Logarithmus ist ein sehr wichtiges Werkzeug nicht nur für den Bereich Mathematik, da es in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft Anwendung findet, wie Geographie, Chemie und Informatik.
Historisch der Logarithmus entsteht, um Konten zu erleichtern die in mehreren wissenschaftlichen Bereichen häufig auftauchten. John Napier leistete Pionierarbeit beim Studium der Logarithmen und schaffte es, eine Operation zu entwickeln, die in der Lage ist, eine Transformation durchzuführen Produkte im Summe, Unterteilungen in Subtraktionen und Potenzen bei Multiplikationen.
Die Definition dieser Operation im Laufe der Zeit haben andere Mathematiker formalisiert Definitionen und Eigenschaften, außerdem das bekannte Log-Tabelle.
Definition des Logarithmus
Skizzieren Sie den Graphen der Logarithmusfunktion (rechts) und ihrer exponentiellen Umkehrung (links).
betrachte zwei reale Nummern positiv Das und B, mit nach ≠ 0. der Logarithmus von B an der Wurzel Das ist die Zahl x dann und nur dann, wenn, Das angehoben zu x ist gleich der Zahl B.
Nomenklatur:
die → Basis
b → Logarithmus
x → Logarithmus
Siehe die Beispiele:
Wenn ein Logarithmus eine Basis von 10 hat, heißt er dezimaler Logarithmus. Beim Registrieren eines Dezimalprotokolls ist es nicht erforderlich, die Basis 10 zu schreiben. Es wird vereinbart, dass:
Lesen Sie auch: Dezimallogarithmus-System
Wie berechnet man einen Logarithmus?
Um einen Logarithmus zu berechnen, suchen wir nach a Zahl, die beim Erhöhen der Basis den Logarithmus ergibt. Nehmen wir als Beispiel den Logarithmus von 36 zur Basis 6 im vorherigen Beispiel, sollten wir eine Zahl finden, die, wenn wir die Basis 6 erhöhen, zu 36 führt. wie 62 = 36, mit Antwort 2. Schauen wir uns weitere Beispiele an:
1) Protokollieren Sie 1000. Um diesen Logarithmus zu berechnen, müssen wir eine Zahl finden, die, auf 10 erhöht, gleich 1000 ist, also 10x = 1000.
Wenn wir die Exponentialgleichung lösen, haben wir:
10x=1000
10x = 103
x = 3
Deshalb,
1.Berechnen Sie den Logarithmus:
Wir müssen eine Zahl finden, die zur Wurzel 7 gleich eins zu neunundvierzig ist. Wenn wir die Gleichung lösen, haben wir:
Weiterlesen: Exponentialgleichung - Gleichung mit Unbekanntem im Exponenten
Logarithmus-Existenzbedingung
Betrachten Sie den folgenden Logarithmus:
Der Ausdruck ist nur dann definiert, wenn die Basis größer als Null und ungleich Eins ist und wenn die Basis größer als Null ist, d. h.:
a > 0 und a ≠ 0
b > 0
Eigentum an Logarithmen
Siehe die wichtigsten unten. Eigenschaften von Logarithmen. Alle hier zitierten Logarithmen erfüllen die Existenzbedingung.
Eigentum 1
Der Logarithmus des Produkts zweier Faktoren ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Faktoren.
Eigentum 2
Der Logarithmus des Quotienten zwischen zwei Zahlen ist gleich der Differenz der Logarithmen dieser Zahlen.
Eigentum 3
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich der Multiplikation des Exponenten dieser Potenz mit dem Logarithmus der Basis der Potenz, wobei wir die Basis des Logarithmus beibehalten.
Eigentum 4
Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Kehrwert des Index der Wurzel multipliziert mit dem Logarithmus, wobei wir auch die Basis beibehalten.
Eigentum 5
Der Logarithmus einer Zahl in einer potenzierten Basis ist gleich der Multiplikation des Kehrwerts des Exponenten dieser Basis.
Mehr wissen: Anwendungen derOgarithmen: siehe Beispiele
Übungen gelöst
Frage 1 - (Fuvest - SP) Wenn x5 = 1000 und b3 = 100, also ist der Logarithmus von x zur Basis b:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1,2
D) 1,5
E) 2.0
Lösung
Da die Zahlen 1000 und 100 zur Basis 10 geschrieben werden können, haben wir:
Setzt man den Logarithmus von x in die Basis b ein und wendet die Definition an, erhält man:
Frage 2 - (Enem) Das Wasserstoffpotential (pH) einer Lösung ist definiert als der Index, der ihre Säure, Neutralität oder Alkalinität angibt. Es wird wie folgt gefunden:
H. sein+ die Konzentration von Wasserstoffionen in dieser Lösung. Der pH-Wert einer Lösung, wobei H+ = 1,0 ·10-9, é:
Lösung:
Ersetzen des H-Wertes+ in der pH-Formel haben wir:
Von L.do Robson Luiz
Mathematiklehrer
