Üben Sie Ihr Wissen über lineare Systeme, ein wichtiges Mathematikthema, das das Studium simultaner Gleichungen beinhaltet. In vielen praktischen Anwendungen werden sie zur Lösung von Problemen mit unterschiedlichen Variablen eingesetzt.
Alle Fragen werden Schritt für Schritt gelöst, wobei wir verschiedene Methoden anwenden, wie zum Beispiel: Substitution, Addition, Eliminierung, Skalierung und die Cramer-Regel.
Frage 1 (Substitutionsmethode)
Bestimmen Sie das geordnete Paar, das das folgende lineare Gleichungssystem löst.
Antwort:
Isolieren von x in der ersten Gleichung:
Einsetzen von x in die zweite Gleichung:
Einsetzen des Werts von y in die erste Gleichung.
Das geordnete Paar, das das System löst, ist also:
Frage 2 (Skalierungsmethode)
Die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems lautet:
Antwort: x = 5, y = 1, z = 2
Das System liegt bereits in Staffelform vor. Die dritte Gleichung hat zwei Nullkoeffizienten (y = 0 und x = 0), die zweite Gleichung hat einen Nullkoeffizienten (x = 0) und die dritte Gleichung hat keine Nullkoeffizienten.
In einem Staffelsystem lösen wir „von unten nach oben“, das heißt, wir beginnen mit der dritten Gleichung.
Wenn wir zur obersten Gleichung übergehen, ersetzen wir z = 2.
Schließlich setzen wir z = 2 und y = 1 in die erste Gleichung ein, um x zu erhalten.
Lösung
x = 5, y = 1, z = 2
Frage 3 (Cramers Regel oder Methode)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem:
Antwort: x = 4, y = 0.
Verwendung der Cramer-Regel.
Schritt 1: Bestimmen Sie die Determinanten D, Dx und Dy.
Die Koeffizientenmatrix lautet:
Seine Determinante:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Zur Berechnung von Dx ersetzen wir die Spalte der Terme von x durch die Spalte der unabhängigen Terme.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Zur Berechnung von Dy ersetzen wir die Terme von y durch die unabhängigen Terme.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
Schritt 2: Bestimmen Sie x und y.
Um x zu bestimmen, machen wir:
Um y zu bestimmen, machen wir:
Frage 4
Ein T-Shirt- und Mützenverkäufer verkaufte bei einer Sportveranstaltung 3 T-Shirts und 2 Mützen und brachte so insgesamt 220,00 R$ ein. Am nächsten Tag verkaufte er zwei Hemden und drei Mützen und brachte so 190,00 R$ ein. Wie hoch wäre der Preis für ein T-Shirt und der Preis für eine Mütze?
a) T-Shirt: BRL 60,00 | Obergrenze: BRL 40,00
b) T-Shirt: BRL 40,00 | Obergrenze: BRL 60,00
c) T-Shirt: BRL 56,00 | Obergrenze: BRL 26,00
d) T-Shirt: BRL 50,00 | Obergrenze: BRL 70,00
e) T-Shirt: BRL 80,00 | Obergrenze: BRL 30,00
Beschriften wir den Preis für T-Shirts mit c und den Preis für Hüte mit b.
Für den ersten Tag haben wir:
3c + 2b = 220
Für den zweiten Tag haben wir:
2c + 3b = 190
Wir bilden zwei Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten, c und b. Wir haben also ein System von 2x2 linearen Gleichungen.
Auflösung
Verwendung der Cramer-Regel:
1. Schritt: Determinante der Koeffizientenmatrix.
2. Schritt: Determinante Dc.
Wir ersetzen die Spalte von c durch die Matrix unabhängiger Terme.
3. Schritt: Determinante Db.
4. Schritt: Bestimmen Sie den Wert von c und b.
Antwort:
Der Preis für das T-Shirt beträgt 56,00 R$ und für die Kappe 26,00 R$.
Frage 5
Ein Kino kostet 10,00 R$ pro Eintrittskarte für Erwachsene und 6,00 R$ pro Eintrittskarte für Kinder. An einem Tag wurden 80 Tickets verkauft und die Gesamteinnahme belief sich auf R$ 700,00. Wie viele Tickets jeder Art wurden verkauft?
a) Erwachsene: 75 | Kinder: 25
b) Erwachsene: 40 | Kinder: 40
c) Erwachsene: 65 | Kinder: 25
d) Erwachsene: 30 | Kinder: 50
e) Erwachsene: 25 | Kinder: 75
Wir werden es benennen als Der der Ticketpreis für Erwachsene und w für Kinder.
Bezogen auf die Gesamtzahl der Tickets haben wir:
a + c = 80
Bezüglich des erhaltenen Wertes haben wir:
10a + 6c = 700
Wir bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, also ein 2x2-System.
Auflösung
Wir werden die Substitutionsmethode verwenden.
Isolieren von a in der ersten Gleichung:
a = 80 - c
Einsetzen von a in die zweite Gleichung:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Einsetzen von c in die zweite Gleichung:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6 Jahre + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
a = 75
Frage 6
Ein Geschäft verkauft T-Shirts, Shorts und Schuhe. Am ersten Tag wurden 2 T-Shirts, 3 Shorts und 4 Paar Schuhe für insgesamt 350,00 R$ verkauft. Am zweiten Tag wurden 3 T-Shirts, 2 Shorts und 1 Paar Schuhe im Gesamtwert von 200,00 R$ verkauft. Am dritten Tag wurden 1 T-Shirt, 4 Shorts und 2 Paar Schuhe für insgesamt 320,00 R$ verkauft. Wie viel würden ein T-Shirt, Shorts und ein Paar Schuhe kosten?
a) T-Shirt: BRL 56,00 | Bermuda: R$ 24,00 | Schuhe: BRL 74,00
b) T-Shirt: BRL 40,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Schuhe: BRL 70,00
c) T-Shirt: BRL 16,00 | Bermuda: R$ 58,00 | Schuhe: BRL 36,00
d) T-Shirt: BRL 80,00 | Bermuda: R$ 50,00 | Schuhe: BRL 40,00
e) T-Shirt: BRL 12,00 | Bermuda: R$ 26,00 | Schuhe: BRL 56,00
- c ist der Preis für Hemden;
- b ist der Preis der Shorts;
- s ist der Preis der Schuhe.
Für den ersten Tag:
2c + 3b + 4s = 350
Für den zweiten Tag:
3c + 2b + s = 200
Für den dritten Tag:
c + 4b + 2s = 320
Wir haben drei Gleichungen und drei Unbekannte, die ein 3x3-System linearer Gleichungen bilden.
Verwendung der Cramer-Regel.
Die Koeffizientenmatrix ist
Seine Determinante ist D = 25.
Die Spaltenmatrix der Antworten lautet:
Um Dc zu berechnen, ersetzen wir die Spaltenmatrix der Antworten durch die erste Spalte in der Koeffizientenmatrix.
DC = 400
Zur Berechnung von Db:
DB = 1450
Zur Berechnung von Ds:
Ds = 900
Um c, b und s zu bestimmen, dividieren wir die Determinanten Dc, Db und Ds durch die Hauptdeterminante D.
Frage 7
Ein Restaurant bietet drei Gerichtsmöglichkeiten an: Fleisch, Salat und Pizza. Am ersten Tag wurden 40 Fleischgerichte, 30 Salatgerichte und 10 Pizzen verkauft, was einem Gesamtumsatz von 700,00 R$ entspricht. Am zweiten Tag wurden 20 Fleischgerichte, 40 Salatgerichte und 30 Pizzen verkauft, was einem Gesamtumsatz von 600,00 R$ entspricht. Am dritten Tag wurden 10 Fleischgerichte, 20 Salatgerichte und 40 Pizzen verkauft, was einem Gesamtumsatz von 500,00 R$ entspricht. Wie viel würde jedes Gericht kosten?
a) Fleisch: BRL 200,00 | Salat: R$ 15,00 | Pizza: BRL 10,00
b) Fleisch: 150,00 R$ | Salat: 10,00 R$ | Pizza: BRL 60,00
c) Fleisch: BRL 100,00 | Salat: R$ 15,00 | Pizza: BRL 70,00
d) Fleisch: BRL 200,00 | Salat: R$ 10,00 | Pizza: BRL 15,00
e) Fleisch: BRL 140,00 | Salat: R$ 20,00 | Pizza: BRL 80,00
Verwendung:
- c für Fleisch;
- s für Salat;
- p für Pizza.
Am ersten Tag:
Am zweiten Tag:
Am dritten Tag:
Der Preis jedes Gerichts kann durch Lösen des Systems ermittelt werden:
Auflösung
Verwendung der Eliminierungsmethode.
Multiplizieren Sie 20c + 40s + 30p = 6000 mit 2.
Subtrahieren Sie die zweite erhaltene Matrixgleichung von der ersten.
In der obigen Matrix ersetzen wir diese Gleichung durch die zweite.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung oben mit 4.
Wenn wir die dritte Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren, erhalten wir:
Ersetzen der erhaltenen Gleichung durch die dritte.
Wenn wir die Gleichungen zwei und drei subtrahieren, erhalten wir:
Aus der dritten Gleichung erhalten wir p = 80.
Einsetzen von p in die zweite Gleichung:
50er + 50,80 = 5000
50er + 4000 = 5000
50er = 1000
s = 1000/50 = 20
Ersetzen der Werte von s und p in der ersten Gleichung:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Lösung
p=80, s=20 und c=140
Frage 8
(UEMG) Im Plan das System stellt ein Linienpaar dar
a) zufällig.
b) deutlich und parallel.
c) gleichzeitige Linien am Punkt ( 1, -4/3 )
d) gleichzeitige Linien am Punkt (5/3, -16/9)
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit zwei und addieren Sie die beiden Gleichungen:
Einsetzen von x in Gleichung A:
Frage 9
(PUC-MINAS) Ein bestimmtes Labor schickte 108 Bestellungen an die Apotheken A, B und C. Es ist bekannt, dass die Anzahl der an Apotheke B gesendeten Bestellungen doppelt so hoch war wie die Gesamtzahl der an die beiden anderen Apotheken gesendeten Bestellungen. Darüber hinaus wurden drei Bestellungen mit mehr als der Hälfte der an Apotheke A versandten Menge an Apotheke C versandt.
Basierend auf diesen Informationen ist es RICHTIG, anzugeben, dass die Gesamtzahl der an die Apotheken B und C gesendeten Bestellungen betrug
a) 36
b) 54
c) 86
d) 94
Laut Aussage haben wir:
A + B + C = 108.
Außerdem war die Menge an B doppelt so hoch wie die von A + C.
B = 2(A + C)
Drei Bestellungen wurden an Apotheke C versandt, mehr als die Hälfte der Menge wurde an Apotheke A versandt.
C = A/2 + 3
Wir haben Gleichungen und drei Unbekannte.
Verwendung der Substitutionsmethode.
Schritt 1: Ersetzen Sie den dritten durch den zweiten.
Schritt 2: Ersetzen Sie das erhaltene Ergebnis und die dritte Gleichung in der ersten.
Schritt 3: Ersetzen Sie den Wert von A, um die Werte von B und C zu bestimmen.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Für C:
Schritt 4: Addieren Sie die Werte von B und C.
72 + 14 = 86
Frage 10
(UFRGS 2019) Damit das System der linearen Gleichungen möglich und bestimmt, es ist notwendig und ausreichend
a) a ∈ R.
b) a = 2.
c) a = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
Eine Möglichkeit, ein System als möglich und determiniert zu klassifizieren, ist die Methode von Cramer.
Voraussetzung dafür ist, dass die Determinanten von Null verschieden sind.
Die Determinante D der Hauptmatrix gleich Null machen:
Um mehr über lineare Systeme zu erfahren:
- Lineare Systeme: Was sie sind, Typen und wie man sie löst
- Gleichungssysteme
- Skalierung linearer Systeme
- Cramers Regel
Für weitere Übungen:
- Gleichungssysteme 1. Grades
ASTH, Rafael. Übungen zu gelösten linearen Systemen.Alles zählt, [n.d.]. Verfügbar in: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Zugang unter:
Auch sehen
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- 11 Übungen zur Matrizenmultiplikation
- Gleichung zweiten Grades
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