Ο αριθμητική ακολουθία, όπως υποδηλώνει το όνομα, είναι μια ακολουθία αριθμών και συνήθως έχει έναν νόμο επανάληψης, ο οποίος καθιστά δυνατή την πρόβλεψη των επόμενων όρων να γνωρίσετε τους προκατόχους σας. Μπορούμε να συγκεντρώσουμε ακολουθίες αριθμών με διαφορετικά κριτήρια, όπως μια ακολουθία ζυγών αριθμών ή ακολουθία αριθμών διαιρείται με 4, ακολουθία πρωταρχικών αριθμών, ακολουθία τέλειων τετραγώνων, τέλος, υπάρχουν πολλές δυνατότητες ακολουθιών αριθμητικός.
Όταν κατατάσσουμε την ακολουθία ως προς τον αριθμό των όρων, η ακολουθία μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Όταν ταξινομούμε την ακολουθία ως προς τη συμπεριφορά των όρων, αυτή η ακολουθία μπορεί να είναι αύξουσα, φθίνουσα, ταλαντωμένη ή σταθερή. Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις ακολουθιών που είναι γνωστές ως αριθμητικές εξελίξεις και γεωμετρικές εξελίξεις.
Διαβάστε επίσης: Πώς να υπολογίσετε το soma των όρων ενός αριθμητική εξέλιξη;
Σύνοψη ακολουθίας αριθμών
Η αριθμητική ακολουθία δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια ακολουθία αριθμών.
-
Μερικά παραδείγματα αριθμητικής ακολουθίας:
ακολουθία ζυγών αριθμών (0,2,4,6,8…) ·
ακολουθία φυσικών λιγότερο από 6 (1, 2, 3, 4, 5).
ακολουθία πρωταρχικών αριθμών (2,3,5,7,11,…).
Ο νόμος του σχηματισμού μιας εξέλιξης είναι ο κανόνας που διέπει αυτήν την ακολουθία.
-
Μια ακολουθία μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη.
Πεπερασμένα: όταν έχετε περιορισμένο αριθμό όρων.
Άπειρο: όταν έχετε απεριόριστο όρο.
-
Μια ακολουθία μπορεί να αυξάνεται, να μην πιστεύει, να είναι σταθερή ή να κυμαίνεται.
Crescent: όταν ο όρος είναι πάντα μικρότερος από τον διάδοχό του.
Φθίνουσα: όταν ο όρος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον διάδοχό του.
Σταθερό: όταν ο όρος είναι πάντα ίσος με τον διάδοχό του.
Ταλαντωμένος: όταν υπάρχουν όροι μεγαλύτεροι και μικρότεροι από τον διάδοχό του.
Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις ακολουθίας γνωστών ως αριθμητική εξέλιξη ή γεωμετρική πρόοδος.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Νόμος περί εμφάνισης της ακολουθίας αριθμών
Γνωρίζουμε ως αριθμητική ακολουθία οποιαδήποτε ακολουθία σχηματίζεται από αριθμούς. Συνήθως επιδεικνύουμε ακολουθίες αναφέροντας τους όρους τους, περικλείονται σε παρενθέσεις και διαχωρίζονται με κόμμα. Αυτή η λίστα είναι γνωστή ως ο νόμος της εμφάνισης μιας ακολουθίας αριθμών.
(Ο1, ένα2, ένα3, …, έναόχι)
ο1 → 1ος όρος της ακολουθίας
ο2 → 2ος όρος της ακολουθίας
ο3 → 3ος όρος της ακολουθίας
οόχι → nth όρος της ακολουθίας
Ας δούμε μερικά παραδείγματα παρακάτω.
Παράδειγμα 1:
Νόμος περί εμφάνισης ακολουθίας αριθμών πολλαπλασιάζεται από 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Παράδειγμα 2:
Νόμος περί εμφάνισης της ακολουθίας του πρώτοι αριθμοί:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Παράδειγμα 3:
Νόμος περί εμφάνισης της ολόκληρος αρνητικός:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Παράδειγμα 4:
Ακολουθία περίεργων αριθμών κάτω των 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι ιδιότητες των μονών και ζυγών αριθμών;
Αριθμητική ταξινόμηση ακολουθίας
Υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι ταξινόμησης μιας συμβολοσειράς. Το πρώτο είναι ως προς το ποσό των όρων, ο τρόπος με τον οποίο μια ακολουθία μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη. Ο άλλος τρόπος για να ταξινομήσετε τις ακολουθίες είναι ως προς τη συμπεριφορά τους. Σε αυτήν την περίπτωση, ταξινομούνται ως αυξανόμενα, μειωμένα, σταθερά ή κυμαινόμενα.
