Hyperbel. Definition von Hyperbel

Was ist Hyperbel?
Definition: Seien F1 und F2 zwei Punkte auf der Ebene und sei 2c der Abstand zwischen ihnen, Hyperbel ist die Menge der Punkte in der Ebene, deren Differenz (im Modul) der Abstände zu F1 und F2 die Konstante 2a (0 < 2a < 2c) ist.
Elemente einer Hyperbel:

F1 und F2 → sind die Brennpunkte von Hyperbeln
→ ist das Zentrum der Hyperbel
2c → Brennweite
2. → Real- oder Querachsenmessung
2b → Messung der imaginären Achse
c/a → Exzentrizität
Es besteht eine Beziehung zwischen a, b und c → c² = die² + b²

Reduzierte Hyperbelgleichung
1. Fall: Hyperbel mit Fokussen auf der x-Achse.

Es ist klar, dass die Brennpunkte in diesem Fall die Koordinaten F1 (-c, 0) und F2(c, 0) haben.
Somit lautet die reduzierte Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung der kartesischen Ebene und Fokus auf der x-Achse:

2. Fall: Hyperbel mit Fokussen auf der y-Achse.

In diesem Fall haben die Brennpunkte die Koordinaten F1 (0, -c) und F2(0, c).
Somit lautet die reduzierte Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung der kartesischen Ebene und Fokus auf der y-Achse:

Beispiel 1. Finden Sie die reduzierte Gleichung der Hyperbel mit reeller Achse 6, Brennpunkte F1(-5, 0) und F2(5, 0).
Lösung: Wir müssen
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) und F2(5, 0) → c = 5
Aus der bemerkenswerten Beziehung erhalten wir:
ç² = die² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Somit ergibt sich die reduzierte Gleichung durch:

Beispiel 2. Finden Sie die reduzierte Hyperbelgleichung mit zwei Brennpunkten mit F2-Koordinaten (0, 10) und einer imaginären Achse von 12.
Lösung: Wir müssen
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Unter Verwendung der bemerkenswerten Beziehung erhalten wir:
10² = die² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Somit wird die reduzierte Hyperbelgleichung gegeben durch:

Beispiel 3. Bestimmen Sie die Brennweite der Hyperbel mit Gleichung
Lösung: Da die Hyperbelgleichung vom Typ  Wir müssen
Das² = 16 und b² =9
Aus der bemerkenswerten Beziehung erhalten wir
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Die Brennweite wird mit 2c angegeben. So,
2c = 2*5 =10
Die Brennweite beträgt also 10.

Von Marcelo Rigonatto
Spezialist für Statistik und mathematische Modellierung
Brasilianisches Schulteam

Analytische Geometrie - Mathematik - Brasilien Schule