Es ist bekannt als Rationale Zahl jede Zahl, die kann als irreduzibler Bruch dargestellt werden. Im Laufe der Menschheitsgeschichte hat sich die Idee der Zahl nach und nach in Übereinstimmung mit den menschlichen Bedürfnissen entwickelt. Die Darstellung von Zahlen in Brüchen beispielsweise löste Probleme, die nur mit. gelöst wurden ganze Zahlen.
Eine rationale Zahl kann aus einem Bruch dargestellt werden, daher gibt es Methoden, um ganze Zahlen zu transformieren, Dezimal Zahlen exakte und periodische Dezimalzahlen in Brüchen.
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Was sind rationale Zahlen?
Die rationalen Zahlen sind eine Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen, dann wurden zusätzlich zu den ganzen Zahlen addiert alle Brüche. Ö einstellen der rationalen Zahlen wird dargestellt durch:
Diese Darstellung besagt, dass eine Zahl rational ist, wenn sie als Bruch dargestellt werden kann Das Über B, so dass Das eine ganze Zahl ist und B ist eine ganze Zahl ungleich null. Aber wenn wir rationale Zahlen weniger streng definieren wollen, können wir Folgendes sagen:
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. |
Treffen Sie diese Definition:
Sie ganze Zahlens, zum Beispiel: -10, 7, 0;
Sie genaue Dezimalzahlen, zum Beispiel: 1,25; 0,1; 3,1415;
beim einfache periodische Zehnten, zum Beispiel: 1.424242…;
beim zusammengesetzter periodischer Zehnter, zum Beispiel: 1.0288888…
Nein sind rationale Zahlen:
Beim nicht periodische Zehnten, zum Beispiel: 4,1239489201…;
Beim Wurzelnnicht genau, beispielsweise:
;- DAS Froschichz Quadrat von negative Zahlen, beispielsweise:
.
Überwachung: Die Existenz nicht-rationaler Zahlen lässt andere Mengen entstehen, wie irrationale Zahlen und komplexe Zahlen.
Darstellung rationaler Zahlen
Verstehen, dass der Bruch a. ist Einteilung von zwei ganzen Zahlen, um eine rationale Zahl zu sein, Sie können diese Zahl als Bruch darstellen. Daher kann jeder der oben genannten Fälle als rationale Zahlen (ganze Zahlen, exakte Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen) als Bruch dargestellt werden.
ganze Zahlen
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, eine ganze Zahl als Bruch darzustellen, da ein Bruch irreduzibel dargestellt werden kann oder nicht.
Beispiele:
genaue Dezimalzahlen
Um eine genaue Dezimalzahl in a umzuwandeln Fraktion, zählen wir die Anzahl der Zahlen in ihrem Dezimalteil, also nach dem Komma. Wenn nach dem Komma eine Zahl steht, schreiben wir den ganzzahligen Teil plus den Dezimalteil ohne Komma über 10. Wenn der Dezimalteil zwei Zahlen über 100 hat, entspricht die Anzahl der Zahlen im Dezimalteil in der Praxis der Anzahl der Nullen im Nenner. Siehe das Beispiel:
periodische Zehnten
Die Bruchdarstellung eines Zehnten zu finden ist nicht immer eine leichte Aufgabe, was wir so nennen Bruch erzeugen. Um diese Arbeit zu erleichtern, wurde beobachtet, dass es in der Gleichung, die wir zum Bestimmen des erzeugenden Bruchs verwendet haben, Regelmäßigkeiten gibt, die die Entwicklung einer praktischen Methode ermöglichten.
Zuerst müssen wir verstehen, dass es zwei Arten von periodischen Zehnten gibt, einfache und zusammengesetzte. Einer der Zehnte ist einfach wenn es in seinem Dezimalteil nur den Teil gibt, der sich wiederholt, also den Punkt. Einer der Zehnte ist zusammengesetzt wenn in seinem Dezimalteil ein nichtperiodischer Teil vorhanden ist.
Beispiel:
9.323232… → einfache periodische Dezimalzahl
Ganzzahliger Teil gleich 9.
Periode ist gleich 32.
8,7151515… → zusammengesetzter periodischer Zehnter
Ganzzahliger Teil gleich 8.
Nicht periodischer Dezimalteil ist gleich 7.
Zeitraum ist gleich 15.
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→ 1. Fall: Bruch einer einfachen periodischen Dezimalzahl erzeugen
Im ersten Fall zu Verwandle eine einfache periodische Dezimalzahl in einen Bruch Bei der praktischen Methode schreiben Sie einfach den gesamten Teil plus den Punkt ohne Komma im Zähler. Im Nenner addieren wir für jedes Element im periodischen Teil eine 9.