Ταξινόμηση κατά το ποσό των όρων
→ πεπερασμένη ακολουθία αριθμών
Η ακολουθία είναι πεπερασμένη όταν είναι έχει περιορισμένο αριθμό όρων.
Παραδείγματα:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ άπειρη ακολουθία αριθμών
Η ακολουθία είναι άπειρη όταν έχει απεριόριστο όρο.
Παραδείγματα:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Βαθμολογία συμπεριφοράς
→ Αύξουσα ακολουθία αριθμών
Ακολουθεί μια ακολουθία όταν οποιοσδήποτε όρος είναι πάντα μικρότερος από τον διάδοχό του σε ακολουθία.
Παραδείγματα:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Φθίνουσα ακολουθία αριθμών
Μια ακολουθία φθίνει όταν οποιοσδήποτε όρος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον διάδοχό του σε ακολουθία.
Παραδείγματα:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ σταθερή ακολουθία αριθμών
Μια ακολουθία είναι σταθερή όταν όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι οι ίδιοι:
Παραδείγματα:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Ακολουθία αριθμού ταλαντώσεων
Μια ακολουθία αιωρείται όταν υπάρχουν όροι που είναι μεγαλύτεροι και όροι που είναι μικρότεροι ότι οι αντίστοιχοι διάδοχοί τους στη σειρά:
Παραδείγματα:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Νόμος σχηματισμού ακολουθίας αριθμών
Ορισμένες ακολουθίες μπορούν να περιγραφούν από το a τύπος που δημιουργεί τους όρους σας. Αυτός ο τύπος είναι γνωστός ως ο νόμος του σχηματισμού. Χρησιμοποιούμε τον νόμο σχηματισμού για να βρούμε οποιονδήποτε όρο στη σειρά όταν γνωρίζουμε τη συμπεριφορά του.
Παράδειγμα 1:
Η ακόλουθη ακολουθία σχηματίζεται από τέλεια τετράγωνα:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Μπορούμε να περιγράψουμε αυτήν την ακολουθία από το νόμο του σχηματισμού:
οόχι = (n - 1) ²
n → αριθμός όρου
οόχι → ο όρος θέσης όχι
Με αυτόν τον τύπο, είναι δυνατόν να γνωρίζουμε, για παράδειγμα, τον όρο που καταλαμβάνει τη θέση 10 στη σειρά:
ο10 = ( 10 – 1) ²
ο10 = 9²
ο10 = 81
Παράδειγμα 2:
Καταγράψτε τους όρους της ακολουθίας του οποίου ο νόμος σχηματισμού είναι οόχι = 2n - 5.
Στη λίστα, θα βρούμε τους πρώτους όρους στη σειρά:
1η περίοδος:
οόχι = 2n - 5
ο1 = 2·1 – 5
ο1 = 2 – 5
ο1 = – 3
2η θητεία:
οόχι = 2n - 5
ο2 = 2·2 – 5
ο2 = 4 – 5
ο2 = – 1
3η θητεία:
οόχι = 2n - 5
ο3 = 2·3 – 5
ο3 = 6 – 5
ο3 = 1
4η θητεία:
οόχι = 2n - 5
ο4 = 2·4 – 5
ο4 = 8 – 5
ο4 = 3
5η θητεία:
ο5 = 2n - 5
ο5 = 2·5 – 5
ο5 = 10 – 5
ο5 = 5
Έτσι η ακολουθία είναι:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Δείτε επίσης: Ρωμαϊκοί αριθμοί — αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιεί γράμματα για την αναπαράσταση τιμών και ποσοτήτων
Αριθμητική εξέλιξη και γεωμετρική εξέλιξη
Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις ακολουθιών που είναι γνωστά ως αριθμητική πρόοδος και γεωμετρική πρόοδος. Μια ακολουθία είναι μια εξέλιξη όταν υπάρχει λόγος για έναν όρο για τον διάδοχό της.
αριθμητική εξέλιξη
Όταν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο στη σειρά και, για να βρούμε τον δεύτερο,προσθέτουμε το πρώτο σε μια τιμή ρ και για να βρούμε τον τρίτο όρο, προσθέτουμε τον δεύτερο στην ίδια τιμή. ρ, και ούτω καθεξής, η συμβολοσειρά ταξινομείται ως αριθμητική εξέλιξη.
Παράδειγμα:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Πρόκειται για μια αριθμητική εξέλιξη του λόγου ίσο με 4 και του πρώτου όρου ίσο με 1.
Σημειώστε ότι για να βρείτε τον διάδοχο ενός αριθμού στη σειρά, απλώς προσθέστε το 4, οπότε λέμε ότι το 4 είναι ο λόγος για αυτήν την αριθμητική εξέλιξη.
