Lösen Systemelinear es ist eine sehr wiederkehrende Aufgabe für das Studium der Naturwissenschaften und der Mathematik. Die Suche nach unbekannten Werten führte zur Entwicklung von Methoden zur Lösung linearer Systeme, wie der Additions-, Gleichheits- und Substitutionsmethode für Systeme, die that zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, und Crammers Regel und Skalierung, die lineare Systeme aus zwei Gleichungen lösen, aber für Systeme mit mehr Gleichungen bequemer sind. Ein lineares System ist ein Satz von zwei oder mehr Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten.
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Lineargleichung
Die Arbeit mit Gleichungen existiert aufgrund der müssen unbekannte unbekannte Werte finden. Wir nennen es eine Gleichung, wenn wir einen algebraischen Ausdruck mit Gleichheit haben, und es wird als linear klassifiziert, wenn der größte Exponent seiner Unbekannten 1 ist, wie in den folgenden Beispielen gezeigt:
2x + y = 7 → lineare Gleichung mit zwei Unbekannten
a + 4 = -3 → lineare Gleichung mit einer Unbekannten
Im Allgemeinen kann eine lineare Gleichung beschrieben werden durch:
Das1x1 + die2x2 + a3x3... + aNeinxNein = c
Wir kennen ein Gleichungssystem, wenn es mehr als eine lineare Gleichung gibt. Wir beginnen mit linearen Systemen zweier Unbekannter.
Lineare Systeme lösen
Lineare Systeme mit zwei Gleichungen 1. Grades und zwei Unbekannten
Um ein System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen, gibt es mehrere Methoden, die drei bekanntesten sind:
- Vergleichsmethode
- Additionsmethode
- Substitutionsmethode
Jeder der drei kann ein lineares System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten lösen. Diese Methoden sind für Systeme mit mehr Gleichungen nicht so effizient, da es andere spezifische Methoden gibt, um sie zu lösen.
Ersatzmethode
Die Ersetzungsmethode besteht aus eine der Unbekannten isolieren in einer der Gleichungen und Führe die Substitution in der anderen Gleichung durch.
Beispiel:
1. Schritt: eine der Unbekannten isolieren.
Wir nennen I die erste Gleichung und II die zweite Gleichung. Analysieren Sie die beiden, lass uns Wählen Sie das Unbekannte, das am einfachsten zu isolieren ist. Beachten Sie, dass im Gleichung I → x + 2y = 5, x hat keinen Koeffizienten, was die Isolierung erleichtert, also schreiben wir Gleichung I so um:
ich → x + 2y = 5
ich → x = 5 - 2y
2. Schritt: I in II ersetzen.
Da wir nun Gleichung I mit x allein haben, können wir in Gleichung II x durch 5 – 2y ersetzen.
II → 3x – 5y = 4
Ersetzen von x durch 5 - 2y:
3 (5 - 2 Jahre) - 5 Jahre = 4
Da die Gleichung jetzt nur eine Unbekannte hat, ist es möglich, sie zu lösen, um den Wert von y zu finden.
Wenn wir den Wert von y kennen, finden wir den Wert von x, indem wir den Wert von y in Gleichung I ersetzen.
ich → x = 5 - 2y
x = 5 - 2 · 1
x = 5 - 2
x = 3
Die Lösung des Systems ist also S = {3,1}.
Vergleichsmethode
Die Vergleichsmethode besteht aus isolieren Sie eine Unbekannte in den beiden Gleichungen und gleichen Sie diese Werte aus.
Beispiel:
1. Schritt: sei I die erste Gleichung und II die zweite, isolieren wir eine der Unbekannten in I und II. Wenn wir uns entscheiden, das unbekannte x zu isolieren, müssen wir:
2. Schritt: setze die beiden neuen Gleichungen gleich, da x = x.
3. Schritt: Ersetzen Sie den Wert von y durch -2 in einer der Gleichungen.
x = -4 - 3y
x = -4 - 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Die Lösung dieses Systems ist also die Menge S = {2,-2}.
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Additionsmethode
Die Additionsmethode besteht darin, die Multiplikation aller Terme einer der Gleichungen so durchzuführen, dass, wenn füge Gleichung I zu Gleichung II hinzu, eine ihrer Unbekannten ist gleich Null.
Beispiel:
1. Schritt: multiplizieren Sie eine der Gleichungen, so dass die Koeffizienten entgegengesetzt sind.
Beachten Sie, dass wir, wenn wir Gleichung II mit 2 multiplizieren, 4y in Gleichung II und -4y in Gleichung I haben, und zwar mit wir addieren I + II, wir haben 0y, also multiplizieren wir alle Terme in Gleichung II mit 2, so dass dies geschehen.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2. Schritt: führe die Summe I + 2 · II.
3. Schritt: setze den Wert von x = 3 in eine der Gleichungen ein.
Lineare Systeme mit drei Gleichungen 1. Grades und drei Unbekannten
Wenn das System drei Unbekannte hat, verwenden wir andere Lösungsmethoden. Alle diese Methoden beziehen Koeffizienten auf Matrizen, und die am häufigsten verwendeten Methoden sind die Crammersche Regel oder Skalierung. Für die Auflösung ist bei beiden Verfahren die Matrixdarstellung des Systems notwendig, auch das 2x2-System kann mittels einer Matrix dargestellt werden. Es gibt zwei mögliche Darstellungen, die vollständige Matrix und die unvollständige Matrix:
Beispiel:
Das System
Kann vertreten werden durch volle Matrix
Und für unvollständige Matrix
Crammers Regel
Um Lösungen für ein 3x3-System mit den Unbekannten x, y und z zu finden, verwenden Sie die Crammers Regel, ist es notwendig, die Determinante der unvollständigen Matrix und deren Variationen zu berechnen. Also müssen wir:
D → Determinante der unvollständigen Matrix des Systems.
Dx → Determinante der unvollständigen Matrix des Systems, wobei die Spalte von x durch die Spalte der unabhängigen Terme ersetzt wird.
Dja → Determinante der unvollständigen Matrix des Systems, wobei die Spalte von y durch die Spalte der unabhängigen Terme ersetzt wird.
Dz → Determinante der unvollständigen Matrix des Systems, wobei die Spalte von z durch die Spalte der unabhängigen Terme ersetzt wird.
Um den Wert Ihrer Unbekannten zu ermitteln, müssen wir zuerst die berechnen bestimmend D, Dx, Dja mit dem System verbunden.
Beispiel:
1. Schritt: d berechnen.
2. Schritt: berechne Dx.
3. Schritt: dann können wir den Wert von x ermitteln, denn:
4. Schritt: D. berechneny.
5. Schritt: Dann können wir den Wert von y berechnen:
6. Schritt: Jetzt, da wir den Wert von x und y kennen, können wir in jeder Zeile den Wert von z finden, indem wir den Wert von x und y ersetzen und z isolieren. Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung von Dz.
Einsetzen von x = 0 und y = 2 in der ersten Gleichung:
2x + y - z = 3
2 · 0 + 2 – z = 3
0 + 2 - z = 3
-z = 3 - 2
-z = -1 (-1)
z = -1
Daher ist die Systemlösung die Ausschreibung (0.2,-1).
Auch zugreifen: Problemlösung durch Gleichungssysteme
Skalierung
Eine andere Methode zur Lösung linearer Systeme ist die Skalierung, bei der wir nur die vollständige Matrix und Operationen zwischen den Zeilen verwenden, um ihre Unbekannten zu isolieren. Lassen Sie uns das System unten skalieren.
1. Schritt: Schreiben Sie die vollständige Matrix, die das System repräsentiert.
sei L1, L2 und ich3 bzw. den Zeilen 1, 2 und 3 der Matrix führen wir Operationen zwischen L1 und ich2 und ich1 und ich3, so dass das Ergebnis die Terme in der ersten Spalte der zweiten und dritten Zeile gleich Null macht.
Analysieren wir die zweite Zeile der Matrix, ersetzen wir sie durch das Ergebnis von L2 → -2 · L1 + L2, um den Term a21 auf Null zu setzen.
Das21 = -2 · 1 + 2 = 0
Das22 = -2 · 2 + 1 = -3
Das23 = -2 · (-3) + 1 = 7
Das24 =-2 · 10 + 3 = -17
Also das L2 wird 0 -3 7 -17 sein.
Analysieren wir die dritte Zeile der Matrix und ersetzen wir sie durch das Ergebnis von L3 → 3L1 + L2, um den Begriff auf zurückzusetzen31.
Das31 = 3 · 1 – 3 = 0
Das32 = 3 · 2 + 2 = 8
Das33 = 3 · (-3) +1 = -8
Das34 = 3 · 10 – 6 = 24
Also das L3 wird 0 8 -8 24 sein.
Beachten Sie, dass alle durch 8 teilbar sind, also die L-Linie3 Halten Sie es einfach, teilen wir es durch 8.
L3 → L3 : 8 wird sein: 0 1-1 3.
Die neue Matrix der skalierten Gleichung lautet also:
Jetzt ist das Ziel, Spalte y in der dritten Zeile zurückzusetzen, wir führen Operationen zwischen L2 und ich3, mit dem Ziel, die zweite Spalte einer von ihnen zurückzusetzen.
Wir ersetzen L3 durch L3 → L2 + 3L3.
Das31 = 0 + 3 · 0 = 0
Das32 = -3 + 3 · 1 = 0
Das33 = 7 + 3 · (-1) = 4
Das34 = -17 + 3 · 3 = -8
Also L3 wird sein: 0 0 4 -8.
Die neue skalierte Matrix lautet:
Wenn wir diese Matrix nun wieder als System darstellen und x, y und z zu den Spalten hinzufügen, finden wir Folgendes:
Wir können dann den Wert jeder der Unbekannten ermitteln. Wenn wir Gleichung III analysieren, müssen wir:
Wenn z = -2, setzen wir den Wert von z in die zweite Gleichung ein:
Schließlich ersetzen wir in der ersten Gleichung den Wert von y und z, um den Wert von x zu finden.
Auch sehen: Ungleichheitssystem 1. Grades – wie kann man es lösen?
lineare Systemklassifizierung
Ein lineares System ist ein Satz linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte und mehrere Gleichungen haben können. Es gibt mehrere Methoden, um es zu lösen, unabhängig von der Anzahl der Gleichungen. dort sind drei Bewertungen für ein lineares System.
- Ermitteltes mögliches System (SPD): wenn Sie eine einzige Lösung haben.
- Unbestimmtes mögliches System (SPI): wenn es unendliche Lösungen hat.
- unmögliches System(SI): wenn es keine Lösung gibt.
gelöste Übungen
Frage 1 (IFG 2019) Betrachten Sie die Summe der Maße einer Basis und die Höhe relativ zu dieser Basis eines Dreiecks von 168 cm und die Differenz von 24 cm. Es ist richtig zu sagen, dass die Maße der Basis bzw. die Höhe relativ zu dieser Basis:
a) 72 cm und 96 cm
b) 144 cm und 24 cm
c) 96 cm und 72 cm
d) 24 cm und 144 cm
Auflösung
Alternative C.
Seien h → Höhe und b → Basis, dann haben wir folgendes System:
Bei der Additionsmethode müssen wir:
Um den Wert von h zu ermitteln, setzen wir b = 96 cm in die erste Gleichung ein:
b + h = 168
96 + h = 168
h = 168 - 96
h = 72 cm
Frage 2 Die unvollständige Matrix, die das folgende lineare System darstellt, ist:
Auflösung
Alternative C.
Die unvollständige Matrix hat die Koeffizienten von x, y und z, ist also eine 3x3-Matrix. Bei der Analyse der Alternativen ist diejenige, die die 3x3-Matrix mit den richtigen Vorzeichen enthält, der Buchstabe C.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm
