regelmäßiges Vieleck und das konvexes Polygon bei dem alle Seiten kongruent und alle Innenwinkel kongruent sind, d. h. die Seiten haben das gleiche Maß und auch die Innenwinkel haben das gleiche Maß. Zu den bekannten regelmäßigen Vielecken gehören das gleichseitige Dreieck und das Quadrat.
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Zusammenfassung über regelmäßige Polygone
Polygon Regulär ist eine Form mit kongruenten Seiten und Winkeln.
Der Umfang eines regelmäßigen Vielecks ist die Seitenlänge mal der Anzahl der Seiten:
\(P = n ⋅l \)
Das Maß jedes Innenwinkels des regelmäßigen Vielecks ergibt sich aus der folgenden Formel:
\(α=\frac{S_i}n\)
Das Maß des Außenwinkels eines regelmäßigen Vielecks ergibt sich aus der folgenden Formel:
\(e=\frac{360}n\)
Das Apothem eines regelmäßigen Vielecks ist gleich dem Maß des Radius eines umschriebenen Kreises.
Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks ergibt sich aus der folgenden Formel:
\(A=a⋅p\)
Während beim regelmäßigen Vieleck alle Seiten und Winkel deckungsgleich sind, sind beim unregelmäßigen Vieleck nicht alle Seiten deckungsgleich oder nicht alle Winkel deckungsgleich.
Videolektion zu regelmäßigen Polygonen
Was sind regelmäßige Vielecke?
Regelmäßige Vielecke sind konvexe Polygone, die gleichseitig und gleichwinklig sind, das heißt, sie haben kongruente Seiten und haben auch Winkel mit dem gleichen Maß. Denken Sie daran, dass Polygone konvex sind, wenn jedes Liniensegment, das Endpunkte enthält, vollständig im Polygon enthalten ist. Ö gleichseitiges Dreieck und das Quadrat Es gibt Fälle von regelmäßigen Polygonen, es gibt aber auch Fünfecke, Sechsecke und andere Polygone, die ebenfalls regelmäßig sind.
Umfang eines regelmäßigen Polygons
Um die zu berechnen Umfang eines regelmäßigen Vielecks, Multiplizieren Sie einfach das Maß seiner Seite mit der Anzahl der Seiten, die dieses Polygon hat. Da es gleichseitig ist, wird der Umfang des regelmäßigen Polygons nach der Formel berechnet:
\(P=n⋅l\)
N → Anzahl der Seiten des Polygons
l → Länge der Polygonseite
Beispiel:
Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks mit einer Seitenlänge von 8 cm?
Auflösung:
Wenn wir den Umfang berechnen und wissen, dass das Fünfeck regelmäßig ist, erhalten wir:
\(P=5⋅8=40\ cm\)
Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons
Ein regelmäßiges Vieleck ist gleichwinklig, das heißt, alle Innenwinkel haben das gleiche Maß. Daher können wir den Wert jedes Winkels berechnen Verwenden Sie die Formel für die Summe der Innenwinkel und teilen Sie sie durch die Anzahl der Seiten des Polygons.
Um den Wert der Summe der Innenwinkel eines Polygons zu berechnen, verwenden wir im Allgemeinen die Formel:
\(S_i=180⋅(n-2)\)
\(S_i\) → Summe der Innenwinkel des Polygons
N → Anzahl der Seiten des Polygons
Wir wissen, dass in einem regelmäßigen Vieleck alle Winkel deckungsgleich sind. Daher lautet die Formel zur Berechnung des Maßes jedes Winkels eines regelmäßigen Polygons:
\(a_i=\frac{180⋅(n-2)}{n}\)
\(Dort\) → Maß für den Innenwinkel des Polygons
Beispiel:
Wie lang ist jede Seite eines regelmäßigen Achtecks?