Γεωμετρική εξέλιξη
Στο γεωμετρική εξέλιξη, υπάρχει επίσης ένας λόγος, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, για να βρούμε τον διάδοχο ενός όρου, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον όρο με τον λόγο.
Παράδειγμα:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Πρόκειται για μια γεωμετρική εξέλιξη αναλογίας ίσης με 3 και πρώτης διάρκειας ίσης με 2.
Σημειώστε ότι για να βρείτε τον διάδοχο ενός αριθμού σε αυτήν την ακολουθία, απλώς πολλαπλασιάστε επί 3, γεγονός που καθιστά την αναλογία αυτής της γεωμετρικής προόδου σε 3.
λύσεις ασκήσειςσχετικά με την ακολουθία αριθμών
Ερώτηση 1 - Αναλύοντας την ακολουθία (1, 4, 9, 16, 25,…), μπορούμε να πούμε ότι οι επόμενοι δύο αριθμοί θα είναι:
Α) 35 και 46.
Β) 36 και 49.
Γ) 30 και 41.
Δ) 41 και 66.
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Για να βρείτε τους όρους της ακολουθίας, είναι σημαντικό να βρείτε μια κανονικότητα στην ακολουθία, δηλαδή να κατανοήσετε τον νόμο της περίπτωσής της. Σημειώστε ότι, από τον πρώτο όρο έως τον δεύτερο όρο, προσθέτουμε 3; από τον δεύτερο έως τον τρίτο όρο, προσθέτουμε 5 · από τον τρίτο έως τον τέταρτο όρο και από τον τέταρτο έως τον πέμπτο όρο, προσθέτουμε, αντίστοιχα, 7 και 9, έτσι το άθροισμα αυξάνεται κατά δύο μονάδες σε κάθε όρο της ακολουθίας, δηλαδή, στον επόμενο, θα προσθέσουμε 11, 13, 15, 15, 17 και ούτω καθεξής διαδοχικώς. Για να βρούμε τον διάδοχο του 25, θα προσθέσουμε 11.
25 + 11 = 36.
Για να βρούμε τον διάδοχο του 36, θα προσθέσουμε 13.
36 + 13 = 49
Έτσι, οι επόμενοι όροι θα είναι 36 και 49.
Ερώτηση 2 - (AOCP Institute) Στη συνέχεια, παρουσιάζεται μια αριθμητική ακολουθία, έτσι ώστε να ήταν τα στοιχεία αυτής της ακολουθίας διατεταγμένα σύμφωνα με έναν (λογικό) νόμο σχηματισμού, όπου τα x και y είναι ακέραιοι αριθμοί: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, γ). Παρατηρώντας αυτήν την ακολουθία και εντοπίζοντας τις τιμές των x και y, ακολουθώντας τον νόμο σχηματισμού της δεδομένης ακολουθίας, είναι σωστό να δηλώσετε ότι
A) x είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από 30.
B) το y είναι ένας αριθμός μικρότερος από 5.
Γ) το άθροισμα των x και y έχει ως αποτέλεσμα 25.
Δ) το προϊόν των x και y δίνει 106.
Ε) η διαφορά μεταξύ y και x, με αυτή τη σειρά, είναι θετικός αριθμός.
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Θέλουμε να βρούμε τον 7ο και 8ο όρο αυτής της ακολουθίας.
Αναλύοντας το νόμο της ακολουθίας (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), είναι δυνατόν να δούμε ότι υπάρχει μια λογική για τους περίεργους όρους (1ος όρος, 3ος όρος, 5ος όρος… ). Σημειώστε ότι ο 3ος όρος ισούται με τον 1ο όρο μείον 2, αφού 24 - 2 = 22. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ίδια λογική, ο 7ος όρος, που αντιπροσωπεύεται από το x, θα είναι ο 5ος όρος μείον 2, δηλαδή, x = 20 - 2 = 18.
Υπάρχει μια παρόμοια λογική για τους ζυγούς όρους (2ος όρος, 4ος όρος, 6ος όρος…): ο 4ος όρος είναι ο 2ος όρος μείον 2, από 13 - 2 = 11, και ούτω καθεξής. Θέλουμε τον 8ο όρο, που αντιπροσωπεύεται από το y, ο οποίος θα είναι ο 6ος όρος μείον 2, οπότε y = 9 - 2 = 7.
Έχουμε λοιπόν x = 18 και y = 7. Αναλύοντας τις εναλλακτικές λύσεις, έχουμε ότι x + y = 25, δηλαδή, το άθροισμα των x και y οδηγεί σε 25.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
