DAS kombinatorische Analyse ist ein Studienfach der Mathematik, das mit Zählregeln verbunden ist. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts führte das Studium der Würfel- und Kartenspiele zu einer großen Entwicklung der Zähltheorien.
Die Arbeit der Kombinatorik ermöglicht die Realisierung immer genauerer Zählungen.Das Grundprinzip des Zählens (PFC), die Fakultät und die Arten der Gruppierung sind Beispiele für Konzepte, die in der kombinatorischen Analyse untersucht wurden, die neben der Bereitstellung von größer Präzision hilft Neindie Entwicklung anderer Bereiche der Mathematik, wie z Das Wahrscheinlichkeit und Ö Newtons Binomial.
Lesen Sie auch: Absprache oder çKombination?
Wozu dient die kombinatorische Analyse?
Die kombinatorische Analyse ist mit dem Zählprozess verbunden, dh das Studium dieses Bereichs der Mathematik ermöglicht es uns, Werkzeuge zu entwickeln, die uns bei der Leistung helfen zählt effizienter. Schauen wir uns ein typisches Zählproblem an, siehe:
Beispiel 1
Betrachten Sie drei Städte A, B und C, die durch Autobahnen R. verbunden sind
1, R2, R3, R4 und R5. Bestimmen Sie, wie viele Wege wir über Stadt B von Stadt A nach Stadt C gelangen können.
Beachten Sie, dass wir Stadt A verlassen und nach Stadt B gehen müssen und erst dann nach Stadt C reisen können, also analysieren wir alle Möglichkeiten die Veranstaltung nach den Autobahnen durchzuführen.
1. Weg: R1 → R3
2. Weg: R1 → R4
3. Weg: R1 → R5
4. Weg: R2 → R3
5. Weg: R2 → R4
6. Weg: R2 → R5
Wir haben also sechs verschiedene Möglichkeiten, um von Stadt A über Stadt B nach Stadt C zu gelangen. Beachten Sie jedoch, dass das vorgeschlagene Problem relativ einfach ist und die durchgeführte Analyse wenig aufwendig war. Von nun an werden wir ausgefeiltere Tools studieren, die es ermöglichen, Probleme mit viel weniger Aufwand zu lösen.
Grundprinzip des Zählens (PFC)
Betrachten Sie ein Ereignis E, das in n unabhängigen und aufeinanderfolgenden Schritten durchgeführt werden kann. Betrachten Sie nun, dass die Anzahl der Möglichkeiten, den ersten Schritt auszuführen, gleich P1, stellen Sie sich auch vor, dass die Anzahl der Möglichkeiten, die zweite Stufe durchzuführen, P ist.2, und so weiter, bis wir die letzte Stufe erreichen, die PNein Möglichkeiten durchgeführt werden.
Das Grundprinzip des Zählens (PFC) besagt, dass die totale möglichkeiten der Durchführung der Veranstaltung E ist gegeben durch:
P1 ·P2 · … · PNein
Somit ergibt sich die Summe aus dem Produkt der Möglichkeiten jedes der Schritte, die das Ereignis E bilden. Beachten Sie, dass es notwendig ist, die Gesamtmöglichkeiten für jede der Stufen zu kennen, um die Gesamtmöglichkeiten für die Durchführung des Ereignisses E zu bestimmen.
Beispiel 2
Wiederholen wir Beispiel 1 mit dem Grundprinzip des Zählens.
Betrachten Sie das Bild in Beispiel 1.
Beachten Sie, dass die Veranstaltung in zwei Phasen durchgeführt werden kann, die erste von Stadt A nach Stadt B und die zweite von Stadt B nach Stadt C. Um den ersten Schritt durchzuführen, haben wir zwei Möglichkeiten (Straßen R1 und R2), und um die zweite Stufe durchzuführen, haben wir drei Möglichkeiten (R3, R4 und R5).
1. Schritt → zwei Möglichkeiten
2. Stufe → drei Möglichkeiten
Nach dem Grundprinzip des Zählens müssen wir multiplizieren die Gesamtmöglichkeiten jedes Schrittes.
2 · 3
6
Um von Stadt A über Stadt B nach Stadt C zu gelangen, haben wir also insgesamt sechs Möglichkeiten.
Beispiel 3
Auf wie viele Arten können die drei olympischen Medaillen in einem Wettbewerb von Mountainbike mit fünf Konkurrenten?
Die Organisation der Medaillenverteilung ist eine Veranstaltung, die in drei Etappen durchgeführt werden kann. Der erste Schritt besteht darin, die Gesamtmöglichkeiten zu analysieren, wer die Goldmedaille erhält, d. fünf Möglichkeiten.
Der zweite Schritt besteht darin, die Möglichkeiten zu analysieren, wer die Silbermedaille erhält, d. vier, da der erste Platz diese Wahl nicht betritt. Der dritte Schritt besteht darin, die Gesamtmöglichkeiten zu analysieren, wer die Bronzemedaille erhält, d.h. drei, da die ersten beiden bereits ausgewählt wurden.
