Η μελέτη για αριθμητικά σύνολα αποτελεί έναν από τους κύριους τομείς των μαθηματικών, καθώς είναι πολύ σημαντικοί για τη θεωρητική ανάπτυξη της περιοχής και έχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές. Τα αριθμητικά σύνολα περιλαμβάνουν στη μελέτη:
- φυσικοί αριθμοί ·
- ακέραιοι?
- ρητοί αριθμοί;
- παράλογοι αριθμοί ·
- πραγματικοί αριθμοί · και
- σύνθετοι αριθμοί.
Διαβάστε περισσότερα: Πρωταρχικοί αριθμοί - αριθμοί που έχουν μόνο 1 και οι ίδιοι ως διαιρέτες
Σύνολο φυσικών αριθμών
Η ανάπτυξη των πρώτων πολιτισμών επέφερε τη βελτίωση της γεωργίας και του εμπορίου και, κατά συνέπεια, το χρησιμοποιώντας αριθμούς για την αναπαράσταση των ποσοτήτων. Το πρώτο σετ ήρθε φυσικά, εξ ου και το όνομά του. Το φυσικό σετ χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των ποσοτήτων, συμβολίζεται με το σύμβολο ℕ και είναι γραμμένο σε μορφή ακολουθίας. Κοίτα:
Ο σύνολο αριθμών naturaείναι é άπειρο και κλειστό για εργασίες του πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, δηλαδή, κάθε φορά που προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δύο φυσικούς αριθμούς, η απάντηση είναι ακόμα φυσική. Ωστόσο, για λειτουργία αφαίρεσης και διαίρεση, το σετ δεν είναι κλειστό. Κοίτα:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Σημειώστε ότι οι αριθμοί –1 και 0,5 δεν ανήκουν στο σύνολο των φυσικών, και αυτή είναι η δικαιολογία για τη δημιουργία και τη μελέτη νέων συνόλων αριθμών.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Επίσης, τοποθετώντας έναν αστερίσκο (*) στο σύμβολο του φυσικού συνόλου, πρέπει να αφαιρέσουμε τον αριθμό μηδέν από τη λίστα, δείτε:
σύνολο ολόκληρων αριθμών
Ολόκληρος ο αριθμός έφτασε με το πρέπει να πραγματοποιήσει τη λειτουργία του αφαίρεση ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ. Όπως έχουμε δει, όταν ένας μικρότερος αριθμός αφαιρείται από έναν μεγαλύτερο, η απάντηση δεν ανήκει στην ομάδα των φυσικών.
Το σύνολο των ακεραίων αντιπροσωπεύεται επίσης από μια άπειρη αριθμητική ακολουθία και συμβολίζεται με το σύμβολο ℤ.
Όπως στο σύνολο των φυσικών αριθμών, τοποθετώντας έναν αστερίσκο στο σύμβολο ℤ, το στοιχείο μηδέν αφαιρείται από το σετ, όπως αυτό:
Το σύμβολο (-) που συνοδεύει έναν αριθμό δηλώνει ότι είναι συμμετρικό, οπότε η συμμετρική του αριθμού 4 είναι ο αριθμός –4. Σημειώστε επίσης ότι το σύνολο φυσικών αριθμών περιέχεται στο σύνολο ολόκληρων αριθμών, δηλαδή το σύνολο φυσικών αριθμών είναι ένα υποσύνολο του συνόλου ολόκληρων αριθμών.
ℕ ⸦ ℤ
Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες με ακέραιους αριθμούς - τι είναι και πώς να υπολογίσετε;
σύνολο λογικών αριθμών
Ο σύνολο λογικών αριθμών é αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ℚ και δεν αντιπροσωπεύεται από μια αριθμητική ακολουθία. Αυτό το σύνολο αποτελείται από όλους τους αριθμούς που μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα. Αντιπροσωπεύουμε τα στοιχεία του ως εξής:
Γνωρίζουμε ότι κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύεται από ένα κλάσμα, δηλαδή, το σύνολο ολόκληρων αριθμών περιέχεται σε αυτό των λογικών αριθμών, έτσι, το σύνολο των ακέραιων είναι ένα υποσύνολο των λογικών.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Αριθμοί που έχουν απεριόριστη αναπαράσταση, όπως περιοδικά δέκατα, έχουν επίσης αναπαράσταση με τη μορφή ενός κλάσματος, επομένως είναι επίσης λογικές.
Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες με κλάσματα - βήμα προς βήμα πώς να τα λύσετε
Σύνολο παράλογων αριθμών
Όπως έχουμε δει, ένας αριθμός είναι λογικός αν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Έχει επίσης ειπωθεί ότι οι άπειροι και οι περιοδικοί αριθμοί είναι λογικοί, ωστόσο, υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος και, επομένως, δεν ανήκουν στο σύνολο λογικών αριθμών.
Αυτοί οι μη λογικοί αριθμοί ονομάζονται παράλογος και τα κύρια χαρακτηριστικά του είναι το άπειρο του δεκαδικού μέρους και μη συχνότητα, δηλαδή, δεν επαναλαμβάνεται κανένας αριθμός στο δεκαδικό μέρος. Δείτε μερικά παραδείγματα του παράλογοι αριθμοί.
- Παράδειγμα 1
Οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών που δεν είναι τέλεια τετράγωνα.
- Παράδειγμα 2
Σταθερές που προέρχονται από ειδικούς λόγους όπως χρυσός αριθμός, αριθμός Euler ή Pi.
Σύνολο πραγματικών αριθμών
Ο σύνολο πραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο ℝ και σχηματίζεται από το σύμβολο ενότητατου συνόλου των λογικών αριθμών με το σύνολο των παράλογων αριθμών. Να θυμάστε ότι το σύνολο των λογικών είναι η ένωση των φυσικών και ακέραιων συνόλων.
Όταν τακτοποιούμε τους πραγματικούς αριθμούς σε μια γραμμή, έχουμε ότι ο αριθμός μηδέν είναι η προέλευση της γραμμής, στα δεξιά του μηδέν θα είναι οι θετικοί αριθμοί και στα αριστερά οι αρνητικοί αριθμοί.
Καθώς αυτός ο άξονας είναι πραγματικός, μπορούμε να πούμε ότι μεταξύ δύο αριθμών υπάρχουν άπειροι αριθμοί και επίσης ότι αυτός ο άξονας είναι άπειρος και στους δύο θετική κατεύθυνση όταν μέσα αρνητική κατεύθυνση.
Σύνολο σύνθετων αριθμών
Ο σύνολο σύνθετων αριθμών είναι το τελευταίος και προέκυψε για τον ίδιο λόγο με το σύνολο των ακεραίων, δηλαδή, είναι μια λειτουργία της οποίας η ανάπτυξη μόνο με το σύνολο των πραγματικών δεν είναι δυνατή.
Επίλυση της παρακάτω εξίσωσης, δείτε ότι δεν έχει καμία λύση, γνωρίζοντας μόνο τους πραγματικούς αριθμούς.
Χ2 + 1 = 0
Χ2 = –1
Σημειώστε ότι πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που όταν ανυψώνωρεΟ τετράγωνο, οδηγεί σε αρνητικό αριθμό. Ξέρουμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός τετράγωνο είναι πάντα θετικός, επομένως, αυτός ο υπολογισμός δεν έχει πραγματική λύση.
Έτσι δημιουργήθηκαν οι σύνθετοι αριθμοί, στους οποίους έχουμε ένα φανταστικός αριθμός συμβολίζεται με Εγώ, που έχει την ακόλουθη τιμή:
Λοιπόν, συνειδητοποιήστε ότι το εξίσωση που πριν δεν είχε καμία λύση το έχει τώρα. Ολοκλήρωση παραγγελίας:
Διαβάστε περισσότερα: Ιδιότητες που περιλαμβάνουν πολύπλοκους αριθμούς
πραγματικά διαστήματα
Σε ορισμένες περιπτώσεις, δεν θα χρησιμοποιήσουμε κάθε πραγματικό άξονα, δηλαδή θα χρησιμοποιούμε τμήματα αυτού που θα ονομάζονται φρένα. Αυτά τα διαστήματα είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια, θα δημιουργήσουμε μερικές σημειώσεις για αυτά τα υποσύνολα.
Κλειστό εύρος - χωρίς να περιλαμβάνονται τα άκρα
Ένα διάστημα κλείνει όταν είναι έχει τα δύο άκρα του, δηλαδή, το ελάχιστο και το μέγιστο, και, στην περίπτωση αυτή, τα άκρα δεν ανήκουν στην περιοχή. Αυτό θα το δηλώσουμε χρησιμοποιώντας μια ανοιχτή μπάλα. Κοίτα:
Με κόκκινο χρώμα είναι οι αριθμοί που ανήκουν σε αυτό το εύρος, δηλαδή είναι αριθμοί μεγαλύτερο από ένα και μικρότερο από το β. Αλγεβρικά γράφουμε ένα τέτοιο διάστημα ως εξής:
το < Χ
Όπου ο αριθμός x είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που βρίσκονται σε αυτό το εύρος. Μπορούμε επίσης να το αντιπροσωπεύσουμε συμβολικά. Κοίτα:
]Ο; ΣΙ[ ή (Ο; ΣΙ)
Κλειστό εύρος - συμπεριλαμβανομένων των άκρων
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε κλειστές μπάλες για να το αντιπροσωπεύσουμε τα άκρα ανήκουν στην περιοχή.
Συλλέγουμε λοιπόν πραγματικούς αριθμούς που είναι μεταξύ α και β, συμπεριλαμβανομένων αυτών. Αλγεβρικά εκφράζουμε ένα τέτοιο διάστημα με:
το ≤ Χσι
Χρησιμοποιώντας συμβολική σημειογραφία, έχουμε:
[Ο; ΣΙ]
Κλειστό εύρος - συμπεριλαμβανομένου ενός από τα άκρα
Ακόμα ασχολούμαστε με κλειστά διαστήματα, έχουμε τώρα την περίπτωση όπου συμπεριλαμβάνεται μόνο ένα από τα άκρα. Επομένως, ένα από τα μάρμαρα θα κλείσει, υποδεικνύοντας ότι ο αριθμός ανήκει στο εύρος και το άλλο όχι, υποδεικνύοντας ότι ο αριθμός δεν ανήκει σε αυτό το εύρος.
Αλγεβρικά αντιπροσωπεύουμε αυτό το εύρος ως εξής:
το ≤ Χ
Συμβολικά έχουμε:
[Ο; ΣΙ[ ή [Ο; ΣΙ)
Ανοιχτό εύρος - δεν περιλαμβάνεται τέλος
Ένα εύρος ανοίγει όταν δεν έχει μέγιστο ή ελάχιστο στοιχείο. Τώρα θα δούμε μια θήκη ανοιχτού εύρους που έχει μόνο μέγιστο στοιχείο, το οποίο δεν περιλαμβάνεται στην περιοχή.
Δείτε ότι η γκάμα αποτελείται από πραγματικοί αριθμοί λιγότερο απόΣΙ, και σημειώστε επίσης ότι ο αριθμός b που δεν ανήκει στο εύρος (ανοιχτή μπάλα), έτσι, αλγεβρικά, μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε το διάστημα με:
Χ
Συμβολικά μπορούμε να το αντιπροσωπεύσουμε με:
] – ∞; ΣΙ[ ή (– ∞; ΣΙ)
Ανοιχτό εύρος - συμπεριλαμβανομένου του άκρου
Ένα άλλο παράδειγμα ανοιχτού εύρους είναι η περίπτωση όπου περιλαμβάνεται το άκρο. Εδώ έχουμε ένα εύρος στο οποίο εμφανίζεται το ελάχιστο στοιχείο, δείτε:
Σημειώστε ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με τον αριθμό a, έτσι μπορούμε να γράψουμε αυτό το εύρος αλγεβρικά με:
Χπρος την
Συμβολικά έχουμε:
[Ο; +∞[ ή [Ο; +∞)
ανοιχτή γκάμα
Μια άλλη περίπτωση ανοιχτού εύρους διαμορφώνεται από την αριθμοί μεγαλύτεροι και μικρότεροι από τους αριθμούς που καθορίζονται στην πραγματική γραμμή. Κοίτα:
Σημειώστε ότι οι πραγματικοί αριθμοί που ανήκουν σε αυτό το εύρος είναι αυτοί που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον αριθμό a, ή αυτοί που είναι μεγαλύτεροι από τον αριθμό b, οπότε πρέπει:
Χ προς την ήΧ > β
Συμβολικά έχουμε:
] – ∞; α] U] β; + ∞[
ή
(– ∞; α] U (b; + ∞)
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
