Matrix: Was ist das, Typen, Operationen, Beispiele

DAS Hauptquartier Es wird häufig zum Organisieren von Tabellendaten verwendet, um die Problemlösung zu erleichtern. Matrixinformationen, ob numerisch oder nicht, sind ordentlich in Zeilen und Spalten angeordnet.

Die Menge der Matrizen, die mit den Operationen von ausgestattet sind Zusatz, Subtraktion und Multiplikation und Merkmale bilden als neutrales und inverses Element eine mathematische Struktur, die ermöglicht seine Anwendung in verschiedenen Bereichen dieses großen Wissensgebietes.

Auch sehen: Beziehung zwischen Matrix- und Linearsystemen

Matrixdarstellung

Bevor mit dem Studium der Matrizen begonnen wird, ist es notwendig, einige Notationen bezüglich ihrer Darstellungen zu erstellen. Beim Matrizen werden immer durch Großbuchstaben dargestellt. (A, B, C…), die von Indizes begleitet werden, in denen die Die erste Zahl gibt die Anzahl der Zeilen an und die zweite die Anzahl der Spalten.

DAS anzahl der Zeilen (horizontale Reihen) und Säulen (vertikale Zeilen) einer Matrix bestimmt ihre Auftrag.

Die Matrix A hat die Ordnung m mal n. Die in einem Array enthaltenen Informationen heißen Elemente und sind in Klammern, eckigen Klammern oder zwei vertikalen Balken organisiert, siehe die Beispiele:

Die Matrix A hat zwei Zeilen und drei Spalten, also ist ihre Reihenfolge zwei mal drei → A_2x3.

Matrix B hat eine Zeile und vier Spalten, also ist ihre Reihenfolge eins zu vier, also heißt sie Linienmatrix → B_1x4.

Matrix C hat drei Zeilen und eine Spalte und heißt daher Spaltenmatrix und seine Reihenfolge ist drei mal eins → C_3x1.

Wir können die Elemente eines Arrays generisch darstellen, das heißt, wir können dieses Element mithilfe einer mathematischen Darstellung schreiben. Ögenerisches Element wird durch Kleinbuchstaben dargestellt (a, b, c…), und wie bei der Darstellung von Arrays hat es auch einen Index, der seine Position angibt. Die erste Zahl gibt die Zeile an, in der sich das Element befindet, und die zweite Zahl gibt die Spalte an, in der es sich befindet.

Betrachten Sie die folgende Matrix A, wir werden ihre Elemente auflisten.

Betrachtet man das erste Element, das sich in der ersten Zeile und ersten Spalte befindet, also in Zeile eins und Spalte eins, erhalten wir die Zahl 4. Um das Schreiben zu erleichtern, kennzeichnen wir es mit:

Das₁₁ → Zeile eins Element, Spalte eins

Wir haben also die folgenden Elemente der Matrix A_2x3:

Das₁₁ = 4

Das₁₂ =16

Das₁₃ = 25

Das₂₁ = 81

Das₂₂ = 100

Das₂₃ = 9

Im Allgemeinen können wir ein Array als Funktion seiner generischen Elemente schreiben, dies ist die generische Matrix.

Eine Matrix aus m Zeilen und n Spalten wird dargestellt durch:

• Beispiel

Bestimmen Sie die Matrix A = [a_ij ]_2x2, welches folgendes Ausbildungsgesetz zu_ij = j² – 2i. Aus den Aussagedaten haben wir, dass die Matrix A von der Ordnung zwei mal zwei ist, d.h. sie hat zwei Zeilen und zwei Spalten, also:

Außerdem wurde das Matrixbildungsgesetz angegeben, d. h. jedes Element ist mit der Beziehung zu_ij = j² – 2i. Wenn wir die Werte von i und j in der Formel einsetzen, haben wir:

Das₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

Das₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

Das₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

Das₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Daher ist Matrix A:

Array-Typen

Einige Matrizen verdienen besondere Aufmerksamkeit, siehe jetzt diese Arten von Arrays mit Beispielen.

