Ενας κατοχή είναι ένας κανόνας που σχετίζεται με κάθε στοιχείο του α σειρά Α σε ένα μόνο στοιχείο ενός συνόλου Β. Αυτός ο κανόνας συνήθως επιτυγχάνεται μέσω ενός αλγεβρική παράσταση σαν ένα εξίσωση και, ανάλογα με τον βαθμό αυτής της αλγεβρικής έκφρασης και τον αριθμό των μεταβλητών που έχει, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το γράφημα.
Ορισμός γραφήματος
Ο γραφικός του α κατοχή είναι το σύνολο των σημείων (x, y) του Καρτεσιανό αεροπλάνο που πληρούν την ακόλουθη συνθήκη: y = f (x). Με άλλα λόγια, για κάθε τιμή x, υπάρχει μία μόνο τιμή y σε σχέση με αυτήν, που λαμβάνεται από το νόμο σχηματισμού του κατοχή.
Εσείς γραφικά Τα πιο σημαντικά που μελετήθηκαν στο δημοτικό ανήκουν στο λειτουργία πρώτου βαθμού Είναι από δεύτερος βαθμός. Στο γυμνάσιο, το γραφικάδίνεικατοχή λογαριθμική, εκθετική, τριγωνομετρική κ.λπ. Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε μια τεχνική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του γραφικός του α κατοχή του δεύτεροςβαθμός.
Γράφημα συνάρτησης δεύτερου βαθμού
Ενας κατοχή του δεύτεροςβαθμός είναι ένα που μπορεί να γραφτεί ως εξής:
f (x) = τσεκούρι2 + bx + γ
όπου a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται συντελεστές, με πάντα μη μηδέν, και x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή.
Ο γραφικός από αυτά λειτουργίες είναι πάντα ένα παραβολή που μπορούν να κατασκευαστούν από τρία σημεία που ανήκουν σε αυτό: κορυφή και τις δύο ρίζες, ή κορυφή και δύο «τυχαία» σημεία.
1 - Εύρεση της κορυφής της παραβολής
Στο παραβολές που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως γραφικός του α κατοχή του δεύτεροςβαθμός πρέπει να έχουν την κοιλότητά τους στραμμένη προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Στην πρώτη περίπτωση, η παραβολή έχει ένα χαμηλότερο σημείο, όπου η συνάρτηση δεν μειώνεται πλέον και αυξάνεται. Στη δεύτερη περίπτωση, η παραβολή έχει υψηλότερο σημείο, όπου η συνάρτηση σταματά να αυξάνεται και μειώνεται. Αυτό το σημείο ονομάζεται κορυφή.
Για να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής V = (xβεβ, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους τύπους:
Χβ = - Β
2ος
και
εβ = – Δ
4ος
2 - Βρίσκοντας τις δύο ρίζες της παραβολής
Οι ρίζες μιας συνάρτησης είναι τα σημεία στα οποία το γραφικός από αυτό κατοχή βρίσκει τον άξονα Χ του καρτεσιανού επιπέδου. Στην περίπτωση των λειτουργιών του δεύτεροςβαθμός, ο αριθμός των ριζών μπορεί να είναι 0, 1 ή 2. Εάν η συνάρτηση έχει δύο ρίζες, το καλύτερο που πρέπει να κάνετε είναι να τις χρησιμοποιήσετε στην κατασκευή του γραφήματος.
Για να βρείτε τις ρίζες ενός κατοχήτουδεύτεροςβαθμός, Χρησιμοποιήστε το Η φόρμουλα της Bhaskara. Κατ 'αρχάς, προσδιορίστε το οξυδερκής της συνάρτησης:
Δ = β2 - 4ac
Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τον με τον τύπο της Bhaskara, καθώς και τους συντελεστές:
x = - β ± √;
2ος
Οι συντεταγμένες των ριζών της συνάρτησης θα είναι: A = (x ’, 0) και B = (x’ ’, 0). Από αυτά τα τρία σημεία, τις δύο ρίζες και την κορυφή, απλώς τοποθετήστε τις στο καρτεσιανό επίπεδο και συνδέστε τις μέσω ενός παραβολή. Σε αυτήν τη διαδικασία, παρατηρήστε ότι η παραβολή θα έχει την κοιλότητα στραμμένη προς τα κάτω εάν η κορυφή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x ή θα έχει την κοιλότητα στραμμένη προς τα πάνω εάν η κορυφή βρίσκεται κάτω από τον άξονα x.
