Στο τριγωνομετρικές συναρτήσειςείναι οι συναρτήσεις ημιτονοειδές, συνημίτονο και εφαπτομενικό. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις σχετίζονται με την τιμή του γωνία σε μοίρες ή ακτίνια με την τιμή του τριγωνομετρικού λόγου, μια σχέση που μπορεί να γίνει μέσω της μελέτης του τριγωνομετρικού κύκλου. Με την ατομική μελέτη καθεμιάς από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είναι δυνατόν να γίνει η αναπαράσταση γράφημα, μελετήστε το σύμβολο της συνάρτησης για καθένα από τα τεταρτημόρια, μεταξύ άλλων χαρακτηριστικών σπουδαίος.
Διαβάστε επίσης: Τα 4 περισσότερα λάθη στο τβασική ακαμψία
Τι είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
Οι πιο κοινές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι η ημιτονοειδής συνάρτηση, η συνημίτονη συνάρτηση και η εφαπτομένη. Η μελέτη τους συνδέεται με το τριγωνομετρικός κύκλος.
Για κάθε τιμή γωνίας, υπάρχει μια μοναδική τιμή ημιτονοειδούς και συνημίτου. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι τίποτα περισσότερο από το σχέση μεταξύ της γωνίας και της τιμής του τριγωνομετρικού λόγου για αυτήν τη γωνία
. Να θυμάστε ότι η τιμή αυτής της γωνίας μπορεί να δοθεί σε ακτίνια ή μοίρες και ότι η τιμή του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου είναι πάντα α πραγματικός αριθμός μεταξύ -1 και 1.
Σημειώστε στην εικόνα ότι, για κάθε γωνία, το συνημίτονο και το ημιτονοειδές αναγνωρίζουνΜ μια αξία. Βασίζεται στη μελέτη καθεμιάς από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις που παρατηρούμε τη σχέση μεταξύ της τιμής γωνίας και της τιμής του τριγωνομετρικού λόγου.
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι αξιοσημείωτες γωνίες;
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
λειτουργία συνημίτονο
Η συννητική συνάρτηση είναι η συνάρτηση φά: R → R, του οποίου ο νόμος σχηματισμού είναι φά(x) = cos (x). Όπως είναι το συνημίτονο μιας γωνίας πάντα ένας αριθμός μεταξύ 1 και -1, τότε -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Τομέα
Το πεδίο της συνάρτησης συνημίτονο είναι το σύνολο πραγματικών αριθμών, επειδή δεν υπάρχει περιορισμός στην τιμή του x, όπου x είναι η γωνία σε ακτίνια. Για κάθε πραγματικό αριθμό, μπορείτε να βρείτε την τιμή cos (x), έτσι Dφά= ΕΝΑ.
Εικόνα
Γνωρίζουμε ότι ο αντίθετος τομέας της συνάρτησης συνημίτονο είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ωστόσο, όταν αναλύουμε την εικόνα της συνάρτησης, είναι δυνατόν να δούμε ότι είναι πάντα μια τιμή μεγαλύτερη από ή ίση με -1 και μικρότερη ή ίση με 1, δεδομένου ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα 1, οπότε η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η συντονία είναι 1 και, ομοίως, η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει είναι -1 Im = [-1, 1]
Γράφημα συνάρτησης συνημίτονο
Το γράφημα της συνάρτησης συνημίτονο είναιπεριλαμβάνονται ανάμεσα οι ευθείεςy = -1 και y = 1. Θυμηθείτε ότι αυτό συμβαίνει επειδή η εικόνα της συνάρτησης είναι πάντα ένας αριθμός μεταξύ -1 και 1 και έχει ένα αυξανόμενο και μειωμένο μέρος, όπως μπορούμε να δούμε παρακάτω:
Αντιστοιχίσετε την τιμή γωνίας με την τιμή του τριγωνομετρικού λόγου, μπορείτε να το δείτε το γραφικό έχει μια κυκλική συμπεριφορά, δηλαδή, η συμπεριφορά επαναλαμβάνεται πάντα περιοδικά. Το γράφημα της συνάρτησης συνημίτονο είναι γνωστό ως συνημίτονο.
Σήμα
Γνωρίζουμε ότι, στον τριγωνομετρικό κύκλο, το το συνημίτονο έχει θετικές τιμέςστα τεταρτημόρια I και IV. Το πρώτο τεταρτημόριο κυμαίνεται μεταξύ 0º και 90º και το τέταρτο τεταρτημόριο κυμαίνεται μεταξύ 270º και 360º. Σε ακτίνια, η συνάρτηση είναι θετική για τιμές x μεταξύ 0 και π / 2 και μεταξύ 3π / 2 και 2π.
Η συννητική συνάρτηση έχει αρνητικές τιμέςστα τεταρτημόρια II και III, δηλαδή, η γωνία κυμαίνεται μεταξύ 90º και 270º. Σε ακτίνια, για να είναι αρνητική η συντονία, το x είναι μεταξύ π / 2 και 3π / 2.
Περίοδος λειτουργίας συνημίτονο
Το γράφημα της συνάρτησης συνημίτονο έχει ένα Περίοδος 2π. Αναλύοντας, είναι δυνατόν να δούμε ότι το γράφημα περιέχεται στο εύρος από 0 έως 2π. Για τιμές πριν ή μετά από αυτό το εύρος, το γράφημα επαναλαμβάνεται.
Ισοτιμία
Η συνημίτονη συνάρτηση θεωρείται α ομοιόμορφη λειτουργία, καθώς υπάρχει συμμετρία στο γράφημα σε σχέση με τον άξονα y. Όταν μια συνάρτηση θεωρείται ομοιόμορφη, πρέπει να φά (x) = φά (-x), δηλαδή cos (x) = cos (-x).
Αξιοσημείωτα τόξα της συνάρτησης συνημίτονο
Ας δούμε την τιμή συνημίτονο για τις κύριες γωνίες
Δείτε επίσης: Secant, cosecant and cotangent - αντίστροφη τριγωνομετρική αναλογία ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου
ημιτονολογική λειτουργία
Η συννητική συνάρτηση είναι η συνάρτηση φά: R → R, του οποίου ο νόμος σχηματισμού είναι φά(x) = sin (x). Όπως το ημίτονο της γωνίας, όπως το συνημίτονο, είναι πάντα ένας αριθμός μεταξύ 1 και -1, τότε -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Τομέα
Ο τομέας της συνάρτησης ημιτονοειδούς είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η λειτουργία φά(x) = sin (x) ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, έτσι Dφά= ΕΝΑ.
Εικόνα
Η εικόνα της ημιτονοειδούς λειτουργίας έχει μέγιστη τιμή σε φά(x) = 1 και ελάχιστη τιμή ότανf (x) = -1. Έτσι, η εικόνα της συνάρτησης είναι το πραγματικό εύρος [-1, 1].
γράφημα συνάρτησης ημιτόνου
Το γράφημα της συνάρτησης ημιτονοειδούς Περιορίζεται επίσης από τις οριζόντιες γραμμές y = -1 και y = 1. Η συμπεριφορά είναι παρόμοια με εκείνη της περιοδικής ημιτονοειδούς λειτουργίας, έχοντας αυξανόμενα διαστήματα και μειωμένα διαστήματα. Δείτε τη γραφική αναπαράσταση της ημιτονοειδούς λειτουργίας στο Καρτεσιανό επίπεδο παρακάτω:
Το γράφημα της συνάρτησης ημιτονοειδούς είναι επίσης περιοδικό και είναι γνωστό ως ημιτονοειδές.
Σήμα
Σε αντίθεση με τη λειτουργία συνημίτονο, η ημιτονοειδής λειτουργία έχει θετικές τιμές σεμικρό τεταρτοκύκλιομικρό I και II Πρώτον, δηλαδή, για γωνίες μεταξύ 0 ° και 180 °. Σε ακτίνια, η συνάρτηση είναι θετική για τιμές μεταξύ 0 και π.
Η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει αρνητικές τιμέςστο ΙΙΕγώ και IV τεταρτοκύκλιομικρό, δηλαδή, η γωνία κυμαίνεται μεταξύ 180º και 360º. Σε ακτίνια, για να είναι αρνητική η συνάρτηση ημιτονοειδούς, το x είναι μεταξύ π και 2π.
Περίοδος λειτουργίας συνημίτονο
Το γράφημα της συνάρτησης ημιτονοειδούς έχει ένα περίοδος 2π. Αυτό σημαίνει ότι, μετά ή πριν από το διάστημα από 0 έως 2π, το γράφημα είναι περιοδικό, δηλαδή επαναλαμβάνεται.
Ισοτιμία
Η ημιτονοειδής λειτουργία θεωρείται α κατοχή είμαιζεύγος, καθώς υπάρχει συμμετρία στο γράφημα σε σχέση με τον διχοτόμο των περίεργων τεταρτημορίων. Όταν μια συνάρτηση θεωρείται περίεργη, πρέπει φά (x) = -φά (x), δηλαδή, sin (-x) = -sin (x).
Αξιοσημείωτα τόξα της ημιτονοειδούς λειτουργίας
Ας δούμε την ημιτονοειδή τιμή για τις κύριες γωνίες:
Συνάρτηση εφαπτομένης
Ξέρουμε ότι η εφαπτομένη είναι η λόγος μεταξύ ημιτονοειδούς και συνημίτονου. Σε αντίθεση με τις δύο προηγούμενες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαπτομένη δεν έχει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή. Επίσης, υπάρχουν περιορισμοί για τον τομέα, αλλά ο νόμος σχηματισμού της εφαπτομένης συνάρτησης είναι φά(x) = μαύρισμα (x).
Τομέα
Η συνάρτηση εφαπτομένης έχει περιορισμούς για τον τομέα της, καθώς σχηματίζεται από την αναλογία μεταξύ του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου δεν υπάρχουν τιμές για εφαπτομένη όταν cos (x) = 0. Ζυγίζοντας τον τριγωνομετρικό κύκλο από 0º έως 360º, η εφαπτομένη δεν καθορίζεται για τις γωνίες 90les και 270º, καθώς αυτές είναι οι τιμές όπου το συνημίτονο είναι ίσο με 0. Όταν υπάρχουν γωνίες μεγαλύτερες από μία πλήρη επανάσταση, όλες εκείνες όπου η τιμή συνημίτονου είναι 0 δεν αποτελούν μέρος του πεδίου της συνάρτησης συνημίτονο.
Εικόνα
Σε αντίθεση με τη συνάρτηση ημιτονοειδούς και τη συνημίτονη, η εικόνα της εφαπτομένης συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή, δεν είναι περιορισμένο και δεν έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Im = R
Γράφημα συνάρτησης εφαπτομένης
Η εφαπτομένη είναι επίσης περιοδική, όπως η ημιτονοειδής και η συνημίτονη, δηλαδή επαναλαμβάνεται πάντα. Όταν συγκρίνουμε:
Σήμα
η εφαπτομένη συνάρτηση έχει θετική τιμή για τα περίεργα τεταρτημόρια, δηλαδή, Εγώ και III τεταρτημόρια. Για γωνίες μεταξύ 0º και 90º και γωνίες μεταξύ 180º και 270º, η συνάρτηση έχει θετικές τιμές. Σε ακτίνια, η τιμή του x πρέπει να είναι μεταξύ 0 και π / 2 ή π και 3π / 2.
Χρόνος πορείας
Η περίοδος της εφαπτομενικής συνάρτησης είναι επίσης διαφορετική από τις ημιτονοειδείς και συνημίτονες. Ο η περίοδος της εφαπτομενικής συνάρτησης είναι π.