• quadratische Matrix

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Zeilen entspricht der Anzahl der Spalten. Wir repräsentieren die Matrix mit n Zeilen und n Spalten durch A_Nein (liest: quadratische Matrix der Ordnung n).

In quadratischen Matrizen haben wir zwei sehr wichtige Elemente, die Diagonalen: Haupt- und Nebendiagonalen. Die Hauptdiagonale wird von Elementen mit gleichen Indizes gebildet, d.h. es ist jedes Element a_ij mit i = j. Die Sekundärdiagonale wird von Elementen a_ij mit i + j = n +1, wobei n die Matrixordnung ist.

• Identitätsmatrix

Die Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix mit alleSieElemente der Hauptdiagonalen gleich 1 und der andere Elemente gleich 0, sein Entstehungsgesetz lautet:

Wir bezeichnen diese Matrix mit I, wobei n die Ordnung der quadratischen Matrix ist, siehe einige Beispiele:

• Einheitenmatrix

Es ist eine quadratische Matrix der Ordnung eins, d. h. sie hat eine Zeile und eine Spalte und ist daher nur ein Element.

A = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 und C = || 5||_1x1

Dies sind Beispiele für Einheitsmatrizen mit Betonung auf Matrix B, die a Einheitsidentitätsmatrix.

• Nullmatrix

Ein Array heißt null, wenn alle seine Elemente gleich null sind. Wir repräsentieren eine Nullmatrix der Ordnung m durch n durch O_mxn.

Die Matrix O ist null der Ordnung 4.

• entgegengesetzte Matrix

Betrachten Sie zwei Matrizen gleicher Ordnung: A = [a_ij]_mxn und B = [b_ij]_mxn. Diese Matrizen heißen genau dann entgegengesetzt, wenn die_ij = -b_ij. So, die entsprechenden Elemente müssen sein Gegenzahlen.

Wir können die Matrix B = -A darstellen.

• transponierte Matrix

Zwei Matrizen A = [a_ij]_mxn und B = [b_ij]_nxm Sie sind transponiert wenn, und nur wenn, die_ij = b_ji , d. h. bei einer gegebenen Matrix A, um ihre Transponierte zu finden, nehmen Sie einfach die Zeilen als Spalten.

Die Transponierte der Matrix A wird mit A. bezeichnet^T. Siehe das Beispiel:

Mehr sehen: Inverse Matrix: Was ist das und wie kann man es überprüfen?

Matrixoperationen

Generische Darstellung einer n x m Matrix.

Die Menge der Matrizen hat die Operationen von asehr gut definierte Addition und Multiplikationd.h. immer dann, wenn wir zwei oder mehr Matrizen operieren, gehört das Ergebnis der Operation immer noch zur Menge der Matrizen. Aber was ist mit der Subtraktionsoperation? Wir verstehen diese Operation als Umkehrung der Addition (Gegenmatrix), die ebenfalls sehr gut definiert ist.

Bevor wir die Operationen definieren, wollen wir die Ideen von entsprechendes Element und Gleichheit der Matrizen. Entsprechende Elemente sind solche, die in verschiedenen Matrizen die gleiche Position einnehmen, dh sie befinden sich in der gleichen Zeile und Spalte. Offensichtlich müssen die Arrays dieselbe Reihenfolge haben, damit übereinstimmende Elemente existieren. Aussehen:

Die Elemente 14 und -14 sind entsprechende Elemente der gegenüberliegenden Matrizen A und B, da sie dieselbe Position einnehmen (dieselbe Reihe und Spalte).

Zwei Matrizen heißen genau dann gleich, wenn die entsprechenden Elemente gleich sind. Gegeben sind also die Matrizen A = [a_ij]_mxn und B = [b_ij]_mxn, werden diese dann und nur dann gleich sein, wenn die_ij = b_ij für alle ich j.

• Beispiel

Wenn Sie wissen, dass die Matrizen A und B gleich sind, bestimmen Sie die Werte von x und t.