Auflösung:
ersetzen N = 8 in der Formel ergibt sich:
\(a_i=\frac{180⋅(8-2)}{8}\)
\(a_i=\frac{180⋅6}{8}\)
\(a_i=\frac{1080}8\)
\(a_i=135°\)
Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks
Die Summe der Außenwinkel eines Polygons beträgt 360°. Um das Maß jedes Außenwinkels eines regelmäßigen Polygons zu berechnen, Teilen Sie einfach 360° durch die Anzahl der Seiten dieses Polygons.
\(a_e=\frac{360}n\)
Beispiel:
Wie groß ist der Außenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks?
Auflösung:
ersetzen N = 5 in der Formel:
\(a_e=\frac{360}3\)
\(a_e=120°\)
Apothem des regelmäßigen Polygons
Das Apothem eines regelmäßigen Polygons ist gleich dem Maß des Radius von a Umfang umschrieben, wobei das Apothem die Länge des Segments ist, das von der Mitte des Polygons zur Seite verläuft und einen Winkel von 90° bildet.
Regelmäßige Polygonfläche
Um die Fläche eines regelmäßigen Polygons zu berechnen, zusätzlich zu den vorhandenen polygonspezifischen Formeln, Es gibt eine Formel, die wir für jedes regelmäßige Polygon verwenden können:
\(A=a⋅p\)
Der → Apothem
P → Semiperimeter (halber Umfang)
Beispiel:
Ein Fünfeck hat eine Seitenlänge von 4 cm und ein Apothem von 2,75 cm. Welchen Wert hat Ihr Gebiet?
Auflösung:
Wir wissen das:
\(A=a⋅p\)
Berechnung des Umfangs:
P = \(4⋅5\)
P = 20
Der Halbumfang ist also:
20: 2 = 10
Um die Fläche zu berechnen, haben wir also:
\(A=a⋅p\)
\(A=2,75⋅10\)
\(A=27,5\ cm^2\)
Unterschied zwischen regelmäßigem Polygon und unregelmäßigem Polygon
Ein regelmäßiges Polygon ist ein Polygon, das gleichzeitig gleichseitig und gleichwinklig ist. Andernfalls wäre das Polygon unregelmäßig. Dann, Ein unregelmäßiges Polygon ist ein Polygon, bei dem nicht alle Seiten kongruent sind oder bei dem nicht alle Winkel kongruent sind..
Da das unregelmäßige Polygon mindestens eine Seite mit einem anderen Maß hat, müssen die Eigenschaften ermittelt werden Das Maß jedes Innenwinkels oder jedes Außenwinkels gilt beispielsweise nicht für das regelmäßige Polygon.
Zugriff auch auf: Polyeder – die dreidimensionalen Figuren, die durch die Verbindung regelmäßiger Vielecke entstehen
Regelmäßige Polygonübungen
Ein Polygon mit 12 Seiten wird als Zwölfeck bezeichnet. Wenn dieses Polygon regelmäßig ist, beträgt das Maß jedes seiner Innenwinkel:
A) 100°
B) 125°
C) 150°
D) 175°
E) 200°
Auflösung:
Alternative C
Wenn wir das Maß jedes Innenwinkels berechnen, wissen wir das N = 12:
\(a_i=\frac{180⋅(12-2)}{12}\)
\(a_i=\frac{180⋅10}{12}\)
\(a_i=\frac{1800}{12}\)
\(a_i=150°\)
Frage 2
Das Polygon gilt als regelmäßig, wenn:
A) parallele Seiten haben, die zueinander kongruent sind.
B) ist ein gleichseitiges Polygon.
C) ist ein gleichwinkliges Polygon.
D) ist ein gleichseitiges und gleichwinkliges Polygon.
E) ist ein Polygon mit mindestens einer Seite unterschiedlicher Länge.
Auflösung:
Alternative D
Ein Polygon ist regelmäßig, wenn es sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig ist, das heißt, wenn seine Seiten zueinander kongruent sind und seine Winkel zueinander kongruent sind.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien-Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poligono-regular.htm
