Ö Argand-Gauss-Plan es besteht aus zwei Achsen: einer vertikalen (bekannt als imaginäre Achse) und einer horizontalen (bekannt als die reelle Achse). Es ist möglich geometrisch darstellen komplexe Zahlendie in algebraischer Form vorliegen.
Durch diese geometrische Darstellung ist es möglich entwickeln einige Konzepte, wie das Modul und das Argument einer komplexen Zahl. Komplexe Zahlen werden algebraisch durch z = a + bi dargestellt, also durch Punkte (a, b), was als Affix bezeichnet wird.
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Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
Die komplexe Ebene, auch bekannt als Argand-Gauss-Ebene, ist nichts anderes als einKartesische Ebene für komplexe Zahlen. In der Argand-Gauss-Ebene ist es möglich, eine komplexe Zahl als Punkt, bekannt als Affix, darzustellen. Mit der Entwicklung des komplexen Plans gibt es die Entwicklung von analytische Geometrie für komplexe Zahlen, wodurch wichtige Konzepte wie Modul und Argument entwickelt werden können.
Eine komplexe Zahl in ihrer algebraischen Form ist form z = a+bi, auf was Das ist der wahre Teil und B ist der Imaginärteil. Deshalb, komplexe Zahlen werden als Punkt dargestellt (a, b). In der Argand-Gauss-Ebene ist die horizontale Achse die Achse des Realteils und die vertikale Achse die Achse des Imaginärteils.
Affix
Ö Punkt auf der Ebene, der eine komplexe Zahl darstellt es wird auch als Affix bezeichnet. Es gibt drei mögliche Darstellungsfälle: imaginäre Affixe, reale Affixe und rein imaginäre Affixe.
imaginäre Affixe
Ein Affix wird als imaginär bezeichnet, wenn die komplexe Zahl sowohl a Realteil und Imaginärteil ungleich Null. In diesem Fall ist das Affix ein Punkt in einem der vier Quadranten, abhängig von den Werten von a, b und ihren jeweiligen Vorzeichen.
Beispiel:
Siehe die Darstellung komplexer Zahlen z1 = 2 +3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i und z4= 1 - 4i.
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reine imaginäre Affixe
Eine komplexe Zahl wird als rein imaginär bezeichnet, wenn dein Realteil gleich Null ist, d. h. z = bi. Beachten Sie, dass in diesem Fall die erste Koordinate immer Null ist, also arbeiten wir mit Punkten vom Typ (0, b). Beim Markieren in der Argand-Gauss-Ebene immer ein rein imaginäres Affix wird ein Punkt sein, der zur imaginären Achse gehört, also zur vertikalen Achse.
Beispiel:
Siehe die Darstellung komplexer Zahlen z1 = 2i und z2= -3i.
echte Affixe
Eine komplexe Zahl wird als a. klassifiziert reelle Zahlwenn dein Imaginärteil ist gleich Null, d. h. z = a. In diesem Fall ist die zweite Koordinate immer Null, wir arbeiten also mit Punkten vom Typ (a, 0), also ist der Imaginärteil Null und die Affixe sind in der reellen Achse der komplexen Ebene enthalten.
Beispiel:
Siehe die Darstellung komplexer Zahlen z1 = 2 und z2 = -4.
Modul für komplexe Zahlen
Bei der Darstellung einer komplexen Zahl sei P (a, b) das Affix der komplexen Zahl z = a + bi. Wir kennen den Modul der komplexen Zahl a Entfernung von Punkt P zum Ursprung. Der Modul einer komplexen Zahl z wird durch |z| dargestellt. Um den Wert von |z| zu finden, verwenden wir die Satz des Pythagoras.
|z|² =a²+b²
Wir können auch vertreten durch:
Beispiel:
Berechnen Sie den Modul der komplexen Zahl z = 12 -5i.
|z|² = 12² + (-5)²
|z|² 144 + 25
|z|²= 169
|z|=√169
|z| =13
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Argument für komplexe Zahlen
Wir wissen wie Streit einer komplexen Zahl Ö Winkel θ gebildet durch den Vektor OP und die reelle Achse. Das Argument einer Zahl wird durch arg(z) = θ dargestellt.
Um den Winkel zu finden, verwenden wir die trigonometrische Verhältnisse Sinus und Cosinus.
Um den Wert des Arguments zu ermitteln, müssen Sie Sinus und Cosinus kennen Konsultieren Sie die Wertetabelle für diese trigonometrischen Verhältnisse. Normalerweise wird bei Aufnahmeprüfungen zu diesem Thema in College-Aufnahmeprüfungen argumentiert: bemerkenswerter Winkel.
Beispiel:
Finden Sie das komplexe Zahlenargument z = 1 + i.
Zuerst berechnen wir den Modul von z.
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1+1
|z|² = 2
|z| = √2
Wenn wir |z| kennen, können wir die berechnen Sinus und Cosinus des Winkels.
Der Winkel, der Sinus und Cosinus mit den gefundenen Werten hat, beträgt 45º.
gelöste Übungen
Frage 1 - Was ist das Argument der komplexen Zahl z = √3+ i ?
A) 30
B) 45.
C) 60.
D) 90º
E) 120.
Auflösung
Alternative C.
Wir wissen, dass a = √3 und b = 1, also:
Frage 2 - Im folgenden komplexen Plan sind einige Zahlen dargestellt. Wenn wir den Plan analysieren, können wir sagen, dass die Punkte Darstellungen reiner imaginärer Zahlen sind:
A) M, N und ich.
B) P und ich.
C) L und G.
D) O, ich, G.
E) K, J und L.
Auflösung
Alternative B.
Um eine reine imaginäre Zahl in der komplexen Ebene zu identifizieren, muss sie auf der vertikalen Achse liegen, die in diesem Fall die Punkte P und I sind.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm