A Diamantenbereich ist die Messung seines inneren Bereichs. Eine Möglichkeit, die Fläche zu berechnen einer Raute besteht darin, die Hälfte des Produkts zwischen der größeren Diagonale und der kleineren Diagonale zu bestimmen, deren Maße durch dargestellt werden D Es ist D bzw.
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Themen dieses Artikels
- 1 – Zusammenfassung über die Fläche der Raute
- 2 - Elemente der Raute
- 3 - Eigenschaften der Diagonalen der Raute
- 4 – Formel für die Fläche der Raute
- 5 - Wie berechnet man die Fläche einer Raute?
- 6 – Übungen im Bereich der Raute
Zusammenfassung über die Fläche der Raute
Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten und entgegengesetzt kongruenten Winkeln.
Die beiden Diagonalen einer Raute werden als größere Diagonale bezeichnet (D) und kleinere Diagonale (D).
Jede Diagonale einer Raute teilt dieses Polygon in zwei kongruente Dreiecke.
Die beiden Diagonalen der Raute stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich in ihren Mittelpunkten.
Die Formel zur Berechnung der Fläche der Raute lautet:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
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Rautenelemente
der Diamant ist ein Parallelogramm geformt von vier Seiten gleicher Länge und entgegengesetzter Winkel des gleichen Maßes. In der Raute unten haben wir \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\hat{P}=\hat{R}\) Es ist \(\hat{Q}=\hat{S}\).
Die Segmente mit Enden an gegenüberliegenden Eckpunkten sind die Diagonalen der Raute. Im Bild unten nennen wir das Segment \(\overline{PR}\) In größere Diagonale und das Segment \(\overline{QS}\) In kleinere Diagonale.
Diagonale Eigenschaften der Raute
Lassen Sie uns zwei Eigenschaften kennen, die sich auf die Diagonalen der Raute beziehen.
Eigenschaft 1: Jede Diagonale teilt die Raute in zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke.
Betrachten Sie zunächst die größere Diagonale \(\overline{PR}\) einer Raute PQRS neben l.
realisieren dass \(\overline{PR}\) Teilen Sie die Raute in zwei Dreiecke: PQR Es ist PSR. Noch:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) Es ist die gemeinsame Seite.
Somit gilt nach dem LLL-Kriterium: die Dreiecke PQR Es ist PSR sind deckungsgleich.
Betrachten Sie nun die kleinere Diagonale \(\overline{QS}\).
realisieren dass \(\overline{QS} \) Teilen Sie die Raute in zwei Dreiecke: PQS Es ist RQS. Noch:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) Es ist die gemeinsame Seite.
Somit sind nach dem LLL-Kriterium die Dreiecke PQS Es ist RQS sind deckungsgleich.
Eigenschaft 2: Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander und schneiden sich in der Mitte.
Der von den Diagonalen gebildete Winkel \(\overline{PR}\) Es ist \(\overline{QS}\) misst 90°.
Es istÖ der Treffpunkt der Diagonalen \(\overline{{PR}}\) Es ist \(\overline{{QS}}\); so was, Ö ist der Mittelpunkt von \(\overline{PR}\) und ist auch der Mittelpunkt von \(\overline{QS}\). Wenn \( \overline{PR}\)Gib mir D Es ist \(\overline{QS}\) Gib mir D, Das bedeutet, dass:
\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Überwachung: Die beiden Diagonalen einer Raute teilen diese Figur in vier deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie die Dreiecke PQO, RQO, PSO Es ist RSO. Beachten Sie, dass jede Seite eine Messseite hat. l (die Hypotenuse), eine des Maßes \(\frac{D}{2}\) und noch eine Maßnahme \(\frac{d}{2}\).
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Rautenflächenformel
Es ist D die Länge der größeren Diagonale und D das Maß der kleineren Diagonale einer Raute; Die Formel für die Fläche der Raute lautet:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
Nachfolgend finden Sie eine Demonstration dieser Formel.
Gemäß der ersten Eigenschaft, die wir in diesem Text untersucht haben, der Diagonale \(\overline{QS}\) Teile den Diamanten PQRS in zwei kongruente Dreiecke (PQS Es ist RQS). Das bedeutet, dass diese beiden Dreiecke die gleiche Fläche haben. Folglich, Die Fläche der Raute ist doppelt so groß wie die Fläche eines dieser Dreiecke.
\(A_{\mathrm{Diamant}}=2\times A_{Dreieck} PQS\)
Gemäß der zweiten Eigenschaft, die wir untersucht haben, der Basis des Dreiecks PQS Gib mir D und die Höhenmaße D2. Denken Sie daran, dass die Fläche eines Dreiecks durch Basis x Höhe berechnet werden kann2. Bald:
\(A_{\mathrm{Diamant}}=2\times A_{Dreieck} PQS\)
\(A_{\mathrm{Diamond}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{Diamond}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
Wie berechnet man die Fläche einer Raute?
Wie wir gesehen haben, reicht es aus, wenn die Maße der Diagonalen bekannt sind Wenden Sie die Formel an, um die Fläche einer Raute zu berechnen:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
Andernfalls müssen wir andere Strategien anwenden und beispielsweise die Eigenschaften dieses Polygons berücksichtigen.
Beispiel 1: Wie groß ist die Fläche einer Raute, deren Diagonalen 2 cm und 3 cm betragen?
Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir:
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=3 cm²\)
Beispiel 2: Wie groß ist die Fläche einer Raute, deren Seiten- bzw. kleinere Diagonale messen? 13 cm und 4 cm?
Durch Beachtung der Eigenschaft 2, Die Diagonalen einer Raute teilen dieses Polygon in vier rechtwinklige Dreiecke kongruent. Jedes rechtwinklige Dreieck hat Maßschenkel \(\frac{d}{2}\) Es ist \(\frac{D}{2}\) und Hypotenuse messen l. Nach dem Satz des Pythagoras:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
ersetzen \(d=4 cm\) Es ist d=4 cm, wir müssen
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
Als D ist das Maß eines Segments, wir können nur das positive Ergebnis berücksichtigen. D.h.:
D=6
Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir:
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\ 12 cm²\)
Mehr wissen: Formeln zur Berechnung der Fläche ebener Figuren
Übungen im Bereich der Raute
Frage 1
(Fauel) Bei einer Raute betragen die Diagonalen 13 und 16 cm. Wie groß ist Ihre Fläche?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Auflösung: Alternative C
Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir:
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\ 104 cm²\)
Frage 2
(Fepese) Eine Fabrik produziert Keramikstücke in Form eines Diamanten, dessen kleinere Diagonale ein Viertel der größeren Diagonale misst und die größere Diagonale 84 cm misst.
Daher beträgt die Fläche jedes von dieser Fabrik hergestellten Keramikstücks in Quadratmetern:
a) größer als 0,5.
b) größer als 0,2 und kleiner als 0,5.
c) größer als 0,09 und kleiner als 0,2.
d) größer als 0,07 und kleiner als 0,09.
e) weniger als 0,07.
Auflösung: Alternative D
Wenn D ist die größere Diagonale und D ist die kleinere Diagonale, dann:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21 cm\)
Wenn wir die Formel anwenden, haben wir
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{Diamant}}=882 cm²\)
Da entspricht 1 cm² \(1\cdot{10}^{-4} m²\), Dann:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 m²\)
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
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RIZZO, Maria Luiza Alves. „Fläche der Raute“; Brasilien-Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm. Zugriff am 12. Mai 2023.
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