Ισοτιμία
η εφαπτομένη συνάρτηση é μια περίεργη συνάρτηση, επειδή tan (-x) = -tan (x), οπότε υπάρχει συμμετρία στο γράφημα σε σχέση με την προέλευση του Καρτεσιανό αεροπλάνο.
Αξιοσημείωτα τόξα της εφαπτομενικής συνάρτησης
Ας δούμε την εφαπτομένη τιμή για τις κύριες γωνίες:
Δείτε επίσης: Πώς να βρείτε ημίτονο και συνημίτονο συμπληρωματικών γωνιών
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - (Enem 2017) Οι ακτίνες του ηλιακού φωτός φτάνουν στην επιφάνεια μιας λίμνης, σχηματίζοντας μια γωνία x με την επιφάνειά της, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Υπό ορισμένες συνθήκες, μπορεί να υποτεθεί ότι η φωτεινή ένταση αυτών των ακτίνων, στην επιφάνεια της λίμνης, δίνεται περίπου από το I (x) = k · sin (x), το k είναι μια σταθερά και υποθέτοντας ότι το Χ είναι μεταξύ 0 ° και 90º.
Όταν x = 30º, η φωτεινή ένταση μειώνεται σε ποιο ποσοστό της μέγιστης τιμής του;
Α) 33%
Β) 50%
Γ) 57%
Δ) 70%
Ε) 86%
Ανάλυση
Εναλλακτική Β
Στην περιοχή από 0º έως 90º, η συνάρτηση ημιτονοειδούς έχει την υψηλότερη τιμή όταν x = 90º, οπότε πρέπει:
i = k · sin (90º)
i = k · 1
i = κ
Τώρα, όταν x = 30º, πρέπει:
i = k · χωρίς (30η)
i = k · 1/2
i = k / 2
Σημειώστε ότι η ένταση i έχει μειωθεί κατά το ήμισυ, δηλαδή 50%.
Ερώτηση 2 - (Enem 2015) Σύμφωνα με το Βραζιλιάνικο Ινστιτούτο Γεωγραφίας και Στατιστικής (IBGE), τα εποχιακά προϊόντα είναι εκείνα που παρουσιάζουν σαφώς καθορισμένους κύκλους παραγωγής, κατανάλωσης και τιμής. Εν συντομία, υπάρχουν περιόδους του έτους όταν η διαθεσιμότητά του στις αγορές λιανικής είναι λιγοστή, με υψηλές τιμές, μερικές φορές είναι άφθονη, με χαμηλότερες τιμές, η οποία εμφανίζεται τον μήνα της μέγιστης παραγωγής του συγκομιδή. Από μια ιστορική σειρά, παρατηρήθηκε ότι η τιμή P, reais, του χιλιογράμμου ενός συγκεκριμένου εποχιακού προϊόντος μπορεί να περιγραφεί από τη συνάρτηση:
Όπου x αντιπροσωπεύει το μήνα του έτους, όπου x = 1 σχετίζεται με το μήνα Ιανουάριο, x = 2, με το μήνα Φεβρουάριο, και ούτω καθεξής, έως το x = 12, που σχετίζεται με το μήνα Δεκέμβριο.
Κατά τη συγκομιδή, ο μήνας της μέγιστης παραγωγής αυτού του προϊόντος είναι
Α) Ιανουάριος.
Β) Απρίλιος.
Γ) Ιούνιος.
Δ) Ιούλιος.
Ε) Οκτώβριος.
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ
Η συγκομιδή αναγνωρίζει τη μέγιστη παραγωγή όταν η τιμή είναι η χαμηλότερη, γνωρίζουμε ότι η συνάρτησή του αναλαμβάνει την ελάχιστη τιμή της όταν cos (x) = -1.
Η γωνία που έχει τιμή cos -1 είναι η γωνία π. Άρα το όρισμα γωνίας πρέπει να είναι ίσο με π, οπότε πρέπει:
Ο μήνας 7 είναι ο μήνας του Ιουλίου.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