Beispiel:
Der erzeugende Bruch von 9.323232… hat, wie wir gesehen haben, eine Periode gleich 32, d. h. zwei Zahlen in seiner Periode, also ist der Nenner 99. Der ganzzahlige Teil plus dem periodischen Teil ohne Komma ergibt 932, den Zähler. Der erzeugende Bruchteil dieses Zehnten ist also:
→ 2. Fall: Bruch einer zusammengesetzten periodischen Dezimalzahl erzeugen
Der periodische zusammengesetzte Zehnte ist etwas mühsamer. Lassen Sie uns den erzeugenden Bruchteil des Zehnten ermitteln, an dem wir im Beispiel gearbeitet haben.
8,7151515… → zusammengesetzte periodische Dezimalzahl.
Ganzzahliger Teil gleich 8.
Nicht periodischer Dezimalteil ist gleich 7.
Der Dezimalteil der Periode ist gleich 15.
Der Zähler ist der Subtraktion 8715 – 87, dh die Differenz zwischen der Zahl, die vom ganzen Teil zum periodischen Teil mit dem sich nicht wiederholenden Teil des Zehnten geht.
Der Zähler ist gleich 8715 – 87 = 8628.
Um den Nenner zu finden, analysieren wir den Dezimalteil. Betrachten wir zunächst den nichtperiodischen und den periodischen Dezimalteil. In diesem Fall ist der Dezimalteil der Zahl 715. Für jede Zahl, die sich im periodischen Teil befindet, fügen wir a. hinzu 9 am Anfang des Nenners. Da der periodische Teil in diesem Fall zwei Zahlen (15) hat, gibt es zwei 9er im Nenner. Für jede Zahl im Dezimalteil, die nicht periodisch ist, fügen wir a 0 am Ende des Nenners, der sein wird 990.
Bald ist der Bruch erzeugen des Zehnten wird sein:
Eigenschaften rationaler Zahlen
Zwischen zwei rationalen Zahlen wird immer eine weitere rationale Zahl liegen
Es ist interessant, darüber nachzudenken, dass diese Eigenschaft, die von den alten Völkern viel diskutiert wurde, zu einem Paradox wird. Wenn Sie zwei rationale Zahlen wählen, wird immer eine Zahl dazwischen liegen.
Beispiel:
Zwischen 1 und 2 gibt es 1,5; zwischen 1 und 1,5 gibt es 1,25; zwischen der 1 und der 1,25 liegt die 1,125 und so weiter. So sehr ich zwei rationale Zahlen mit sehr geringem Unterschied zwischen ihnen wähle, es ist immer möglich, eine rationale Zahl zwischen ihnen zu finden. Diese Eigenschaft macht Nachfolger und Vorgänger können nicht in rationalen Zahlen definiert werden.
Die vier Operationen auf der Menge der rationalen Zahlen sind abgeschlossen
Wir sagen, dass die Menge für die. abgeschlossen ist Summe, zum Beispiel, wenn die Summe zweier rationaler Zahlen immer eine andere rationale Zahl als Antwort ergibt. Dies geschieht mit den vier Operationen auf Q.
DAS Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation zwischen zwei rationalen Zahlen ergibt immer eine rationale Zahl. Tatsächlich sind sogar die Potenzierung einer rationalen Zahl wird immer eine rationale Zahl als Antwort erzeugen.
Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht geschlossen für die Strahlung. So, ichda 2 eine rationale Zahl ist, ist die Quadratwurzel von 2 a irrationale Zahl.
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Teilmengen rationaler Zahlen
Wir wissen wie Teilmengen oder Inklusionsrelation die Mengen, die von Elementen gebildet werden, die zur Menge der rationalen Zahlen gehören. Es gibt mehrere mögliche Teilmengen, als Menge ganzer Zahlen oder natürlich, denn jede ganze Zahl ist rational, genauso wie jede natürliche Zahl rational ist.
Beispiel:
Satz von ganzen Zahlen: Z= {…-3, -2, -1, 0.1, 2, 3, …}.
Wenn das passiert, sagen wir das Z ⸦ Q (Es lautet: Z ist in Q enthalten oder die Menge der ganzen Zahlen ist in der Menge der rationalen Zahlen enthalten.)
Es gibt einige Symbole, die für die Bildung von Teilmengen von Q unerlässlich sind: +,- und *, die jeweils positiv, negativ und nicht null bedeuten.
Beispiele:
Q* → (liest: Menge von rationalen Zahlen ungleich null.)
Q+ → (liest: Menge positiver rationaler Zahlen.)
Q- → (liest: Menge negativer rationaler Zahlen.)
Q*+ → (liest: Menge positiver und nicht-null-rationaler Zahlen.)
Q*- → (liest: Menge negativer und nicht-null-rationaler Zahlen.)
Beachten Sie, dass alle diese Mengen Teilmengen von Q sind, da alle Elemente zur Menge der rationalen Zahlen gehören. Zusätzlich zu den vorgestellten Mengen können wir mit mehreren Teilmengen in Q arbeiten, z. B. der Menge der ungeraden Zahlen oder Cousinen, oder Paare, schließlich gibt es mehrere und mehrere Möglichkeiten von Teilmengen.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
