Θεώρημα πολυωνυμικής αποσύνθεσης

Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας για πολυωνυμικές εξισώσεις εγγυάται ότι "κάθε βαθμός πολυωνύμου n≥ 1 έχει τουλάχιστον μία σύνθετη ρίζα ". Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος έγινε από τον μαθηματικό Friedrich Gauss το 1799. Από αυτό, μπορούμε να δείξουμε το πολυώνυμο θεώρημα αποσύνθεσης, το οποίο εγγυάται ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο μπορεί να αποσυντεθεί σε παράγοντες πρώτου βαθμού. Πάρτε το ακόλουθο πολυώνυμο p (x) του βαθμού n ≥ 1 και το_όχι ≠ 0:

p (x) = α_όχι Χ^όχι + το_ν-1 Χ^ν-1 +… + Το₁Χ¹ + το₀

Μέσα από το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, μπορούμε να δηλώσουμε ότι αυτό το πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μία σύνθετη ρίζα. εσύ₁, έτσι στ₁) = 0. Ο Το θεώρημα του D'Alembert στο διαίρεση πολυωνύμων δηλώνει ότι εάν στ₁) = 0, έπειτα p (x) διαιρείται από (x - υ₁), με αποτέλεσμα ένα πηλίκο τι₁(Χ), που είναι ένας βαθμός πολυωνύμου (n - 1), που μας οδηγεί να πούμε:

p (x) = (x - u₁). τι₁(Χ)

Από αυτήν την εξίσωση, είναι απαραίτητο να επισημανθούν δύο δυνατότητες:

Εάν u = 1 και τι₁(Χ) είναι ένα πολυώνυμο πτυχίου (ν - 1)

, έπειτα τι₁(Χ) έχει πτυχίο 0. Ως κυρίαρχος συντελεστής p (x) é ο_όχι, τι₁(Χ) είναι ένα σταθερό πολυώνυμο τύπου τι₁(Χ)=ο_όχι. Έτσι έχουμε:

p (x) = (x - u₁). τι₁(Χ)
(x) = (x - u₁). ο_όχι
p (x) = α_όχι . (x - υ₁)

Αλλα αν u ≥ 2, τότε το πολυώνυμο τι₁ έχει πτυχίο n - 1 ≥ 1 και το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Μπορούμε να πούμε ότι το πολυώνυμο τι₁ έχει τουλάχιστον μία ρίζα όχι₂, που μας οδηγεί να το πούμε αυτό τι₁ μπορεί να γραφτεί ως:

τι₁(x) = (x - u₂). τι₂(Χ)

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

Αλλά πως p (x) = (x - u₁). τι₁(Χ), μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως:

p (x) = (x - u₁). (x - υ₂). τι₂(Χ)

Επαναλαμβάνοντας διαδοχικά αυτήν τη διαδικασία, θα έχουμε:

p (x) = α_όχι. (x - υ₁). (x - υ₂)… (X - u_όχι)

Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε πολυωνυμική ή πολυωνυμική εξίσωση p (x) = 0 του βαθμού n≥ 1 δικό μου ακριβώς όχι σύνθετες ρίζες.​

Παράδειγμα: Είναι p (x) πολυώνυμο βαθμού 5, έτσι ώστε να είναι οι ρίζες του – 1, 2, 3, – 2 και 4. Γράψτε αυτό το πολυώνυμο αποσυντιθέμενο σε παράγοντες 1ου βαθμού, λαμβάνοντας υπόψη το κυρίαρχος συντελεστής ίσο με 1. Πρέπει να είναι γραμμένο σε εκτεταμένη μορφή:

αν – 1, 2, 3, – 2 και 4 είναι ρίζες του πολυωνύμου, έτσι το προϊόν των διαφορών του Χ για κάθε μία από αυτές τις ρίζες έχει ως αποτέλεσμα p (x):

p (x) = α_όχι(x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Εάν ο κυρίαρχος συντελεστής ο_όχι = 1, έχουμε:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Θεώρημα της αποσύνθεσης ενός πολυωνύμου". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm. Πρόσβαση στις 28 Ιουνίου 2021.

Πολυώνυμος

Μάθετε τον ορισμό της πολυωνυμικής εξίσωσης, ορίστε μια πολυωνυμική συνάρτηση, την αριθμητική τιμή ενός πολυωνύμου, τη ρίζα ή το μηδέν του πολυωνύμου, Βαθμός ενός πολυωνύμου.