Στην παραπάνω εικόνα, σημειώστε ότι το πρώτο παραβολή Έχει μια κορυφή κάτω από τον άξονα Χ και η κοιλότητά του βλέπει προς τα πάνω. Το αντίθετο συμβαίνει στη δεύτερη παραβολή, η οποία έχει την κορυφή πάνω από τον άξονα Χ και την κοιλότητα στραμμένη προς τα κάτω.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Παράδειγμα:
χτίστε το γραφικός δίνει κατοχή: f (x) = x2 + 2x - 8.
Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε την κορυφή αυτού κατοχή. Χρησιμοποιώντας τους μελετημένους τύπους, θα έχουμε:
Χβ = - Β
2ος
Χβ = – 2
2
Χβ = – 1
εβ = – Δ
4ος
εβ = - (Β2 - 4ακ)
4ος
εβ = – (22 – 4·1·[– 8])
4
εβ = – (4 + 32)
4
εβ = – (4 + 32)
4
εβ = – (36)
4
εβ = – 9
Έτσι, οι συντεταγμένες του κορυφή από αυτό παραβολή είναι: V = (- 1, –9).
Σημειώστε ότι γνωρίζουμε ήδη τη διακριτική αξία αυτού κατοχή, που δημιουργήθηκε για να βρει yβ. Δ = 36. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της Bhaskara για να βρούμε τις ρίζες, θα έχουμε:
x = - β ± √;
2ος
x = – 2 ± √36
2
x = – 2 ± 6
2
x »= – 2 – 6 = – 8 = – 4
2 2
x ’’ = – 2 + 6 = 4 = 2
2 2
Έτσι, οι ρίζες βρίσκονται στα σημεία: A = (–4, 0) και B = (2, 0). Σήμανση αυτών των τριών σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο και στη συνέχεια κατασκευή του παραβολή που περνά μέσα από αυτά, θα έχουμε:
Vertex + τυχαία σημεία
Αυτή η κατασκευή ισχύει όταν το κατοχή έχει δύο πραγματικές και ξεχωριστές ρίζες, δηλαδή πότε; > 0. όταν ο κατοχή έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, ή δεν έχει καμία, δεν έχει νόημα να προσπαθήσετε να βρείτε τις ρίζες σας για να χτίσετε γραφικός.
Σε αυτήν την περίπτωση, θα βρούμε πρώτα το συντεταγμένεςτουκορυφή, τότε, δεδομένου του xβ τη συντεταγμένη x της κορυφής, θα επιλέξουμε τις τιμές xβ + 1 και xβ - 1 ως πόντους “τυχαίος"Και θα βρούμε την τιμή του y που σχετίζεται με καθένα από αυτά τα σημεία. Τα αποτελέσματα αυτού θα είναι τα σημεία V, A και B, όπως και οι ρίζες, με τη διαφορά ότι τα σημεία A και B δεν είναι πλέον στον άξονα x.
Για παράδειγμα, γράφετε τη συνάρτηση: f (x) = x2 + 4.
Οτι κατοχή δεν έχει ρίζες, γιατί η αξία του; είναι μικρότερο από το μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, θα βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής και θα υπολογίσουμε το πόντους “τυχαίος", Που προτάθηκε προηγουμένως:
Χβ = - Β
2ος
Χβ = – 0
2
Χβ = 0
εβ = – Δ
4ος
εβ = - (Β2 - 4ακ)
4ος
εβ = – (02 – 4·1·4)
4
εβ = – (– 16)
4
εβ = 16
4
εβ = 4
Έτσι, V = (0, 4).
λαμβάνοντας xβ = 0, θα κάνουμε: xβ + 1 = 0 + 1 = 1. Αντικατάσταση αυτής της τιμής στο κατοχή, για να το βρούμε σε σχέση με αυτό, θα έχουμε:
f (x) = x2 + 4
f (1) = 12 + 4
f (1) = 5
Επομένως, το σημείο Α θα είναι: A = (1, 5).
λαμβάνοντας xβ = 0, θα κάνουμε επίσης: xβ – 1 = 0 – 1 = – 1. Ως εκ τούτου:
f (x) = x2 + 4
f (- 1) = (- 1)2 + 4
f (- 1) = 1 + 4
f (- 1) = 5
Επομένως, το σημείο B θα είναι: B = (–1, 5).
Ετσι το γραφικός από αυτό κατοχή θα είναι:
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