1. Schritt → fünf Möglichkeiten
2. Stufe → vier Möglichkeiten
3. Stufe → drei Möglichkeiten
Nach dem Grundprinzip des Zählens haben wir also:
5 · 4 · 3
60 Möglichkeiten
Auch sehen: Additives Zählprinzip - Vereinigung von einem oder mehreren Sätzen
Fakultät
Ö Fakultät ist ein Weg eine natürliche Zahl zerlegen. Um die Fakultät einer Zahl zu berechnen, multiplizieren Sie sie einfach mit allen ihren Vorgängern bis zur Zahl 1. Die Fakultät wird durch das Ausrufezeichen „!“ dargestellt.
Sehen Sie sich einige Beispiele zur Berechnung der Fakultät einiger Zahlen an.
Das) 2! (liest: zwei Fakultäten)
Für die Berechnung multiplizieren Sie einfach die Zahl, die die Fakultät begleitet, mit allen ihren Vorgängern bis zur Zahl 1, wie folgt:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formal können wir die Fakultät wie folgt schreiben:
Betrachten Sie eine natürliche Zahl n > 2. Die Fakultät von n wird durch n angegeben! und ergibt sich durch Multiplikation von n mit all seinen positiven ganzzahligen Vorgängern.
Nein! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1
Beachten Sie die folgenden Fakultäten:
4! und 5!
Führen Sie nun die Entwicklung von beiden durch:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Beachten Sie, dass in der Entwicklung von 5! erscheint die Entwicklung von 4!. So können wir die 5 schreiben! so:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Beispiel 4
Berechnen Sie die Fakultät secheulen:
Sehen Sie, dass die 15! wurde bis zum 13 entwickelt!. Beachten Sie auch, dass im Zähler des Bruchs die Elemente multipliziert werden, sodass wir die 13 „abschneiden“ können!
Überwachung:0! = 1
Gruppierungstypen
Einige Zählprobleme sind komplexer und mit neuen Werkzeugen einfacher zu lösen. Diese Werkzeuge werden als Gruppierung bezeichnet, weil sie Elemente auf unterschiedliche Weise gruppieren, was den Zählvorgang erleichtert. Diese Gruppierungen sind: einfache Anordnung, Permutation und einfache Kombination.
einfache Anordnung
Betrachten Sie eine Menge mit n verschiedenen Elementen. nennen wir es Anordnung aus n die von p bis p genommenen Elemente, jede nach p geordnete Folge und die verschiedenen Elemente, die unter den Elementen ausgewählt werden.
Somit ist die Anzahl von Teilmengen, die durch p Elemente gebildet werden, die Anordnung von n Elementen von p bis p. Die Formel, mit der wir die Anzahl der Anordnungen berechnen können, lautet:
Beispiel 5
Berechnen Sie den Wert von A4,2 + A5,2.
Um den Wert des Ausdrucks zu berechnen, bestimmen wir jedes der Arrays und fügen diese Werte dann zusammen. Um den Wert jedes Arrays zu bestimmen, müssen wir die Werte in der Formel ersetzen.
Beachten Sie, dass n = 4 und p = 2 beide in der Formel eingesetzt wurden. Jetzt müssen wir den Wert des Arrays von fünf Elementen berechnen, die zwei mal zwei genommen werden.
Wir müssen also:
DAS4,2 + A5,2
12 + 20
32
Beispiel 6
Wie viele unterschiedliche vierstellige natürliche Zahlen lassen sich aus den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 bilden?
In diesem Problem können wir die einfache Anordnung verwenden, da 2435 ≠ 4235. Wir werden sehen, dass in einigen Fällen die Reihenfolge der Elemente sie nicht unterscheidet und wir daher die Anordnung nicht verwenden können.
Da wir die Summe der Zahlen bestimmen wollen, die gebildet werden können, beachten Sie, dass die Summe der Elemente gleich acht, und wir möchten sie vier mal vier gruppieren, also:
einfache Permutation
Betrachten Sie eine Menge mit n Elementen. nennen wir es einfache Permutation von n Elementen jede Anordnung von n Elementen genommen n bis n. Also müssen wir:
Damit es keine Verwechslungen zwischen den Begriffen gibt, bezeichnen wir die einfache Permutation von n Elementen mit PNein. Also müssen wir:
PNein = n!
Beispiel 7
Berechnen P7 und P3.
Um diese Permutationen zu berechnen, müssen wir die Werte in der Formel ersetzen. Aussehen:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Beispiel 8
Bestimmen Sie, wie viele Anagramme das Wort Brasilien enthalten kann.
Unter Anagramm verstehen wir alle möglichen Vertauschungen der Buchstaben des Wortes, zum Beispiel "Lisarb" ist a Anagramm des Wortes Brasilien. Um die Anzahl der Anagramme zu bestimmen, müssen wir die Permutation der Buchstaben im Wort berechnen, also müssen wir:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Daher hat das Wort Brasilien 720 Anagramme.
Auch zugreifen: Permutation mit wiederholten Elementen
einfache Kombination
Betrachten Sie eine Menge A mit n verschiedenen Elementen. nennen wir es Kombination der n Elemente genommen p nach p jede Teilmenge von A, gebildet durch p Elemente. Die Formel zur Berechnung der Kombination lautet:
Beispiel 9
Berechnen Sie die Kombination von 10 Elementen aus vier bis vier.
Beispiel 10
Wie viele Vierecke verschieden können wir mit Scheitelpunkten an den Punkten A, B, C, D, E und F bilden?
Beachten Sie, dass das ABCD-Viereck in diesem Zusammenhang mit dem CDBA-Viereck identisch ist, daher sollten wir die Kombination und nicht Arrays verwenden. Wir haben insgesamt sechs Punkte und wollen sie vier mal vier zusammenfassen, wie folgt:
Daher können wir 15 verschiedene Vierecke bilden.
Kombinatorische Analyse und Wahrscheinlichkeit
Das Studium der Wahrscheinlichkeit ist eng mit dem Studium der kombinatorischen Analyse verbunden.. Bei einigen Wahrscheinlichkeitsproblemen ist es notwendig, den Stichprobenraum zu bestimmen, der aus einer Menge aller möglichen Ergebnisse eines gegebenen Ereignisses besteht.
In einigen Fällen wird der Musterraum E sehr direkt geschrieben, wie beim Werfen einer fairen Münze, wo die möglichen Ergebnisse Kopf oder Zahl sind und wie folgt bezeichnet werden:
E = {Kopf, Zahl}
Stellen Sie sich nun folgende Situation vor: Ein Würfel wird dreimal hintereinander geworfen und wir sind daran interessiert, den Probenraum für dieses Experiment zu bestimmen. Beachten Sie, dass das Aufschreiben aller Möglichkeiten keine einfache Aufgabe mehr ist, wir müssen das Grundprinzip des Zählens (PFC) anwenden. Das Ereignis kann in drei Phasen durchgeführt werden, in jeder von ihnen haben wir sechs Möglichkeiten, da ein Würfel sechs Gesichter hat, wie folgt:
1. Stufe → sechs Möglichkeiten
2. Stufe → sechs Möglichkeiten
3. Stufe → sechs Möglichkeiten
Durch die PFC haben wir die Gesamtheit der Möglichkeiten:
6 · 6 · 6
216
Wir können also sagen, dass der Stichprobenraum dieses Ereignisses 216 beträgt.
Sehen Sie, dass für das Studium der Wahrscheinlichkeit Grundkenntnisse der kombinatorischen Analyse sind erforderlich., denn ohne den Stichprobenraum eines Experiments zu bestimmen, ist es unmöglich, die allermeisten Wahrscheinlichkeitsaufgaben zu lösen. Für mehr Details Lesen Sie zu diesem Bereich der Mathematik den Text:Wahrscheinlichkeit.
gelöste Übungen
Frage 1 – Bestimmen Sie die Anzahl der Anagramme des Wortes Burg. Bestimmen Sie dann die Anzahl der Anagramme, die mit dem Buchstaben c beginnen.
Auflösung
Um die Anzahl der Anagramme zu bestimmen, müssen wir die Permutation der Anzahl der Buchstaben wie folgt berechnen:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Das Wort hat 5040 Anagramme. Um nun die Anzahl der Anagramme zu bestimmen, die mit dem Buchstaben c beginnen, müssen wir den Buchstaben fixieren und das Anagramm der anderen berechnen, siehe:
Ç__ __ __ __ __ __
Beachten Sie beim Festlegen des Buchstabens c, dass noch sechs Felder übrig sind, um die Permutation zu berechnen, wie folgt:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Wir haben also 720 Anagramme des Wortes Burg, die mit dem Buchstaben c beginnen.
Frage 2 – In einem Klassenzimmer sitzen fünf Männer und sieben Frauen. Wie viele Gruppen von drei Männern und vier Frauen können gebildet werden?
Auflösung
Sehen Sie zuerst, dass die Reihenfolge, in der wir die Leute auswählen, keine Rolle spielt, zum Beispiel die von João gebildete Gruppe, Marcos und José ist die gleiche Gruppe, die von Marcos, João und José gebildet wurde, daher müssen wir die Kombination für die Berechnung.
Berechnen wir getrennt die Anzahl der Gruppen, die von Männern und Frauen gebildet werden können, und in Dann multiplizieren wir diese Ergebnisse, denn jede Männergruppe kann sich mit jeder Gruppe von Männern mischen Frauen.
Männer
Gesamt → 5
Menge in Gruppe → 3
Frauen
Gesamt → 7
Menge in Gruppe → 4
Die Gesamtzahl der Gruppen, die von drei Männern und vier Frauen gebildet werden können, beträgt daher:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
