Sie natürliche Zahlen waren der erste Zahlensatz, der historisch betrachtet wurde. Sie entstanden aus dem muss zählen des Menschen. Die Menge der natürlichen Zahlen hat als Elemente die positive Zahlen und ganze Zahlen, wie 1, 2, 3, 4, …. Diese Menge hat die Additionsoperationen, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Strahlung.
Was sind natürliche Zahlen?
natürliche Zahlen sind Zahlen strikt positiv die kein Komma haben, das heißt, sie stellen Mengen dar ganze. Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich wie folgt darstellen:
Die Menge der natürlichen Zahlen ist a unendliche Menge, d. h. bei jeder natürlichen Zahl gibt es mindestens eine Zahl, die größer ist. Sehen Sie sich einige Beispiele für Elemente an, die zu diesem Set gehören und nicht.
Aus dem obigen Beispiel haben wir, dass die Zahlen 10, 2 und 100 zur natürlichen Menge gehören, und die Zahlen 1.65, –2 und 0 gehören nicht zur natürlichen Menge.
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Nachfolger einer natürlichen Zahl
Wie oben gesagt, ist die Menge der natürlichen Zahlen eine unendliche Menge, d. h. eine beliebige Zahl Nein natürlich gibt es immer n+1, auch natürlich. Die Nummer n+1 heißt der Nachfolger von n. Um den Nachfolger einer beliebigen natürlichen Zahl zu bestimmen, einfach hinzufügen 1 zu dieser Zahl. Als Beispiel bestimmen wir die Nachfolger der Zahlen 3, 1, 5 und 2p + 1.
Der Nachfolger der Zahl 3 ergibt sich aus 3+1, also der Zahl 4. Ebenso sind die Nachfolger von 1 und 5 bzw. 2 und 6. Nach der Definition von Nachfolger nehmen wir an, dass der Nachfolger von 2p + 1 2p + 1 + 1 ist, also 2p + 2.
Mit der Definition von Nachfolger wird die Vorstellung, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist, klarer, da es immer möglich ist, einen beliebigen Nachfolger einer natürlichen Zahl zu finden.
Vorfahr einer natürlichen Zahl
Der Vorgänger einer natürlichen Zahl Nein ist diejenige, die dieser Zahl vorangeht Nein. Wir können das schreiben Vorgänger von Nein mögen n - 1. Als Beispiel bestimmen wir die Vorgänger der Zahlen 2, 5, 1000 und 2p + 1.
Der Vorgänger von 2 ist 2 - 1, also die Zahl 1. Ebenso sind die Vorgänger von 5 und 1000 die Nummern 4 und 999. Der Vorgänger der Zahl 2p + 1 ist 2p + 1 – 1, dh der Vorgänger von 2p +1 ist die Zahl 2p.
Das ist wichtig zu sagen nicht jede natürliche Zahl hat einen Vorgänger, ist der Fall von Nummer 1. Wenn wir die Definition von Vorfahren anwenden, haben wir, dass der Vorgänger der Zahl 1 1 - 1 = 0 ist, aber die Nummer Null gehört nicht zu natürlichen Zahlen. Daher hat jede natürliche Zahl mit Ausnahme der Zahl 1 einen Vorgänger. Aus diesem Grund wird die Zahl 1 als minimales Element der natürlichen Zahlen bezeichnet, dh sie ist die kleinste natürliche Zahl. Wir können diese Informationen wie folgt schreiben:
Teilmenge der natürlichen Zahlen
Wir wissen, dass die Menge der natürlichen Zahlen aus streng positiven Zahlen besteht, also aus Zahlen größer Null. Aus der Theorie von Sätze, haben wir, dass, gegeben die Mengen A und B, wir sagen, dass B ist eine Teilmenge von A, wenn jedes Element von B ein Element von A. ist, dh B ist in A enthalten (B A).
Somit ist jede Menge, die durch natürliche Zahlen gebildet wird, eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Sehen Sie einige Beispiele:
Betrachten Sie die Sätze:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Die Mengen A, B und C sind Teilmengen der natürlichen Zahlen, da alle Elemente dieser Mengen auch Elemente der natürlichen sind, d.h. wir können sagen:
Schauen Sie sich nun Satz D an. Beachten Sie, dass in dieser Menge nicht jedes Element zur Menge der natürlichen Zahlen gehört. Dies ist bei der Zahl 0 der Fall. Daher ist D es ist keine Untermenge der natürlichen Zahlen, dh D ist nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Diesen Umstand bezeichnen wir wie folgt:
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gerade natürliche Zahlen
Wir sagen, dass eine Zahl gerade ist, wenn sie ein Vielfaches der Zahl 2 ist, was der Aussage entspricht, dass diese Zahl durch 2 teilbar ist. Aussehen:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Da die Menge der natürlichen Zahlen eine unendliche Menge ist, ist es auch die Menge der geraden Zahlen. Beachten Sie auch, dass jedes Element der Menge der geraden Zahlen auch ein Element der natürlichen Zahlen ist und somit die Menge der gerade Zahlen ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen..
Siehst du das:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Die Menge der geraden Zahlen erhält man, indem man alle natürlichen Zahlen mit der Zahl 2 multipliziert. Betrachten wir also eine natürliche Zahl Nein, wir können eine gerade Zahl mit dem Ausdruck 2n schreiben, also kann die Menge der geraden Zahlen im Allgemeinen geschrieben werden durch:
Lassen Sie uns als Beispiel herausfinden, ob die Zahlen 1000, 2098 und 55 gerade sind.
Da 1000 = 2 · 500 und 2098 = 2 · 1049 sind, sind sie gerade, weil es eine natürliche Zahl gibt, die sie multipliziert mit 2 ergibt. 55 ist nicht gerade, da es keine natürliche Zahl gibt, die mit 2 multipliziert 55 ergibt. Aussehen:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Wie wir wissen, gibt es zwischen 27 und 28 keine natürliche Zahl, also ist 55 nicht gerade.
Ungerade natürliche Zahlen
Eine Zahl ist ungerade, wenn sie nicht gerade ist, also weder ein Vielfaches noch durch 2 teilbar ist. Somit ist die Menge von ungerade natürliche Zahlen sind natürliche Zahlen, die kein Vielfaches von 2 sind. Diese Menge kann wie folgt geschrieben werden:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Analog zu dem, was wir in der Menge der geraden Zahlen gemacht haben, haben wir:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Die Menge der ungeraden Zahlen erhält man durch Multiplikation alle natürlichen Zahlen durch 2 und Addieren von 1. unter Berücksichtigung einer natürlichen Zahl Nein any, wir können jede ungerade Zahl mit dem Ausdruck 2n + 1 schreiben. Im Allgemeinen stellen wir die Menge der ungeraden Zahlen dar durch:
Beachten Sie, dass die Menge der ungeraden Zahlen auch eine unendliche Menge ist, da wir die natürlichen Zahlen mit 2 multiplizieren und dann 1 addieren, um die ungeraden Zahlen zu erhalten. Aus diesem Grund ist die Die Menge der ungeraden Zahlen ist auch eine Teilmenge der natürlichen Zahlen., denn jedes Element dieser Menge ist auch ein Element der natürlichen.
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Übungen gelöst
Frage 1 – Listen Sie nur die natürlichen Zahlen der unten aufgeführten Zahlen auf:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 und 98.765
Lösung
Wir wissen, dass die Menge der natürlichen Zahlen aus streng positiven Zahlen besteht, die kein Komma haben, daher sind die natürlichen Zahlen in der Liste: 1, 2 und 98.765.
Frage 2 – Stimmt es, wenn man die allgemeine Form einer geraden Zahl bedenkt, dass die Addition zweier gerader Zahlen immer noch gerade ist? Das gleiche gilt für ungerade Zahlen?
Lösung
Wir wissen, dass eine gerade Zahl im Allgemeinen geschrieben werden kann, indem man jede natürliche Zahl mit 2 multipliziert. Betrachten Sie zwei verschiedene natürliche Zahlen, 2n und 2m, wobei ich und Nein beliebige natürliche Zahlen, die Summe der beiden wird bestimmt durch:
2n + 2m
Wenn wir die Zahl 2 in Beweis stellen, haben wir:
2 ·(n+m)
Mögen Nein und ich sind zwei natürliche Zahlen, ihre Summe ist auch, also n + m = k, wobei k eine natürliche Zahl.
2 ·(n+m)
2 · k
Daher ist die Summe zweier gerader natürlicher Zahlen auch eine gerade Zahl, da die Summe ein Vielfaches von 2 ergibt.
Jetzt wissen wir, dass eine ungerade Zahl durch Multiplikation einer natürlichen Zahl mit 2 zur Zahl 1 gegeben wird. Betrachten Sie nun zwei verschiedene ungerade Zahlen, 2n +1 und 2m + 1, mit ich und Nein natürlich. Wenn wir diese Zahlen zusammenzählen, erhalten wir:
2n+1 + 2m +1
2n + 2m +2
Um die Zahl 2 wieder in Beweis zu stellen, haben wir:
2 (n+m+1)
Beachten Sie, dass n + m + 1 eine natürliche Zahl ist und wir sie durch p darstellen können, d. n + m + 1 = p, bald:
2 ·(n+m+1)
2 · P
Beachten Sie, dass das Ergebnis der Addition zweier ungerader Zahlen ein Vielfaches von 2 ergibt, also gerade. Daher ist die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl.
Frage 3 - (Ausschreibung / Pref. aus Itaboraí) Der Quotient zwischen zwei natürlichen Zahlen ist 10. Durch Multiplizieren des Dividenden mit 5 und Verringern des Divisors um die Hälfte ergibt sich der Quotient der neuen Division:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Lösung
Laut Aussage ist der Quotient (Division) zwischen zwei natürlichen Zahlen 10. Da wir immer noch nicht wissen, was diese Zahlen sind, benennen wir sie nach ich und Nein, dann:
Wenn wir nun den Dividenden mit 5 multiplizieren und den Divisor um die Hälfte reduzieren, erhalten wir:
Durchführung der Bruchteilung und den Wert von. ersetzen ich, wir werden haben:
Antworten: Alternative z.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm