Ö Apothema eines Polygons ist ein Segment mit Endpunkten in der Mitte des Polygons und am Mittelpunkt einer der Seiten. Dieses Segment bildet mit der entsprechenden Seite des Polygons einen 90°-Winkel.
Um das Maß des Apothems zu berechnen, müssen die Eigenschaften des betreffenden Polygons berücksichtigt werden. Abhängig von der geometrischen Form ist es möglich, eine Formel zu erstellen, um dieses Maß zu erhalten. Eine wichtige Beobachtung ist, dass das Maß des Apothems eines regelmäßigen Polygons gleich dem Maß des Radius des in das Polygon eingeschriebenen Umfangs ist.
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Themen dieses Artikels
- 1 - Zusammenfassung über das Apothem
- 2 - Beispiele für Apothem
-
3 - Wie lauten die Formeln des Apothems?
- Apothemformel des gleichseitigen Dreiecks
- Apothem der Quadratformel
- Regelmäßige Sechseck-Apothem-Formel
- Pyramiden-Apothem-Formel
- 4 - Wie wird das Apothem berechnet?
- 5 - Gelöste Übungen zum Apothem
Zusammenfassung über das Apothem
Das Apothem ist das Segment eines Polygons, das den Mittelpunkt (Treffpunkt der Mittelsenkrechten) mit dem Mittelpunkt einer der Seiten verbindet.
Der Winkel zwischen dem Apothem und der jeweiligen Seite des Polygons beträgt 90°.
Das Maß des Apothems eines regelmäßigen Vielecks ist gleich dem Maß des Radius des in das Vieleck eingeschriebenen Kreises.
Das Apothem OM eines gleichseitigen Dreiecks l ergibt sich aus der Formel
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Das Apothem OM eines Seitenquadrats l ergibt sich aus der Formel
\(OM = \frac{l}2\)
Das Apothem OM eines regelmäßigen Sechsecks auf einer Seite l ergibt sich aus der Formel
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Das Apothem einer Pyramide ist das Segment, das den Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt einer der Kanten der Basis verbindet, und sein Maß kann durch den Satz des Pythagoras ermittelt werden.
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Beispiele für Apothem
Um das Apothem eines Polygons zu finden, müssen wir das konstruieren Liniensegment, das den Mittelpunkt des Polygons mit dem Mittelpunkt einer der Seiten verbindet. Denken Sie daran, dass sich die Winkelhalbierenden im Mittelpunkt eines Polygons treffen.
In diesen Beispielen wurde das Apothem in ebenen Polygonen betrachtet. Es gibt jedoch ein Weltraumobjekt, das ein anderes Apothem hat: die Pyramide.
In einer Pyramide gibt es zwei Arten von Apothemen: das Apothem der Basis, das das Apothem des Polygons ist, das die Basis der Pyramide bildet, und das Apothem der Pyramide, das das ist Segment, das den Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt einer Basiskante verbindet (d. h. die Höhe einer Seitenfläche der Basis). Pyramide).
Im folgenden Beispiel mit quadratischer Grundfläche ist das Segment OM das Apothem der Grundfläche und das Segment VM das Apothem der Pyramide, wobei M der Mittelpunkt von BC ist.
Wie lauten die Formeln für das Apothem?
Wenn wir die Eigenschaften eines Polygons, insbesondere regelmäßiger Polygone, kennen, können wir Formeln zur Berechnung des Maßes des Apothems entwickeln. Sehen wir uns an, wie diese Formeln für die wichtigsten regelmäßigen Polygone lauten.
Apothemformel des gleichseitigen Dreiecks
Bei der Fall eines gleichseitigen Dreiecks, die Höhe und der Median relativ zu einer bestimmten Seite sind gleich. Das bedeutet, dass der Mittelpunkt des Polygons mit dem zusammenfällt Schwerpunkt des Dreiecks. Somit teilt der Punkt O die Höhe AM wie folgt:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Es ist \(OM=\frac{1}3 Uhr morgens\)
Denken Sie daran, dass das Maß von Höhe eines gleichseitigen Dreiecks l ist gegeben durch:
\(Höhe\ Dreieck\ gleichseitig=\frac{l\sqrt3}2\)
Da AM die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC und die Strecke OM das Apothem des Dreiecks ist, können wir den folgenden Ausdruck für das Maß von OM ausarbeiten, wobei wir berücksichtigen, dass die Seite des Dreiecks misst l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apothem der Quadratformel
Im Falle des Quadrats Das Maß des Apothems entspricht der halben Seitenlänge. Wenn also O der Mittelpunkt des Quadrats ist, ist M der Mittelpunkt einer der Seiten und l ist die Seitenlänge des Quadrats, daher lautet die Formel für das Apothem OM
\(OM=\frac{l}2\)
Regelmäßige Sechseck-Apothem-Formel
Im regelmäßigen Sechseck entspricht das Apothem der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Eckpunkten an zwei Enden einer der Seiten und in der Mitte des Polygons. Im folgenden Beispiel ist das Apothem OM des regelmäßigen Sechsecks die Höhe des gleichseitigen Dreiecks OCD, wobei M der Mittelpunkt von CD ist.
Wie bereits erwähnt, ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks bekannt. Wenn also die Seite eines regelmäßigen Sechsecks misst l, dann lautet die Formel für das Apothem OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramiden-Apothem-Formel
Das Maß des Apothems der Pyramide kann mit ermittelt werden Hilfe zum Satz des Pythagoras. Im folgenden Beispiel ist in einer quadratischen Pyramide das Dreieck VOM ein Rechteck mit den Schenkeln VO und OM und der Hypotenuse VM. Beachten Sie, dass VO die Höhe der Pyramide, OM das Apothem der Basis und VM das Apothem der Pyramide ist.
Um das Maß des Apothems der Pyramide zu bestimmen, müssen wir daher den Satz des Pythagoras anwenden:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Vorsichtig! VM ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, nicht eines gleichseitigen Dreiecks. In diesem Fall können wir die Formel für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks also nicht verwenden.
Wie wird das Apothem berechnet?
Um das Apothem eines Polygons oder einer Pyramide zu berechnen, können wir die konstruierten Formeln verwenden oder das Apothem mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises verknüpfen.
Beispiel 1: Nehmen Sie an, dass ein Kreis mit einem Radius von 3 cm in ein gleichseitiges Dreieck eingeschrieben ist. Wie groß ist das Apothem dieses Dreiecks?
Da das Apothem eines Polygons das gleiche Maß hat wie der Radius des eingeschriebenen Kreises, misst das Apothem des Dreiecks 3 cm.
Beispiel 2: Wie groß ist das Apothem eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 4 cm?
Verwenden Sie die Formel für das Apothem eines regelmäßigen Sechsecks mit \(l=4\) cm, wir müssen
\(Maß\ von\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
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Gelöste Übungen zum Apothem
Frage 1
Wenn eine Pyramide mit einer Höhe von 4 cm ein Basisapothem von 3 cm hat, beträgt das Maß des Apothems der Pyramide
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Auflösung:
In einer Pyramide können wir ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, bei dem ein Bein das Apothem der Basis, das andere Bein die Höhe der Pyramide und die Hypotenuse das Apothem der Pyramide ist. Wenn man also den Satz des Pythagoras auf die Hypotenuse des Maßes x anwendet,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternative A.
Frage 2
Wenn das Apothem eines Quadrats y cm ist, dann ist die Seite des Quadrats y cm
Der) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2y cm
e) 3y cm
Auflösung
Das Apothem eines Quadrats ist die halbe Seitenlänge des Quadrats. Wenn also das Apothem y cm misst, misst das Quadrat 2y cm.
Alternative D.
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
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RIZZO, Maria Luiza Alves. "Apothema"; Brasilien-Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/apotema.htm. Zugriff am 16. Mai 2023.
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