Ο αριθμητική εξέλιξη (AP) είναι αριθμητική ακολουθία που χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά ορισμένων φαινομένων στα μαθηματικά. Σε ένα PA, το η ανάπτυξη ή η παρακμή είναι πάντα σταθερή, δηλαδή, από τον ένα όρο στον άλλο, η διαφορά θα είναι πάντα η ίδια, και αυτή η διαφορά είναι γνωστή ως λογική.
Ως αποτέλεσμα του προβλέψιμη συμπεριφορά μιας εξέλιξης, μπορείτε να το περιγράψετε από έναν τύπο γνωστό ως γενικός όρος. Για τον ίδιο λόγο, είναι επίσης δυνατό να υπολογιστεί το άθροισμα των όρων ενός PA χρησιμοποιώντας έναν συγκεκριμένο τύπο.
Διαβάστε επίσης: Γεωμετρική εξέλιξη - πώς να υπολογίσω;
Τι είναι το PA;
Κατανόηση ότι ένα PA είναι μια ακολουθία όρων στους οποίους το Η διαφορά μεταξύ ενός όρου και του προηγούμενου είναι πάντα σταθερή, για να περιγράψουμε αυτήν την εξέλιξη από έναν τύπο, πρέπει να βρούμε τον αρχικό όρο, ή δηλαδή, ο πρώτος όρος μιας εξέλιξης, και ο λόγος του, που είναι αυτή η διαρκής διαφορά μεταξύ του όροι.
Σε γενικές γραμμές, το PA γράφεται ως εξής:
(Ο1, ένα2,Ο3, ένα4,Ο5, ένα6,Ο7, ένα8)
Ο πρώτος όρος είναι το α1 και, από αυτό, στο Προσθήκη ο λόγος ρ, ας βρούμε τους διαδόχους όρους.
ο1 + r = α2
ο2 + r = α3
ο3 + r = α4
...
Έτσι, για να γράψουμε την αριθμητική πρόοδο, πρέπει να γνωρίζουμε ποιος είναι ο πρώτος όρος και γιατί.
Παράδειγμα:
Ας γράψουμε τους πρώτους έξι όρους ενός AP γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος του είναι 4 και ο λόγος του ισούται με 2. γνωρίζοντας το1 = 4 και r = 2, συμπεραίνουμε ότι αυτή η εξέλιξη ξεκινά από 4 και αυξάνεται από 2 σε 2. Επομένως, μπορούμε να περιγράψουμε τους όρους του.
ο1 = 4
ο2 = 4+ 2 = 6
ο3 = 6 + 2 = 8
ο4 = 8 + 2 = 10
ο5= 10 + 2 = 12
ο6 = 12 + 2 =14
Αυτό το BP ισούται με (4,6,8,10,12,14…).
Γενικός όρος ενός ΠΠ
Η περιγραφή του PA από έναν τύπο μας διευκολύνει να βρούμε οποιονδήποτε από τους όρους του. Για να βρούμε έναν όρο AP, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:
οόχι= α1 + r · (n-1) |
N → είναι η θέση του όρου.
ο1→ είναι ο πρώτος όρος.
r → λόγος.
Παράδειγμα:
Βρες το γενικός όρος της ΠΑ (1,5,9,13,…) και την 5η, 10η και 23η θητεία.
1ο βήμα: βρείτε τον λόγο.
Για να βρείτε την αναλογία, απλώς υπολογίστε τη διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων: 5 - 1 = 4; τότε, σε αυτήν την περίπτωση, r = 4.
2ο βήμα: βρείτε τον γενικό όρο.
Πώς ξέρουμε ότι το1= 1 και r = 4, ας αντικαταστήσουμε τον τύπο.
οόχι= α1 + r (n - 1)
οόχι= 1 + 4 (n - 1)
οόχι= 1 + 4n - 4
οόχι= 4n - 3 → γενικός όρος PA
3ο βήμα: γνωρίζοντας τον γενικό όρο, ας υπολογίσουμε τον 5ο, 10ο και 23ο όρο.
5ος όρος → n = 5
οόχι= 4n - 3
ο5=4·5 – 3
ο5=20 – 3
ο5=17
10ος όρος → n = 10
οόχι= 4n - 3
ο10=4·10 – 3
ο10=40 – 3
ο10=37
23ος όρος → n = 23
οόχι= 4n - 3
ο23=4·23 – 3
ο23=92 – 3
ο23=89
Τύποι αριθμητικών εξελίξεων
Υπάρχουν τρεις δυνατότητες για ένα PA. Μπορεί να αυξάνεται, να μειώνεται ή να είναι σταθερή.
Μεγαλώνει
Όπως υποδηλώνει το όνομα, μια αριθμητική εξέλιξη αυξάνεται όταν, καθώς οι όροι αυξάνονται, η αξία τους αυξάνεται επίσης., δηλαδή, ο δεύτερος όρος είναι μεγαλύτερος από τον πρώτο, ο τρίτος είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, και ούτω καθεξής.
ο1 2 3 4 < …. όχι
Για να συμβεί αυτό, ο λόγος πρέπει να είναι θετικός, δηλαδή, ένα PA αυξάνεται εάν r> 0.
Παραδείγματα:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
φθίνων
Όπως υποδηλώνει το όνομα, μια αριθμητική εξέλιξη φθίνει όταν, καθώς οι όροι αυξάνονται, η αξία τους μειώνεται, δηλαδή, ο δεύτερος όρος είναι μικρότερος από τον πρώτο, ο τρίτος είναι μικρότερος από τον δεύτερο, και ούτω καθεξής.
ο1 > το2 > το3 > το4 > …. > τοόχι
Για να συμβεί αυτό, ο λόγος πρέπει να είναι αρνητικός, δηλαδή, ένα PA αυξάνεται εάν r <0.
Παραδείγματα:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Συνεχής
Μια αριθμητική εξέλιξη είναι σταθερή όταν, καθώς οι όροι αυξάνονται, η τιμή παραμένει η ίδια., δηλαδή, ο πρώτος όρος είναι ίσος με τον δεύτερο, ο οποίος είναι ίσος με τον τρίτο, και ούτω καθεξής.
ο1 = το2 = το3 = το4 = …. = αόχι
Για να είναι σταθερό ένα PA, ο λόγος πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή, r = 0.
Παραδείγματα:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Δείτε επίσης: Προϊόν των όρων ενός PG - ποιος είναι ο τύπος;
Ιδιότητες ενός PA
1ο ακίνητο
Λαμβάνοντας υπόψη οποιονδήποτε όρο PA, το μέση τιμή αριθμητική μεταξύ του διαδόχου και του προκατόχου του είναι ίσος με αυτόν τον όρο.
Παράδειγμα:
Εξετάστε την πρόοδο (-1, 2, 5, 8, 11) και τον όρο 8. Ο μέσος όρος μεταξύ 11 και 5 είναι ίσος με 8, δηλαδή, το άθροισμα του διαδόχου με τον προκάτοχο ενός αριθμού στο PA είναι πάντα ίσο με αυτόν τον αριθμό.
2ο ακίνητο
Το άθροισμα των ισοδύναμων όρων είναι πάντα ίσο.
Παράδειγμα:
Άθροισμα των όρων ενός PA
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε τους έξι όρους BP που εμφανίζονται παραπάνω: (16,13,10,7,4,1). Μπορούμε απλώς να προσθέσουμε τους όρους τους - σε αυτήν την περίπτωση υπάρχουν λίγοι όροι, είναι πιθανό - αλλά αν είναι μια μεγαλύτερη συμβολοσειρά, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των ισοδύναμων όρων είναι πάντα ίσο, όπως είδαμε στην ιδιοκτησία, οπότε αν το κάνουμε αυτό προσθέστε μία φορά και πολλαπλασιάστε με το ήμισυ του ποσού των όρων, έχουμε το άθροισμα των έξι πρώτων όρων του ΤΗΓΑΝΙ.
Σημειώστε ότι, στο παράδειγμα, θα υπολογίζαμε το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου, το οποίο είναι ίσο με 17, πολλαπλασιασμένο επί το ήμισυ του ποσού των όρων, δηλαδή 17 φορές 3, το οποίο είναι ίσο με 51.
Ο τύπος του άθροισμα των όρων ενός PA αναπτύχθηκε από τον μαθηματικό Gauss, ο οποίος πραγματοποίησε αυτήν τη συμμετρία στις αριθμητικές εξελίξεις. Ο τύπος γράφεται ως εξής:
μικρόόχι → άθροισμα n στοιχείων
ο1 → πρώτη θητεία
οόχι → τελευταία περίοδος
n → αριθμός όρων
Παράδειγμα:
Υπολογίστε το άθροισμα των μονών αριθμών από 1 έως 2000.
Ανάλυση:
Γνωρίζουμε ότι αυτή η ακολουθία είναι ένα PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Η εκτέλεση του αθροίσματος θα ήταν πολύ δουλειά, οπότε ο τύπος είναι αρκετά βολικός. Από το 1 έως το 2000, οι μισοί αριθμοί είναι μονός, οπότε υπάρχουν 1.000 αριθμοί.
Δεδομένα:
n → 1000
ο1 → 1
οόχι → 1999
Επίσης πρόσβαση: Άθροισμα πεπερασμένων PG - πώς να το κάνετε;
Παρεμβολή αριθμητικών μέσων
Γνωρίζοντας δύο μη διαδοχικούς όρους αριθμητικής εξέλιξης, είναι δυνατόν να βρούμε όλους τους όρους που εμπίπτουν σε αυτούς τους δύο αριθμούς, αυτό που γνωρίζουμε ως παρεμβολή αριθμητικών μέσων.
Παράδειγμα:
Ας παρεμβάλλουμε 5 αριθμητικά μέσα μεταξύ 13 και 55. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 5 αριθμοί μεταξύ 13 και 55 και σχηματίζουν μια πρόοδο.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Για να βρείτε αυτούς τους αριθμούς, είναι απαραίτητο να βρείτε τον λόγο. Γνωρίζουμε τον πρώτο όρο (το1 = 13) και επίσης τον 7ο όρο (το7= 55), αλλά γνωρίζουμε ότι:
οόχι = το1 + r · (n - 1)
Όταν n = 7 → aόχι= 55. Γνωρίζουμε επίσης την αξία ενός1=13. Έτσι, αντικαθιστώντας τον στον τύπο, πρέπει:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6γ
55 - 13 = 6γ
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Γνωρίζοντας τον λόγο, μπορούμε να βρούμε τους όρους που κυμαίνονται μεταξύ 13 και 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - (Enem 2012) - Τα τραπουλόχαρτα είναι μια δραστηριότητα που διεγείρει τη συλλογιστική. Ένα παραδοσιακό παιχνίδι είναι το Solitaire, το οποίο χρησιμοποιεί 52 φύλλα. Αρχικά, σχηματίζονται επτά στήλες με τις κάρτες. Η πρώτη στήλη έχει ένα φύλλο, η δεύτερη έχει δύο φύλλα, η τρίτη έχει τρία φύλλα, η τέταρτη έχει τέσσερα φύλλα και ούτω καθεξής διαδοχικά στην έβδομη στήλη, η οποία έχει επτά φύλλα, και τι αποτελεί το σωρό, τα οποία είναι τα αχρησιμοποίητα φύλλα στο στήλες.
Ο αριθμός των καρτών που αποτελούν το σωρό είναι:
Α) 21.
Β) 24.
Γ) 26.
Δ) 28.
Ε) 31.
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Πρώτα ας υπολογίσουμε τον συνολικό αριθμό καρτών που χρησιμοποιήθηκαν. Συνεργαζόμαστε με ένα AP του οποίου ο πρώτος όρος είναι 1 και ο λόγος είναι επίσης 1. Έτσι, υπολογίζοντας το άθροισμα των 7 σειρών, ο τελευταίος όρος είναι 7 και η τιμή του n είναι επίσης 7.
Γνωρίζοντας ότι ο συνολικός αριθμός των καρτών που χρησιμοποιήθηκαν ήταν 28 και ότι υπάρχουν 52 κάρτες, ο σωρός σχηματίζεται από:
52 - 28 = 24 κάρτες
Ερώτηση 2 - (Enem 2018) Το δημαρχείο μιας μικρής πόλης στο εσωτερικό αποφασίζει να βάλει πόλους για φωτισμό γύρω από το κατά μήκος ενός ευθείου δρόμου που ξεκινά από μια κεντρική πλατεία και καταλήγει σε ένα αγρόκτημα της περιοχής. αγροτικός. Καθώς η πλατεία έχει ήδη φωτισμό, ο πρώτος πόλος θα τοποθετηθεί 80 μέτρα από την πλατεία, ο δεύτερος στα 100 μέτρα, ο τρίτος στα 120 μέτρα, και ούτω καθεξής. διαδοχικά, διατηρώντας πάντα μια απόσταση 20 μέτρων μεταξύ των στύλων, έως ότου η τελευταία θέση τοποθετηθεί σε απόσταση 1.380 μέτρων από την τετράγωνο.
Εάν η πόλη μπορεί να πληρώσει κατ 'ανώτατο όριο 8.000 R $ ανά θέση που τοποθετήθηκε, το υψηλότερο ποσό που μπορείτε να δαπανήσετε για την τοποθέτηση αυτών των δημοσιεύσεων είναι:
Α) 512 000 BRL.
Β) 520.000 BRL.
Γ) 528.000,00 R $.
Δ) 552.000 BRL.
Ε) 584 000 BRL.
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Γνωρίζουμε ότι οι θέσεις θα τοποθετούνται κάθε 20 μέτρα, δηλαδή, r = 20, και ότι ο πρώτος όρος αυτού του PA είναι 80. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο τελευταίος όρος είναι 1380, αλλά δεν γνωρίζουμε πόσους όρους υπάρχουν μεταξύ 80 και 1380. Για να υπολογίσουμε αυτόν τον αριθμό όρων, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο γενικού όρου.
Δεδομένα: αόχι = 1380; ο1=80; και r = 20.
οόχι= α1 + r · (n-1)
Θα τοποθετηθούν 660 θέσεις. Εάν το καθένα θα κοστίσει έως και 8.000 $, το υψηλότερο ποσό που μπορεί να δαπανηθεί με την τοποθέτηση αυτών των δημοσιεύσεων είναι:
66· 8 000 = 528 000
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
