αρκεί η απόσταση από το Α έως το Ο να είναι μικρότερη από το r.