Da die Matrizen A und B gleich sind, müssen die entsprechenden Elemente gleich sein, also:

x = -1 und t = 1

• Addition und Subtraktion von Matrizen

Die Operationen von Addition und Subtraktion zwischen Matrizen sie sind ziemlich intuitiv, aber zuerst muss eine Bedingung erfüllt sein. Um diese Operationen durchzuführen, muss zunächst überprüft werden, ob die Array-Bestellungen sind gleich.

Sobald diese Bedingung verifiziert ist, erfolgt die Addition und Subtraktion der Matrix durch Addieren oder Subtrahieren der entsprechenden Elemente der Matrizen. Betrachten Sie die Matrizen A = [a_ij]_mxn und B = [b_ij]_mxn, dann:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Beispiel

Betrachten Sie die Matrizen A und B unten, bestimmen Sie A + B und A – B.

Lesen Sie auch: Ganzzahloperationen

• Multiplikation einer reellen Zahl mit Matrix

Die Multiplikation einer reellen Zahl in einer Matrix (auch bekannt als Matrixmultiplikation) mit einem Skalar ergibt sich durch die Multiplikation jedes Elements der Matrix mit dem Skalar.

Sei A = [a_ij]_mxn eine Matrix und t eine reelle Zahl, also:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Siehe das Beispiel:

• Matrix-Multiplikation

Die Multiplikation von Matrizen ist nicht so trivial wie ihre Addition und Subtraktion. Bevor die Multiplikation durchgeführt wird, muss auch eine Bedingung bezüglich der Reihenfolge der Matrizen erfüllt sein. Betrachten Sie Matrizen A_mxn und B_nxr.

Um die Multiplikation durchzuführen, Die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix muss der Anzahl der Zeilen in der zweiten entsprechen. Die Produktmatrix (die aus der Multiplikation stammt) hat eine Reihenfolge, die durch die Anzahl der Zeilen in der ersten und die Anzahl der Spalten in der zweiten gegeben ist.

Um die Multiplikation zwischen den Matrizen A und B durchzuführen, müssen wir jede der Zeilen mit allen Spalten wie folgt multiplizieren: das erste Element von A wird mit dem ersten Element von B multipliziert und dann zum zweiten Element von A addiert und mit dem zweiten Element von B multipliziert, und so nacheinander. Siehe das Beispiel:

Lesen Sie auch: Theorem von Laplace: wissen, wie und wann es zu verwenden ist

Übungen gelöst

Frage 1 – (U. UND. Londrina – PR) Seien die Matrizen A und B jeweils 3 x 4 und p x q, und wenn die Matrix A · B die Ordnung 3 x 5 hat, dann gilt:

a) p = 5 und q = 5

b) p = 4 und q = 5

c) p = 3 und q = 5

d) p = 3 und q = 4

e) p = 3 und q = 3

Lösung

Wir haben die Aussage:

DAS_3x4 · B_pxq = C_3x5

Aus der Bedingung zur Multiplikation zweier Matrizen ergibt sich, dass das Produkt nur existiert, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten ist, also p = 4. Und wir wissen auch, dass die Produktmatrix durch die Anzahl der Zeilen in der ersten mit der Anzahl der Spalten in der zweiten gegeben ist, also q = 5.

Daher p = 4 und q = 5.

A: Alternative b

Frage 2 - (Vunesp) Bestimmen Sie die Werte von x, y und z anhand der folgenden Gleichheit mit 2 x 2 reellen Matrizen.

Lösung

Lassen Sie uns die Operationen zwischen den Arrays durchführen und dann die Gleichheit zwischen ihnen.

Um den Wert von x, y und z zu bestimmen, lösen wir das lineare System. Lassen Sie uns zunächst die Gleichungen (1) und (2) hinzufügen.

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

Wenn wir den in Gleichung (3) gefundenen Wert von x einsetzen, erhalten wir:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Und schließlich, indem wir die Werte von x und z aus Gleichung (1) oder (2) ersetzen, haben wir:

x + y - z = 0

2 +y – 2 = 0

y=0

Daher ist die Lösung des Problems durch S = {(2, 0, 2)} gegeben.

von Robson Luis
Mathematiklehrer