DAS einfache Kombination ist eine der untersuchten Gruppierungen in kombinatorische Analyse. Wir kennen als Kombination die Anzahl von alle Teilmengen von k Elemente, die wir aus einer Menge von bilden können Nein Elemente.
Es ist durchaus üblich, Situationen zu sehen, in denen wir die Kombination verwenden, um beispielsweise alle Ergebnisse zu berechnen möglich bei Lotterie- oder Pokerspielen und in anderen Situationen, wie zum Beispiel beim Studium der Wahrscheinlichkeit und Statistik.
Eine weitere sehr häufige Gruppierung ist die Anordnung. Was die Anordnung von der Kombination unterscheidet, ist die Tatsache, dass bei der Anordnung die Reihenfolge der Elemente wichtig ist und bei der Kombination die Reihenfolge nicht. Daher vergleichen wir die Kombination mit der Auswahl von Teilmengen.
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Was ist eine einfache Kombination?
Bei der kombinatorischen Analyse wird die Anzahl möglicher Cluster untersucht. Unter diesen Gruppierungen gibt es die sogenannte einfache Kombination. Die einfache Kombination ist nichts anderes als die
Zählung aller Teilmengen mit k Elemente einer gegebenen Menge, zum Beispiel: Megasena, bei der 6 Zahlen zufällig gezogen werden.In diesem Fall können Sie sehen, dass die Reihenfolge, in der diese 6 Zahlen gewählt wurden, keinen Unterschied macht, d. die Reihenfolge ist egal, was dieses Ergebnis zu einer Teilmenge macht. Diese Eigenschaft ist grundlegend, um zu verstehen, was eine Kombination ist und um sie von den anderen Gruppierungen zu unterscheiden - bei der Kombination spielt die Reihenfolge der Elemente der Menge keine Rolle.
einfache Kombinationsformel
Kombinationsprobleme werden durch eine Formel berechnet. die Kombination von Nein Elemente aus k im k é:
n → Gesamtelemente in der Menge
k → Gesamtelemente in Teilmenge
Auch sehen: Additives Zählprinzip - Vereinigung von Elementen von zwei oder mehr Mengen
Wie berechnet man eine Kombination?
An erster Stelle, Es ist wichtig zu wissen, wann ein Problem eine Kombination ist. Finden Sie zur Veranschaulichung alle möglichen Kombinationen der einstellen {A, B, C, D} mit zwei Elementen:
Listenkombinationen mit zwei Elementen sind: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} und {C, D}. In diesem Fall kann man sehen, dass es 6 mögliche Kombinationen gibt, und es ist auch erwähnenswert, dass die Teilmengen {A, B} und {B, A} gleich sind, da bei der Kombination die Reihenfolge nicht wichtig ist .
Es stellt sich heraus, dass es nicht immer möglich ist, alle möglichen Kombinationen aufzulisten oder gar nicht notwendig ist, da Das größte Interesse gilt der Anzahl der Kombinationen und nicht in der Auflistung jedes einzelnen von ihnen. Dafür ist es sehr praktisch, die Formel zu verwenden.
Beispiel:
Eine Schule verlost drei Lose, eine für jeden Schüler, unter den Top 10 der Mathematik-Olympiade. Berechnen Sie nach Abschluss des Tests und Kenntnis der Top-10-Plätze die möglichen Kombinationen für das Ziehungsergebnis.
Beachten Sie, dass im Ziehungsergebnis die Reihenfolge nicht wichtig ist, daher arbeiten wir mit einem Kombinationsproblem.
Wir berechnen dann die Kombination von 10 Elementen aus 3 von 3. Einsetzen in die Formel müssen wir:
Führen wir nun die Vereinfachung der Fakultäten durch. An dieser Stelle ist es wichtig, die Berechnung des zu beherrschen Fakultät einer Zahl. Wie 10! größer ist als jede der Fakultäten im Nenner, und auf den Nenner schauend, 7! der größte von ihnen ist, multiplizieren wir 10 mit seinen Vorgängern, bis 7 erreicht ist!, damit es möglich ist, zu vereinfachen.
Pascals Dreieck
Eines der weit verbreiteten Instrumente in der kombinatorischen Analyse, hauptsächlich zur Berechnung von a Newtons Binomial, ist das Pascalsche Dreieck. Dieses Dreieck ist konstruiert aus den Ergebnissen der Kombinationen, eine andere Möglichkeit, die Kombination zweier Zahlen darzustellen, ist wie folgt:
Das Pascal-Dreieck beginnt bei Zeile 0 und Spalte 0, indem es 0 Elemente von 0 bis 0 kombiniert. Die Zeilen sind die gleichen wie Nein, und die Spalten gleich k, was die folgende Figur bildet:
Ersetzen der Werte, die sich aus den Kombinationen ergeben:
Durch die Zeilen und Spalten des Pascalschen Dreiecks ist es möglich, den Wert der gewünschten Kombination zu finden. Bei Bedarf können wir die Bedingungen von beliebig vielen Zeilen ermitteln. Um mehr über diese Auflösungsmethode zu erfahren, lesen Sie den Text: Pascals Dreieck.
Unterschied zwischen Anordnung und Kombination
Anordnung und Kombination sind zwei gleich wichtige Gruppierungen, die in der kombinatorischen Analyse untersucht werden. Es ist wichtig, den Unterschied zwischen jeder dieser Gruppen zu kennen, d. h. wenn wir sie nach a. berechnen wollen Absprache oder einer Kombination.
Es stellt sich heraus, dass im Kombination, beim Zusammenbau der Cluster, die Reihenfolge der Elemente der Menge ist nicht wichtig., dh {A, B} = {B, A}, aber es gibt Fälle, in denen die Ordnung bei der Gruppierung wichtig ist, in diesem Fall arbeiten wir mit einem Array.
Bei der Anordnung, dann, die reihenfolge der elemente ist unterschiedlich, d. h. {A, B} {B, A}, wäre ein Beispiel für eine sehr gängige Anordnung zu berechnen, auf wie viele verschiedene Arten wir das Podium eines gegebenen Wettbewerbs zwischen 10 Personen bilden können. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Reihenfolge wichtig ist, was sie durch die Anordnungsformel auflösbar macht. Neben der theoretischen Definition unterscheiden sich die Formeln und die Anordnungsformel é:
Übungen gelöst
Frage 1 – (Enem) Zwölf Mannschaften haben sich für ein Amateurfußballturnier angemeldet. Das Eröffnungsspiel des Turniers wurde wie folgt gewählt: Zunächst wurden 4 Mannschaften zur Gruppe A ausgelost. Dann wurden unter den Mannschaften der Gruppe A 2 Mannschaften für das Eröffnungsspiel des Turniers ausgelost, wobei die erste in ihrem eigenen Feld und die zweite die Gastmannschaft spielen würde. Die Gesamtzahl der möglichen Picks für Gruppe A und die Gesamtzahl der Picks für die Teams im Eröffnungsspiel können berechnet werden mit
A) eine Kombination bzw. eine Anordnung.
B) eine Anordnung bzw. eine Kombination.
C) eine Anordnung bzw. eine Permutation.
D) zwei Kombinationen.
E) zwei Anordnungen.
Auflösung
Alternative A
Um Anordnung und Kombination zu unterscheiden, muss analysiert werden, ob die Reihenfolge bei der Gruppierung von Bedeutung ist oder nicht. Beachten Sie, dass bei der ersten Gruppierung die Reihenfolge unerheblich ist, da Gruppe A aus den 4 Teams gebildet wird, die unabhängig von der Reihenfolge gezogen werden, d. h. es gibt zunächst eine Kombination.
Wenn man die zweite Gruppierung analysiert, kann man sehen, dass die Reihenfolge darin wichtig ist, da das zuerst gezogene Team das Feldkommando hat, was diese Gruppierung zu einer Anordnung macht.
Auf diese Weise ist die Bestellung eine Kombination und eine Anordnung.
Frage 2 - Eine aus 7 Erwachsenen bestehende Familie konsultierte nach der Festlegung der Reiseroute die Website einer Fluggesellschaft und stellte fest, dass der Flug für das gewählte Datum fast ausgebucht war. In der auf der Website verfügbaren Abbildung sind die belegten Plätze mit einem X gekennzeichnet und die einzigen verfügbaren Plätze sind weiß.
Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, die Familie auf diesem Flug unterzubringen, wird wie folgt berechnet:
Auflösung
Alternative B. Beachten Sie bei der Analyse der Situation, dass die Reihenfolge, dh welches Familienmitglied auf welchem Stuhl sitzt, nicht relevant ist. Was zählt, sind die 7 von der Familie ausgewählten Sessel. Wir arbeiten also mit einer Kombination. Es sind 9 Plätze frei, 7 werden ausgewählt. Berechnen wir also die Kombination von 9 bis 7. Einsetzen in die Formel müssen wir:
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm