A Tangente (abgekürzt als tg oder tan) ist ein Trigonometrische Funktion. Um den Tangens eines Winkels zu bestimmen, können wir verschiedene Strategien anwenden: Berechnen Sie das Verhältnis zwischen Sinus und Cosinus des Winkels, sofern diese bekannt sind; Verwenden Sie eine Tangententabelle oder einen Taschenrechner. Berechnen Sie das Verhältnis zwischen dem gegenüberliegenden und dem benachbarten Schenkel, wenn der betreffende Winkel unter anderem im Inneren (spitz) eines rechtwinkligen Dreiecks liegt.
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Zusammenfassung zur Tangente
Tangens ist eine trigonometrische Funktion.
Der Tangens eines Innenwinkels an ein rechtwinkliges Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.
Der Tangens eines beliebigen Winkels ist das Verhältnis von Sinus und Cosinus dieses Winkels.
Die Funktion \(f (x)=tg\ x\) ist für Winkel definiert X ausgedrückt im Bogenmaß, so dass cos \(cos\ x≠0\).
Der Graph der Tangensfunktion zeigt vertikale Asymptoten für die Werte, wobei \(x= \frac{π}2+kπ\), mit k ganz, so \(x=-\frac{π}2\).
Das Tangentengesetz ist ein Ausdruck, der in jedem Dreieck die Tangenten zweier Winkel und die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten verknüpft.
Tangente eines Winkels
Wenn α eins ist Winkel intern von a rechtwinkliges Dreieck, der Tangens von α ist das Verhältnis zwischen der Länge des gegenüberliegenden Beins und der Länge des benachbarten Beins:
Für jeden Winkel α ist der Tangens das Verhältnis zwischen dem Sinus α und dem Kosinus von α, wobei \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Es ist zu beachten, dass die Tangente ein positives Vorzeichen hat, wenn α ein Winkel im 1. oder 3. Quadranten ist; aber wenn α ein Winkel des 2. oder 4. Quadranten ist, hat die Tangente ein negatives Vorzeichen. Dieser Zusammenhang ergibt sich direkt aus der Vorzeichenregel zwischen den Vorzeichen von Sinus und Cosinus für jedes α.
Wichtig: Beachten Sie, dass der Tangens für Werte von α wo nicht existiert \(cos\ α=0\). Dies geschieht für Winkel von 90°, 270°, 450°, 630° usw. Um diese Winkel allgemein darzustellen, verwenden wir die Bogenmaßschreibweise: \(\frac{ π}2+kπ\), mit k ganz.
Tangente bemerkenswerter Winkel
Den Ausdruck verwenden \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), wir können die Tangenten von finden bemerkenswerte Winkel, das sind die Winkel 30°, 45° und 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interessant: Darüber hinaus können wir die ebenfalls weit verbreiteten Tangentenwerte für die Winkel 0° und 90° analysieren. Da sin 0° = 0 ist, schließen wir daraus, dass tan 0° = 0. Für den 90°-Winkel existiert die Tangente nicht, da cos90° = 0 ist.
Wie berechnet man die Tangente?
Um den Tangens zu berechnen, verwenden wir die Formel tg α=sin αcos α, die zur Berechnung des Tangens eines beliebigen Winkels verwendet wird. Schauen wir uns unten einige Beispiele an.
Beispiel 1
Finden Sie den Tangens des Winkels α im rechten Dreieck unten.
Auflösung:
Bezüglich des Winkels α ist die Seite von Maß 6 die gegenüberliegende Seite und die Seite von Maß 8 die angrenzende Seite. So was:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Beispiel 2
Wissend, dass \(sin\ 35°≈0,573\) und cos\(35°≈0,819\), ermitteln Sie den ungefähren Wert für die 35°-Tangente.
Auflösung:
Da der Tangens eines Winkels das Verhältnis zwischen Sinus und Cosinus dieses Winkels ist, gilt:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
Tangensfunktion
Für Winkel ist die Funktion fx=tg x definiert X ausgedrückt im Bogenmaß, also \(cos\ x≠0\). Das bedeutet, dass der Definitionsbereich der Tangensfunktion ausgedrückt wird durch:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Darüber hinaus alle reale Nummern sind das Bild der Tangensfunktion.
→ Graph der Tangensfunktion
Beachten Sie, dass der Graph der Tangensfunktion vertikale Asymptoten für die Werte hat, bei denen \(x= \frac{π}2+kπ\), mit k ganz, so \( x=-\frac{π}2\). Für diese Werte von X, die Tangente ist nicht definiert (d. h. die Tangente existiert nicht).
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Gesetz der Tangenten
Das Tangentengesetz ist a Ausdruck, der in a Dreieck beliebig, die Tangenten zweier Winkel und die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten. Betrachten Sie beispielsweise die Winkel α und β des Dreiecks ABC unten. Beachten Sie, dass die Seite CB = a dem Winkel α gegenüberliegt und dass die Seite AC = b dem Winkel β gegenüberliegt.
Das Tangentengesetz besagt:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrische Verhältnisse
Zum trigonometrische Verhältnisse sind die trigonometrischen Funktionen, die am rechtwinkligen Dreieck bearbeitet werden. Wir interpretieren diese Verhältnisse als Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln dieses Dreieckstyps.
Übungen zur Tangente gelöst
Frage 1
Sei θ ein Winkel des zweiten Quadranten mit sin\(sin\ θ≈0,978\), also ist tgθ ungefähr:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Auflösung
Alternative A
Wenn \(sin\ θ≈0,978\), dann unter Verwendung der grundlegenden Identität der Trigonometrie:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Da θ ein Winkel des zweiten Quadranten ist, ist cosθ negativ, daher:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Bald:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
Frage 2
Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Schenkeln AB = 3 cm und AC = 4 cm. Der Tangens des Winkels B ist:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
UND) \(\frac{5}3\)
Auflösung:
Alternative C
Laut Aussage ist das Bein gegenüber dem Winkel \(\hat{B}\) ist der AC 4 cm groß und das Bein neben dem Winkel \(\hat{B}\) ist AB mit einem Maß von 3 cm. So was:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
